Energia kinetyczna ciał sztywnych
W mechanice klasycznej energia kinetyczna obiektu punktowego (obiektu tak małego, że można założyć, że istnieje w jednym punkt) lub sztywny korpus nieobrotowy zależy od masy ciała i jego prędkości. Energia kinetyczna jest równa 1/2 iloczynu masy i kwadratu prędkości. W postaci wzoru:
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ tekst {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
gdzie m {\ displaystyle m} to masa, a v {\ displaystyle v} to prędkość (lub prędkość) ciała. W jednostkach SI masę mierzy się w kilogramach, prędkość w metrach na sekundę, a wynikowa energia kinetyczna jest w dżulach.
Na przykład można obliczyć energię kinetyczną masy 80 kg (około 180 funtów ) podróżowanie z prędkością 18 metrów na sekundę (około 40 mph lub 65 km / h), ponieważ
E k = 1 2 ⋅ 80 kg ⋅ (18 m / s) 2 = 12, 960 J = 12,96 kJ {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ left (18 \, {\ text {m / s}} \ right ) ^ {2} = 12,960 \, {\ text {J}} = 12,96 \, {\ text {kJ}}}
Kiedy ktoś rzuca piłką, pracuje nad nią, aby nadać jej szybkość opuszcza rękę. Poruszająca się piłka może wtedy w coś uderzyć i popchnąć, wykonując pracę nad tym, w co uderza. Energia kinetyczna poruszającego się obiektu jest równa pracy wymaganej do doprowadzenia go z stanu spoczynku do tej prędkości lub pracy, jaką może wykonać obiekt w stanie spoczynku: siła netto × przemieszczenie = energia kinetyczna, tj.
F s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
Ponieważ energia kinetyczna wzrasta z kwadratem prędkości, obiekt podwajający swoją prędkość ma cztery razy tyle energii kinetycznej. Na przykład samochód jadący dwa razy szybciej niż inny potrzebuje do zatrzymania czterokrotnie większej odległości, przy założeniu stałej siły hamowania. Konsekwencją tego czterokrotnego zwiększenia prędkości jest czterokrotność pracy, aby podwoić prędkość.
Energia kinetyczna obiektu jest powiązana z jego pędem za pomocą równania:
E k = p 2 2 m {\ Displaystyle E _ {\ tekst {k}} = {\ Frac {p ^ {2}} {2m}}}
gdzie:
p {\ displaystyle p \;} to pęd m {\ displaystyle m \;} jest masą ciała
Dla translacyjnej energii kinetycznej, czyli energii kinetycznej związanej z ruchem prostoliniowym, sztywnego ciała o stałej masie m {\ displaystyle m \;}, którego środek masy jest poruszanie się w linii prostej z prędkością v {\ Displaystyle v \;}, jak widać powyżej, jest równe
E t = 1 2 mv 2 {\ Displaystyle E _ {\ tekst {t}} = {\ Frac {1 } {2}} mv ^ {2}}
gdzie:
m {\ displaystyle m \;} to masa ciała v {\ displaystyle v \;} to prędkość środka masy cielesny.
Energia kinetyczna dowolnej jednostki zależy od układu odniesienia, w którym jest mierzona. Jednak całkowita energia systemu izolowanego, tj. Takiego, w którym energia nie może wejść ani wyjść, nie zmienia się w czasie w układzie odniesienia, w którym jest mierzona. Zatem energia chemiczna zamieniana na energię kinetyczną przez silnik rakietowy jest różnie rozdzielana między statek rakietowy i jego strumień spalin, w zależności od wybranej ramy odniesienia. Nazywa się to efektem Obertha. Jednak całkowita energia układu, w tym energia kinetyczna, energia chemiczna paliwa, ciepło itp., Jest zachowywana w czasie, niezależnie od wyboru układu odniesienia. Różni obserwatorzy poruszający się z różnymi układami odniesienia nie zgadzaliby się jednak co do wartości tej zachowanej energii.
Energia kinetyczna takich układów zależy od wyboru układu odniesienia: układu odniesienia, który daje minimalną wartość tej energii. jest środkiem układu pędu, tj. układem odniesienia, w którym całkowity pęd układu wynosi zero. Ta minimalna energia kinetyczna składa się na niezmienną masę układu jako całości.
Wyprowadzenie
Praca wykonana przy przyspieszaniu cząstki o masie m w nieskończenie małym przedziale czasu dt jest dana wzorem iloczyn skalarny siły F i nieskończenie małe przemieszczenie dx
F ⋅ dx = F ⋅ vdt = dpdt ⋅ vdt = v ⋅ dp = v ⋅ d (mv), {\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \ ,,}
gdzie założyliśmy zależność p = mv i ważność drugiej zasady Newtona. ( Jednak zobacz także specjalne wyprowadzenie relatywistyczne poniżej.)
Stosując regułę iloczynu widzimy, że:
d (v ⋅ v) = (dv) ⋅ v + v ⋅ (dv) = 2 (v ⋅ dv). {\ Displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}
Dlatego (zakładając wady masę tant, tak że dm = 0), mamy,
v ⋅ d (m v) = m 2 d (v ⋅ v) = m 2 d v 2 = d (m v 2 2). {\ Displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ Frac {m.} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ Frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right).}
Ponieważ jest to całkowita różnica (to znaczy zależy tylko od stanu końcowego, a nie od tego, jak cząstka się tam dostała), możemy ją scałkować i nazwać wynikową energią kinetyczną. Zakładając, że obiekt był w stanie spoczynku w czasie 0, całkujemy od czasu 0 do czasu t, ponieważ praca wykonana przez siłę w celu doprowadzenia obiektu z spoczynku do prędkości v jest równa pracy niezbędnej do wykonania odwrotnego działania:
E k = ∫ 0 t F ⋅ dx = ∫ 0 tv ⋅ d (mv) = ∫ 0 td (mv 2 2) = mv 2 2. {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.}
To równanie stwierdza, że energia kinetyczna (Ek) jest równa całce iloczynu skalarnego prędkości (v) ciała i nieskończenie małej zmiany ciała. ” s pęd (p). Zakłada się, że ciało w stanie spoczynku (nieruchome) zaczyna bez energii kinetycznej.
Ciała wirujące
Jeśli ciało sztywne Q obraca się wokół każda linia przechodząca przez środek masy to ma obrotową energię kinetyczną (E r {\ Displaystyle E _ {\ tekst {r}} \,}), która jest po prostu sumą energii kinetycznych jego ruchomych części, a zatem jest podana przez :
mi r = ∫ p v 2 dm 2 = ∫ p (r ω) 2 dm 2 = ω 2 2 ∫ p r 2 dm = ω 2 2 ja = 1 2 ja ω 2 {\ displaystyle E _ {\ text {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} { 2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} I = {\ frac {1 } {2}} I \ omega ^ {2}}
gdzie:
(W tym równaniu moment bezwładności należy przyjąć względem osi przechodzącej przez środek masy, a obrót mierzony przez ω musi znajdować się wokół tej osi; bardziej ogólne równania istnieją dla układów, w których obiekt jest podatny na chybotanie ze względu na jego ekscentryczny kształt).
Energia kinetyczna układów
Układ ciał może mieć wewnętrzną energię kinetyczną z powodu względny ruch ciał w układzie. Na przykład w Układzie Słonecznym planety i planetoidy krążą wokół Słońca. W zbiorniku gazu cząsteczki poruszają się we wszystkich kierunkach. Energia kinetyczna układu jest sumą energii kinetycznych ciał, które zawiera.
Makroskopowe ciało, które jest nieruchome (tj. Wybrano układ odniesienia, który odpowiada środkowi pędu ciała ) może mieć różne rodzaje energii wewnętrznej na poziomie molekularnym lub atomowym, które można uznać za energię kinetyczną z powodu translacji molekularnej, rotacji i wibracji, translacji elektronów i spinów oraz spinów jądrowych. masa, zgodnie ze specjalną teorią względności. Podczas omawiania ruchów ciała makroskopowego, energia kinetyczna, o której mowa, dotyczy zwykle tylko ruchu makroskopowego. Jednak wszystkie energie wewnętrzne wszystkich typów wpływają na masę ciała, bezwładność i całkowitą energię.
Dynamika płynów
W dynamice płynów energia kinetyczna na jednostkę objętości w każdym punkcie nieściśliwe pole przepływu płynu nazywa się ciśnieniem dynamicznym w tym punkcie.
E k = 1 2 mv 2 {\ Displaystyle E _ {\ tekst {k}} = {\ Frac {1} {2}} mv ^ { 2}}
Dzielenie przez V, jednostkę objętości:
E k V = 1 2 m V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ displaystyle {\ zaczynać {wyrównane} {\ frac {E_ {\ text {k}}} {V}} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q & = {\ Frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ koniec {wyrównane}}}
gdzie q {\ displaystyle q} to ciśnienie dynamiczne, a ρ to gęstość nieściśliwego płynu.
Układ odniesienia
Prędkość, a tym samym energia kinetyczna pojedynczego obiektu jest zależna od klatki (względna ): może przyjąć dowolną nieujemną wartość, wybierając odpowiedni układ inercjalny. Na przykład pocisk mijający obserwatora ma energię kinetyczną w Rama referencyjna tego obserwatora. Ten sam pocisk jest nieruchomy względem obserwatora poruszającego się z taką samą prędkością jak pocisk, a więc ma zerową energię kinetyczną. Z kolei całkowita energia kinetyczna układu obiektów nie może zostać zredukowana do zera przez odpowiedni dobór bezwładnościowego układu odniesienia, chyba że wszystkie obiekty mają taką samą prędkość. W każdym innym przypadku całkowita energia kinetyczna ma niezerowe minimum, ponieważ nie można wybrać bezwładnościowego układu odniesienia, w którym wszystkie obiekty są nieruchome. Ta minimalna energia kinetyczna przyczynia się do niezmiennej masy systemu, która jest niezależna od układu odniesienia.
Całkowita energia kinetyczna układu zależy od inercjalnego układu odniesienia: jest to suma całkowitego energia kinetyczna w środku ramy pędu i energia kinetyczna, którą masa całkowita miałaby, gdyby była skoncentrowana w środku masy.
Można to po prostu pokazać: niech V {\ displaystyle \ textstyle \ mathbf { V}} jest względną prędkością środka masy w układzie i w układzie k.Ponieważ
v 2 = (vi + V) 2 = (vi + V) ⋅ (vi + V) = vi ⋅ vi + 2 vi ⋅ V + V ⋅ V = vi 2 + 2 vi ⋅ V + V 2 , {\ Displaystyle v ^ {2} = \ lewo (V_ {i} + V \ prawej) ^ {2} = \ lewo (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ prawo) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}
Następnie
E k = ∫ v 2 2 dm = ∫ vi 2 2 dm + V ⋅ ∫ vidm + V 2 2 ∫ dm. {\ Displaystyle E _ {\ tekst {k}} = \ int {\ Frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ Frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.} E k = E i + MV 2 2. {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ Frac {MV ^ {2}} {2}}.}
Zatem energia kinetyczna układu jest najniższa do środka odniesienia pędu ramy, tj. układy odniesienia, w których środek masy jest nieruchomy (albo układ środka masy, albo inny układ ze środkiem pędu). W każdym innym układzie odniesienia występuje dodatkowa energia kinetyczna odpowiadająca całkowitej masie poruszającej się z prędkością środka masy. Energia kinetyczna układu w środku ramy pędu jest wielkością, która jest niezmienna (wszyscy obserwatorzy widzą to samo).
Obrót w układach
Czasami jest to wygodne aby podzielić całkowitą energię kinetyczną ciała na sumę translacyjnej energii kinetycznej środka masy ciała i energii obrotu wokół środka masy (energia obrotowa):
E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \,}
gdzie:
Ek to całkowita energia kinetyczna Et to translacyjna energia kinetyczna Er to energia obrotowa lub kątowa energia kinetyczna w ramie spoczynkowej
Zatem energia kinetyczna piłki tenisowej w locie to energia kinetyczna wynikająca z jej obrotu plus energia kinetyczna wynikająca z jej translacji.