Podstawowa definicjaEdit
Funkcja f może być reinterpretowana jako rodzina funkcji jednej zmiennej indeksowanej przez inne zmienne:
f (x, y ) = fy (x) = x 2 + xy + y 2. {\ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
Innymi słowy, każda wartość y definiuje funkcję, oznaczoną fy , która jest funkcją jednej zmiennej x. To znaczy
f y (x) = x 2 + x y + y 2. {\ displaystyle f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
W tej sekcji notacja indeksu dolnego fy oznacza funkcję zależną od ustalonej wartości y, a nie pochodna cząstkowa.
fa (x) = x 2 + ax + a 2. {\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}.}
W tym wyrażeniu a jest stałą, a nie zmienną, więc fa jest funkcją tylko jednego prawdziwa zmienna, która jest x. W konsekwencji obowiązuje definicja pochodnej funkcji jednej zmiennej:
f a ′ (x) = 2 x + a. {\ displaystyle f_ {a} „(x) = 2x + a.}
Powyższa procedura może być wykonana dla dowolnego wyboru a. Składanie pochodnych razem w funkcję daje funkcję, która opisuje zmiany f w kierunek x:
∂ fa ∂ x (x, y) = 2 x + y. {\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (x, y) = 2x + y.}
To jest pochodna cząstkowa f względem x. Tutaj ∂ jest zaokrąglonym d, nazywanym symbolem pochodnej częściowej. Aby odróżnić to od litery d, ∂ jest czasami wymawiane jako „częściowe”.
Ogólnie rzecz biorąc, pochodna cząstkowa funkcji n-arnej f (x1, …, xn) w kierunku xi w punkcie (a1, …, an) jest zdefiniowana jako:
∂ f ∂ xi (za 1,…, za) = lim h → 0 f (a 1,…, ai + h,…, za) – fa (za 1,…, ai,…, za) h. {\ displaystyle {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ lim _ {h \ do 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i} + h, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}}.}
W powyższym ilorazie różnicowym wszystkie zmienne oprócz x jestem unieruchomiony. Ten wybór stałych wartości określa funkcję jednej zmiennej
fa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, an (xi) = f (a 1,…, ai – 1, xi, ai + 1,…, za), {\ Displaystyle f_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}),}
iz definicji,
dfa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, andxi (ai) = ∂ f ∂ xi (a 1,…, an). {\ Displaystyle {\ Frac {df_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ { i}) = {\ frac {\ częściowa f} {\ częściowa x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}).}
Innymi słowy, różne opcje indeksu rodzina funkcji z jedną zmienną, tak jak w powyższym przykładzie. To wyrażenie pokazuje również, że obliczanie pochodnych cząstkowych sprowadza się do obliczenia pochodnych jednej zmiennej.
∇ f (a) = (∂ f ∂ x 1 (a),…, ∂ f ∂ xn (a)) . {\ Displaystyle \ nabla f (a) = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x_ {1}}} (a), \ ldots, {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x_ { n}}} (a) \ right).}
Wektor ten nazywamy gradientem f w a. Jeśli f jest różniczkowalne w każdym punkcie w jakiejś dziedzinie, to gradient jest funkcją o wartościach wektorowych ∇f, która przenosi punkt a do wektora ∇f (a). W konsekwencji gradient tworzy pole wektorowe.
∇ = ja ^ + j ^ + k ^ {\ displaystyle \ nabla = \ lewo {\ kapelusz {\ mathbf {i}}} + \ lewo {\ kapelusz {\ mathbf {j}}} + \ lewo {\ kapelusz {\ mathbf {k}}}} ∇ = ∑ j = 1 ne ^ j = e ^ 1 + e ^ 2 +… + e ^ n {\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j} = \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ ldots + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}
Definicja formalnaEdytuj
∂ ∂ xif ( a) = lim h → 0 f (a 1,…, ai – 1, ai + h, ai + 1,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h = lim h → 0 f (a + hei) – f (a) h {\ Displaystyle {\ zaczynać {wyrównane} {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x_ {i}}} f (\ mathbf {a}) & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1) }, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {a} + he_ {i}) – f (\ mathbf {a})} {h}} \ end {aligned}} }
Nawet jeśli wszystkie pochodne cząstkowe ∂f / ∂xi (a) istnieją w danym punkcie a, to funkcja nie musi być tam ciągła. Jeśli jednak wszystkie pochodne cząstkowe istnieją w sąsiedztwie a i są tam ciągłe, to f jest całkowicie różniczkowalna w tym sąsiedztwie, a pochodna całkowita jest ciągła. W tym przypadku mówi się, że f jest funkcją C1. Można to wykorzystać do uogólnienia funkcji o wartościach wektorowych, f: U → R m, {\ Displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^ {m},} ostrożnie używając argumentu składnikowego.
Pochodna częściowa ∂ fa ∂ x {\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}}} można postrzegać jako inną funkcję zdefiniowaną na U i ponownie można ją częściowo zróżnicować. Jeżeli wszystkie mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu są ciągłe w punkcie (lub w zbiorze), f jest określane jako funkcja C2 w tym punkcie (lub w tym zbiorze); w tym przypadku pochodne cząstkowe można zamienić na twierdzenie Clairauta:
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i.{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe x_ {i} \ częściowe x_ {j}}} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe x_ {j} \ częściowe x_ {i}}}.}