Apothem a może być użyty do znalezienia pola powierzchni dowolnego regularnego wielokąta o bokach o boku s zgodnie z następującym wzorem, który również stwierdza, że pole jest równe pomnożonej apocie o połowę obwodu od ns = p.
A = nsa 2 = pa 2. {\ Displaystyle A = {\ Frac {nsa} {2}} = {\ Frac {pa} {2}}.}
Tę formułę można wyprowadzić, dzieląc n-stronny wielokąt na n przystających trójkątów równoramiennych i następnie zauważając, że apotem jest wysokością każdego trójkąta, a pole powierzchni trójkąta jest równe połowie podstawy pomnożonej przez wysokość. Następujące formuły są równoważne:
A = 1 2 nsa = 1 2 pa = 1 4 ns 2 łóżeczko (π n) = na 2 tan (π n) {\ Displaystyle A = {\ tfrac {1 } {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right) = na ^ {2} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}
Apothem regularnego wielokąta zawsze będzie promieniem wpisanego okręgu. Jest to również minimalna odległość między dowolnym bokiem wielokąta a jego środkiem.
Ta właściwość może być również użyta do łatwego wyprowadzenia wzoru na pole koła, ponieważ gdy liczba boków zbliża się do nieskończoności, obszar regularnego wielokąta zbliża się do obszaru wpisanego koła o promieniu r = a.
A = pa 2 = (2 π r) r 2 = π r 2 {\ Displaystyle A = {\ Frac {pa} {2}} = {\ frac {(2 \ pi r) r} {2}} = \ pi r ^ {2}}