Sommatie

De onderstaande formules hebben betrekking op eindige sommen; zie lijst met wiskundige reeksen voor oneindige sommaties of eindige sommaties van uitdrukkingen die trigonometrische functies of andere transcendentale functies omvatten.

Algemene identiteiten Bewerken

∑ n = st C ⋅ f (n) = C ⋅ ∑ n = stf (n) {\ Displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} C \ cdot f (n) = C \ cdot \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) \ quad} (distributiviteit) ∑ n = stf (n) ± ∑ n = stg (n) = ∑ n = st (f (n) ± g (n)) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) \ pm \ som _ {n = s} ^ {t} g (n) = \ som _ {n = s} ^ {t} \ left (f (n) \ pm g (n) \ right) \ quad} (commutativiteit en associativiteit) ∑ n = stf (n) = ∑ n = s + pt + pf (n – p) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ som _ {n = s + p} ^ {t + p} f (np) \ quad} (indexverschuiving) ∑ n ∈ B f (n) = ∑ m ∈ A f (σ (m)), {\ displaystyle \ som _ {n \ in B} f (n) = \ som _ {m \ in A} f (\ sigma (m)), \ quad} voor een bijectie σ van een eindige verzameling A naar een verzameling B (index verandering); dit generaliseert de voorgaande formule. ∑ n = stf (n) = ∑ n = sjf (n) + ∑ n = j + 1 tf (n) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ som _ { n = s} ^ {j} f (n) + \ som _ {n = j + 1} ^ {t} f (n) \ quad} (een som splitsen, associativiteit gebruiken) ∑ n = abf (n) = ∑ n = 0 bf (n) – ∑ n = 0 a – 1 f (n) {\ displaystyle \ som _ {n = a} ^ {b} f (n) = \ som _ {n = 0} ^ { b} f (n) – \ sum _ {n = 0} ^ {a-1} f (n) \ quad} (een variant van de voorgaande formule) ∑ n = stf (n) = ∑ n = 0 t – sf (t – n) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ {ts} f (tn) \ quad} (de som van de eerste term tot en met de laatste is gelijk aan de som van de laatste tot de eerste) ∑ n = 0 tf (n) = ∑ n = 0 tf (t – n) {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ {t} f (tn) \ quad} (een specifiek geval van de bovenstaande formule) ∑ i = k 0 k 1 ∑ j = l 0 l 1 ai, j = ∑ j = l 0 l 1 ∑ i = k 0 k 1 ai, j {\ displaystyle \ sum _ {i = k_ {0}} ^ {k_ {1}} \ sum _ {j = l_ { 0}} ^ {l_ {1}} a_ {i, j} = \ som _ {j = l_ {0}} ^ {l_ {1}} \ som _ {i = k_ {0}} ^ {k_ { 1}} a_ {i, j} \ quad} (wederom commutativiteit en associativiteit) ∑ k ≤ j ≤ i ≤ nai, j = ∑ i = kn ∑ j = kiai, j = ∑ j = kn ∑ ik = jnai, j = ∑ j = 0 n – k ∑ ik = kn – jai + j, i {\ Displaystyle \ sum _ {k \ leq j \ leq i \ leq n} a_ {i, j} = \ som _ {i = k} ^ {n} \ som _ {j = k} ^ {i} a_ {i, j} = \ som _ {j = k} ^ {n} \ som _ {i = j} ^ {n} a_ {i, j} = \ som _ {j = 0} ^ {nk} \ som _ {i = k} ^ {nj} a_ {i + j, i} \ quad} (een andere toepassing van commutativiteit en associativiteit) ∑ n = 2 s 2 t + 1 f (n) = ∑ n = stf (2 n) + ∑ n = stf (2 n + 1) { \ displaystyle \ som _ {n = 2s} ^ {2t + 1} f (n) = \ som _ {n = s} ^ {t} f (2n) + \ som _ {n = s} ^ {t} f (2n + 1) \ quad} (een som splitsen in zijn oneven en even delen, voor even indexen) ∑ n = 2 s + 1 2 tf (n) = ∑ n = s + 1 tf (2 n) + ∑ n = s + 1 tf (2 n – 1) {\ displaystyle \ sum _ {n = 2s + 1} ^ {2t} f (n) = \ sum _ {n = s + 1} ^ {t} f ( 2n) + \ sum _ {n = s + 1} ^ {t} f (2n-1) \ quad} (een som splitsen in zijn oneven en even delen, voor oneven indexen) (∑ i = 0 nai) (∑ j = 0 nbj) = ∑ i = 0 n ∑ j = 0 naibj {\ Displaystyle \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {n} b_ {j} \ right) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sum _ {j = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {j} \ quad} ( distrib utivity) ∑ i = sm ∑ j = tnaicj = (∑ i = smai) (∑ j = tncj) {\ displaystyle \ sum _ {i = s} ^ {m} \ sum _ {j = t} ^ {n} {a_ {i}} {c_ {j}} = \ left (\ sum _ {i = s} ^ {m} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = t} ^ {n} c_ {j} \ right) \ quad} (distributiviteit staat factorisatie toe) ∑ n = st log b ⁡ f (n) = log b ⁡ ∏ n = stf (n) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ { t} \ log _ {b} f (n) = \ log _ {b} \ prod _ {n = s} ^ {t} f (n) \ quad} (de logaritme van een product is de som van de logaritmen van de factoren) C ∑ n = stf (n) = ∏ n = st C f (n) {\ Displaystyle C ^ {\ som \ limieten _ {n = s} ^ {t} f (n)} = \ prod _ {n = s} ^ {t} C ^ {f (n)} \ quad} (de exponentiële som is het product van de exponentiële som van de sommaties)

Machten en logaritme van rekenkundige progressies Bewerken

∑ i = 1 nc = nc {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} c = nc \ quad} voor elke c die niet afhankelijk is van i ∑ i = 0 ni = ∑ i = 1 ni = n (n + 1) 2 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i = \ sum _ {i = 1} ^ {n} i = {\ frac {n (n + 1)} {2 }} \ qquad} (Som van de eenvoudigste rekenkundige progressie, bestaande uit de n fi eerste natuurlijke getallen.): 52 ∑ i = 1 n (2 i – 1) = n 2 {\ displaystyle \ som _ {i = 1} ^ {n} (2i-1) = n ^ {2} \ qquad} (Som van de eerste oneven natuurlijke getallen) ∑ i = 0 n 2 i = n (n + 1) {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} 2i = n (n + 1) \ qquad} (Som van de eerste even natuurlijke getallen) ∑ i = 1 n logboek ⁡ i = logboek ⁡ n! {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ log i = \ log n! \ qquad} (Een som van logaritmen is de logaritme van het product) ∑ i = 0 ni 2 = ∑ i = 1 ni 2 = n (n + 1) (2 n + 1) 6 = n 3 3 + n 2 2 + n 6 {\ displaystyle \ som _ {i = 0} ^ {n} i ^ {2} = \ som _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = {\ frac {n ^ {3}} {3}} + {\ frac {n ^ {2}} {2}} + {\ frac {n} {6}} \ qquad} (Som van de eerste vierkanten, zie vierkant piramidaal getal.): 52 ∑ i = 0 ni 3 = (∑ i = 0 ni) 2 = (n (n + 1) 2) 2 = n 4 4 + n 3 2 + n 2 4 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {3} = \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} i \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {n (n + 1)} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {n ^ {4}} {4}} + {\ frac {n ^ {3}} {2}} + {\ frac {n ^ {2 }} {4}} \ qquad} (stelling van Nicomachus): 52

Meer in het algemeen heeft men de formule van Faulhaber

∑ k = 1 nkp = np + 1 p + 1 + 1 2 np + ∑ k = 2 p (pk) B kp – k + 1 np – k + 1, {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} + {\ frac {1} {2}} n ^ {p} + \ sum _ {k = 2} ^ {p} {\ binom {p} {k}} {\ frac {B_ {k}} {p-k + 1}} \, n ^ {p-k + 1},}

waarbij B k {\ displaystyle B_ {k}} een Bernoulli-getal aangeeft, en (pk ) {\ displaystyle {\ binom {p} {k}}} is een binominale coëfficiënt.

Sommatie-index in exponenten Bewerken

In de volgende sommaties wordt aangenomen dat a anders is dan 1.

∑ i = 0 n – 1 ai = 1 – an 1 – a {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a ^ {i} = {\ frac {1- a ^ {n}} {1-a}}} (som van een geometrische progressie) ∑ i = 0 n – 1 1 2 i = 2 – 1 2 n – 1 {\ displayst yle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {\ frac {1} {2 ^ {i}}} = 2 – {\ frac {1} {2 ^ {n-1}}}} ( speciaal geval voor a = 1/2) ∑ i = 0 n – 1 iai = a – nan + (n – 1) an + 1 (1 – a) 2 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n -1} ia ^ {i} = {\ frac {a-na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {(1-a) ^ {2}}}} (a keer de afgeleide met betrekking tot a van de geometrische progressie) ∑ i = 0 n – 1 (b + id) ai = b ∑ i = 0 n – 1 ai + d ∑ i = 0 n – 1 iai = b (1 – an 1 – a) + d (a – nan + (n – 1) an + 1 (1 – a) 2) = b (1 – an) – (n – 1) dan 1 – a + da (1 – an – 1) (1 – a) 2 {\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} \ som _ {i = 0} ^ {n-1} \ left (b + id \ right) a ^ {i} & = b \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a ^ {i} + d \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} ia ^ {i} \ \ & = b \ left ({\ frac {1-a ^ {n}} {1-a}} \ right) + d \ left ({\ frac {a- na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {(1-a) ^ {2}}} \ right) \\ & = { \ frac {b (1-a ^ {n}) – (n-1) da ^ {n}} {1-a}} + {\ frac {da (1-a ^ {n-1})} { (1-a) ^ {2}}} \ end {uitgelijnd}}} (som van een rekenkundig-geometrische reeks)

Binominale coëfficiënten en factori alsEdit

Er bestaan zeer veel sommatie-identiteiten met binominale coëfficiënten (een heel hoofdstuk van Concrete Mathematics is gewijd aan alleen de basistechnieken) . Enkele van de meest elementaire zijn de volgende.

Betrek de binominale stelling Bewerken

∑ i = 0 n (ni) an – ibi = (a + b) n, {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ kies i} a ^ {ni} b ^ {i} = (a + b) ^ {n},} de binominale stelling ∑ i = 0 n (ni) = 2 n, {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ choose i} = 2 ^ {n},} het speciale geval waarin a = b = 1 ∑ i = 0 n (ni) pi ( 1 – p) n – i = 1 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ kies i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni} = 1}, de speciale geval waarin p = a = 1 – b, die voor 0 ≤ p ≤ 1, {\ displaystyle 0 \ eq p \ leq 1,} de som van de binominale verdeling uitdrukt ∑ i = 0 ni (ni) = n (2 n – 1), {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i {n \ kies i} = n (2 ^ {n-1}),} de waarde bij a = b = 1 van de afgeleide ten opzichte van a van de binominale stelling ∑ i = 0 n (ni) i + 1 = 2 n + 1 – 1 n + 1, {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac { n \ kies i} {i + 1}} = {\ frac {2 ^ {n + 1} -1} {n + 1}},} de waarde bij a = b = 1 van de primitieve ten opzichte van a van de binominale stelling

permutatienummers Bewerken

In de volgende sommaties is n P k {\ displaystyle {} _ {n} P_ {k}} het aantal k-permutaties van n.

∑ i = 0 ni P k (ni) = n P k (2 n – k) {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {} _ {i} P_ {k} {n \ kies i} = {} _ {n} P_ {k} (2 ^ {nk})} ∑ i = 1 ni + k P k + 1 = ∑ i = 1 n ∏ j = 0 k (i + j) = (n + k + 1) ! (n – 1)! (k + 2) {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {} _ {i + k} P_ {k + 1} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ prod _ {j = 0} ^ {k} (i + j) = {\ frac {(n + k + 1)!} {(n-1)! (k + 2)}}} ∑ i = 0 ni! ⋅ (n ik) = ∑ ik = 0 n n P ik = ⌊ n! ⋅ e ⌋, n ∈ Z + {\ displaystyle \ som _ {i = 0} ^ {n} i! \ Cdot {n \ kies i} = \ som _ {i = 0} ^ {n} {} _ { n} P_ {i} = \ lfloor n! \ cdot e \ rfloor, \ quad n \ in \ mathbb {Z} ^ {+}}, waarbij en ⌊ x ⌋ {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor} de verdieping aangeeft functie.

Overige Bewerken

∑ k = 0 m (n + kn) = (n + m + 1 n + 1) {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {m} \ left ({\ begin {array} {c} n + k \\ n \\\ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} n + m + 1 \\ n + 1 \\\ end {array}} \ right)} ∑ i = kn (ik) = (n + 1 k + 1) {\ displaystyle \ sum _ {i = k} ^ {n} {i \ kies k} = {n + 1 \ kies k + 1}} ∑ i = 0 ni ⋅ i! = (n + 1)! – 1 {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i \ cdot i! = (N + 1)! – 1} ∑ i = 0 n (m + i – 1 i) = (m + nn ) {\ displaystyle \ som _ {i = 0} ^ {n} {m + i-1 \ kies i} = {m + n \ kies n}} ∑ i = 0 n (ni) 2 = (2 nn) {\ displaystyle \ som _ {i = 0} ^ {n} {n \ kies i} ^ {2} = {2n \ kies n}} ∑ i = 0 n 1 i! = ⌊ n! e ⌋ n! {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} = {\ frac {\ lfloor n! \; e \ rfloor} {n!}}}

Harmonische getallen Bewerken

∑ i = 1 n 1 i = H n {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i}} = H_ {n}} (dat wil zeggen het n-de harmonische getal) ∑ i = 1 n 1 ik = H nk {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i ^ {k}}} = H_ {n} ^ {k}} (dat is een gegeneraliseerd harmonisch getal)