Tacoma Narrows Bridge (1940)

Theodore von Kármán, de directeur van het Guggenheim Aeronautical Laboratory en een wereldberoemde aerodynamicus, was lid van de onderzoekscommissie naar de ineenstorting. Hij meldde dat de staat Washington niet in staat was om een van de verzekeringspolissen voor de brug te innen, omdat de verzekeringsagent de verzekeringspremies op frauduleuze wijze had gestort. De agent, Hallett R. French, die de Merchants Fire Assurance Company vertegenwoordigde, werd aangeklaagd en berecht voor grote diefstal voor het inhouden van de premies voor $ 800.000 aan verzekering (gelijk aan $ 14,6 miljoen vandaag). De brug was verzekerd door vele andere polissen dat dekte 80% van de waarde van de structuur van $ 5,2 miljoen (equivalent aan $ 94,9 miljoen vandaag). De meeste hiervan werden zonder incidenten verzameld.

Op 28 november 1940 meldde het Hydrografisch Bureau van de Amerikaanse marine dat de overblijfselen van de brug zich bevonden op geografische coördinaten 47 ° 16N 122 ° 33WL. / 47.267 ° N 122.550 ° W, op een diepte van 55 meter.

Film van instorten Bewerken

Minstens vier mensen hebben de instorting van de brug vastgelegd. De instorting van de brug is op film vastgelegd door Barney Elliott en Harbine Monroe, eigenaren van The Camera Shop in Tacoma. De film toont Leonard Coatsworth probeerde zijn hond te redden – zonder succes – en verliet vervolgens de brug. De film werd vervolgens verkocht aan Paramount Studios, die de beelden vervolgens dupliceerde voor bioscoopjournaals in zwart-wit en de film wereldwijd verspreidde naar bioscopen. Castle Films ontving ook distributi over rechten voor 8 mm homevideo. In 1998 werd The Tacoma Narrows Bridge Collapse door de Library of Congress geselecteerd voor bewaring in de National Film Registry van de Verenigde Staten als zijnde cultureel, historisch of esthetisch significant. Dit beeldmateriaal wordt nog steeds getoond aan studenten techniek, architectuur en natuurkunde als een waarschuwend verhaal.

De originele films van Elliott en Monroe over de bouw en ineenstorting van de brug zijn opgenomen op 16 mm Kodachrome-film, maar de meeste kopieën in omloop zijn in zwart-wit omdat de bioscoopjournaals van de dag de film hebben gekopieerd naar 35 mm zwart-witbeelden. Er waren ook verschillen in filmsnelheid tussen de beelden van Monroe en Elliot, waarbij Monroe zijn beelden in 24 fps filmde terwijl Elliott had zijn beelden gefilmd met 16 fps. Als gevolg hiervan laten de meeste exemplaren in omloop ook zien dat de brug ongeveer 50% sneller oscilleert dan real-time, omdat tijdens de conversie werd aangenomen dat de film werd opgenomen met 24 frames per seconde in plaats van de werkelijke 16 fps.

In februari 2019 verscheen een tweede filmrol, gemaakt door Arthur Leach vanaf de Gig Harbor (westelijke) kant van de brug, en een van de weinige bekende beelden van de ineenstorting vanaf die kant. Leach was een civiel ingenieur die diende als tolcollector voor de brug, en wordt verondersteld de laatste persoon te zijn die de brug naar het westen overstak voordat de brug instortte, in een poging verdere overtochten vanuit het westen te voorkomen toen de brug begon in te storten. Het beeldmateriaal van Leach (oorspronkelijk op film maar vervolgens op videocassette opgenomen door de projectie te filmen) bevat ook het commentaar van Leach ten tijde van de ineenstorting.

Commission Federal Works Agency Bewerken

Een commissie van het Federaal Arbeidsbureau bestudeerde de ineenstorting van de brug. Het omvatte Othmar Ammann en Theodore von Kármán. Zonder definitieve conclusies te trekken, onderzocht de commissie drie mogelijke storingsoorzaken:

• Aërodynamische instabiliteit door zelf opgewekte trillingen in de constructie
• Wervelformaties die mogelijk periodiek van aard zijn
• Willekeurige effecten van turbulentie, dat zijn de willekeurige fluctuaties in snelheid van de wind.

Oorzaak van de ineenstortingEdit

De originele Tacoma Narrows Bridge was de eerste die werd gebouwd met liggers van koolstofstaal die in betonblokken waren verankerd; voorgaande ontwerpen hadden typisch open tralieliggers onder het ballastbed. Deze brug was de eerste in zijn soort die plaatliggers (paren diepe I-balken) gebruikte om het ballastbed te ondersteunen. Bij de eerdere ontwerpen zou elke wind gewoon door het spant gaan, maar in het nieuwe ontwerp zou de wind boven en onder de constructie worden omgeleid.Kort nadat de bouw eind juni was voltooid (opengesteld voor verkeer op 1 juli 1940), werd ontdekt dat de brug gevaarlijk zou slingeren en knikken onder relatief milde winderige omstandigheden die gebruikelijk zijn in het gebied, en erger tijdens harde wind. Deze trilling was transversaal, waarbij de ene helft van de centrale overspanning omhoog ging terwijl de andere omlaag ging. Bestuurders zagen autos die vanuit de andere richting naderen, stijgen en dalen, terwijl ze op de gewelddadige energiegolf door de brug reden. In die tijd werd de massa van de brug echter als voldoende beschouwd om het structureel gezond te houden.

Het falen van de brug deed zich voor toen een nooit eerder vertoonde draaimodus plaatsvond, door wind van 40 mijl per uur (64 km / u). Dit is een zogenaamde torsietrillingsmodus (die verschilt van de transversale of longitudinale vibratiemodus), waarbij wanneer de linkerkant van de rijbaan naar beneden ging, de rechterkant omhoog zou gaan en vice versa (dwz de twee helften van de brug in tegengestelde richting gedraaid), terwijl de middellijn van de weg stil blijft (roerloos). Deze trilling werd veroorzaakt door aëro-elastisch fladderen.

Fluttering is een fysisch fenomeen waarbij meerdere Vrijheidsgraden van een constructie worden gekoppeld in een onstabiele oscillatie aangedreven door de wind. Hier betekent onstabiel dat de krachten en effecten die de oscillatie veroorzaken niet worden gecontroleerd door krachten en effecten die de oscillatie beperken, dus het beperkt zichzelf niet maar groeit ongebonden. Uiteindelijk nam de amplitude van de beweging die door het fladderen werd veroorzaakt toe tot boven de sterkte van een vitaal onderdeel, in dit geval de jarretelkabels. Omdat verschillende kabels faalden, werd het gewicht van het dek overgebracht op de aangrenzende kabels, die overbelast raakten en op hun beurt braken totdat bijna het hele centrale dek onder de overspanning in het water viel.

Resonantie (dankzij Von Kármán vortex street) hypothese Bewerken

De spectaculaire vernietiging van de brug wordt vaak gebruikt als een objectieve les in de noodzaak om zowel aerodynamica als resonantie-effecten in de civiele en structurele engineering in overweging te nemen. Billah en Scanlan (1991) meldde dat in feite veel natuurkundeboeken (bijvoorbeeld Resnick et al. en Tipler et al.) ten onrechte uitleggen dat de oorzaak van het falen van de Tacoma Narrows-brug een extern geforceerde mechanische resonantie was. Resonantie is de neiging van een systeem om grotere amplitudes bij bepaalde frequenties, bekend als de natuurlijke frequenties van het systeem. Bij deze frequenties kunnen zelfs relatief kleine periodieke aandrijfkrachten trillingen met een grote amplitude produceren, omdat het systeem energie opslaat. Een kind dat een schommel gebruikt, realiseert zich bijvoorbeeld dat als de duwbewegingen goed getimed zijn, de schommel met een zeer grote amplitude kan bewegen. De drijvende kracht, in dit geval het kind dat op de schommel duwt, vult precies de energie aan die het systeem verliest als de frequentie gelijk is aan de natuurlijke frequentie van het systeem.

Gewoonlijk is de benadering van die natuurkundeboeken om introduceer een geforceerde oscillator van de eerste orde, gedefinieerd door de differentiaalvergelijking van de tweede orde

waarbij m, c en k staan voor de massa, dempingscoëfficiënt en stijfheid van het lineaire systeem en F en ω vertegenwoordigen de amplitude en de hoekfrequentie van de excitatiekracht. De oplossing van een dergelijke gewone differentiaalvergelijking als functie van de tijd t vertegenwoordigt de verplaatsingsreactie van het systeem (gegeven de juiste beginvoorwaarden).In het bovenstaande systeem vindt resonantie plaats als ω ongeveer ω r = k / m {\ displaystyle \ omega _ {r} = {\ sqrt {k / m}}} is, dwz ω r {\ displaystyle \ omega _ {r}} is de natuurlijke (resonante) frequentie van het systeem. De feitelijke trillingsanalyse van een meer gecompliceerd mechanisch systeem – zoals een vliegtuig, een gebouw of een brug – is gebaseerd op de linearisatie van de bewegingsvergelijking voor het systeem, dat een multidimensionale versie van vergelijking is (vergelijking 1). De analyse vereist een eigenwaardeanalyse en daarna worden de natuurlijke frequenties van de constructie gevonden, samen met de zogenaamde fundamentele modi van het systeem, die een reeks onafhankelijke verplaatsingen en / of rotaties zijn die de verplaatste of vervormde positie en oriëntatie van het lichaam of systeem, dwz de brug beweegt als een (lineaire) combinatie van die vervormde basisposities.

Elke structuur heeft natuurlijke frequenties. Om resonantie te laten optreden, is het noodzakelijk om ook periodiciteit in de excitatiekracht te hebben. De meest verleidelijke kandidaat van de periodiciteit in de windkracht werd verondersteld de zogenaamde vortex shedding te zijn. Dit komt doordat bluflichamen (niet-gestroomlijnde lichamen), zoals brugdekken, in een vloeistofstroom wakker worden, waarvan de kenmerken afhangen van de grootte en vorm van het lichaam en de eigenschappen van de vloeistof. Deze kielzog gaat gepaard met afwisselende lagedrukwervelingen aan de windzijde van het lichaam (de zogenaamde Von Kármán-vortexstraat). Het lichaam zal als gevolg daarvan proberen naar het lagedrukgebied te bewegen, in een oscillerende beweging die door vortex veroorzaakte trillingen wordt genoemd. Uiteindelijk, als de frequentie van het uitwerpen van vortex overeenkomt met de natuurlijke frequentie van de structuur, zal de structuur beginnen te resoneren en kan de beweging van de structuur zichzelf in stand houden.

De frequentie van de wervelingen in de von Kármán vortex street wordt de Strouhal-frequentie fs {\ displaystyle f_ {s}} genoemd en wordt gegeven door

Hier staat U voor de stroomsnelheid, D is een karakteristieke lengte van het bluflichaam en S is het dimensieloze Strouhalgetal, dat afhangt van het lichaam in kwestie. Voor Reynoldsgetallen groter dan 1000 is het Strouhalgetal ongeveer gelijk aan 0,21. In het geval van de Tacoma Narrows was D ongeveer 2,4 m (8 voet) en S 0,20.

Men dacht dat de Strouhal-frequentie dicht genoeg bij een van de natuurlijke trillingsfrequenties van de brug lag, dwz 2 π fs = ω {\ displaystyle 2 \ pi f_ {s} = \ omega}, om resonantie te veroorzaken en dus door vortex veroorzaakte trillingen.

In het geval van de Tacoma Narrows Bridge lijkt dit niet zijn de oorzaak geweest van de catastrofale schade. Volgens professor Frederick Burt Farquharson, een ingenieursprofessor aan de Universiteit van Washington en een van de belangrijkste onderzoekers naar de oorzaak van het instorten van de brug, was de wind stabiel op 42 mijl per uur (68 km / u) en de frequentie van de vernietigende modus was 12 cycli / minuut (0,2 Hz). Deze frequentie was noch een natuurlijke modus van de geïsoleerde structuur, noch de frequentie van het afstoten van de brug met stompe lichamen bij die windsnelheid (die ongeveer 1 Hz was). Daarom kan worden geconcludeerd dat de vortex-shedding niet de oorzaak was van het instorten van de brug. De gebeurtenis kan alleen worden begrepen met inachtneming van het gekoppelde aerodynamische en structurele systeem dat rigoureuze wiskundige analyse vereist om alle vrijheidsgraden van de specifieke constructie en de reeks opgelegde ontwerpbelastingen te onthullen.

Vortex-geïnduceerde trillingen zijn een veel complexer proces waarbij zowel de door de wind geïnitieerde krachten als de interne zelfopgewekte krachten betrokken zijn die zich vastklampen aan de beweging van de constructie. Tijdens lock-on drijven de windkrachten de constructie aan op of nabij een van zijn natuurlijke frequenties, maar naarmate de amplitude toeneemt, heeft dit het effect van het veranderen van de lokale vloeistofgrenscondities, zodat dit compenserende, zelfbeperkende krachten induceert, die de beweging naar relatief goedaardige amplitudes. Dit is duidelijk geen lineair resonantieverschijnsel, zelfs als het bluflichaam zelf lineair gedrag vertoont, aangezien de opwindende krachtamplitude een niet-lineaire kracht is van de structurele respons.

Resonantie vs.niet-resonantie-verklaringen Bewerken

Billah en Scanlan stellen dat Lee Edson in zijn biografie van Theodore von Kármán een bron van verkeerde informatie is: “De schuldige bij de ramp in Tacoma was de Karman Vortex Street.”

Het rapport van de Federal Works Administration van het onderzoek (waar von Kármán deel van uitmaakte) concludeerde echter dat

Het is zeer onwaarschijnlijk dat de resonantie met afwisselende wervelingen spelen een belangrijke rol bij de trillingen van hangbruggen. Ten eerste werd gevonden dat er geen scherpe correlatie bestaat tussen windsnelheid en oscillatiefrequentie zoals vereist is bij resonantie met wervels waarvan de frequentie afhangt van de windsnelheid.

Een groep natuurkundigen noemde “windaangedreven versterking van de torsie-oscillatie” in tegenstelling tot resonantie:

Latere auteurs hebben de verklaring van resonantie verworpen en hun perspectief verspreidt zich geleidelijk naar de natuurkundegemeenschap. In de gebruikershandleiding van de huidige dvd van de American Association of Physics Teachers (AAPT) staat dat het instorten van de brug “geen geval van resonantie was”. Bernard Feldman concludeerde eveneens in een artikel uit 2003 voor de natuurkundeleraar dat er voor de torsie-oscillatiemodus was “geen resonantiegedrag in de amplitude als functie van de windsnelheid.” Een belangrijke bron voor zowel de AAPT-gebruikershandleiding als voor Feldman was een artikel in het American Journal of Physics uit 1991 door K. Yusuf Billah en Robert Scanlan. Volgens de twee ingenieurs had het falen van de brug te maken met een door de wind aangedreven versterking van de torsietrilling die, in tegenstelling tot een resonantie, monotoon toeneemt met toenemende windsnelheid. De vloeistofdynamica achter die versterking is gecompliceerd, maar een belangrijk element, zoals beschreven door natuurkundigen Daniel Green en William Unruh, is het creëren van grootschalige wervelingen boven en onder de rijbaan of het dek van de brug. Tegenwoordig zijn bruggen zo geconstrueerd dat ze stijf zijn en mechanismen hebben die trillingen dempen. Soms hebben ze een gleuf in het midden van het dek om drukverschillen boven en onder de weg te verminderen.

Tot op zekere hoogte is het debat te wijten aan het ontbreken van een algemeen aanvaarde precieze definitie van resonantie. Billah en Scanlan geven de volgende definitie van resonantie: “In het algemeen geldt dat wanneer een systeem dat in staat is tot oscillatie, wordt beïnvloed door een periodieke reeks impulsen met een frequentie die gelijk is aan of bijna gelijk is aan een van de natuurlijke frequenties van de oscillatie van het systeem, de systeem wordt in trilling gebracht met een relatief grote amplitude. ” Ze stellen dan later in hun paper: Zou dit een resonantiefenomeen kunnen worden genoemd? Het lijkt niet in tegenspraak te zijn met de eerder aangehaalde kwalitatieve definitie van resonantie, als we nu de bron van de periodieke impulsen identificeren als zelfgeïnduceerd, de wind die de stroom levert. , en de beweging die het stroomtappende mechanisme levert. Als men echter wil beargumenteren dat het een geval was van extern geforceerde lineaire resonantie, is het wiskundige onderscheid … vrij duidelijk, zelf-opwindende systemen die sterk genoeg verschillen van gewone lineaire resonerende. “