PY (z) = ∑ i = 0 ∞ P (Y = i) zi = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ Displaystyle P_ {Y} (z) = \ som \ limieten _ {i = 0} ^ {\ infty} P (Y = i) z ^ {i} = \ exp \ left (\ som \ limieten _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)} X ∼ DCP (λ α 1 , λ α r,…) {\ Displaystyle X \ sim {\ text {DCP}} (\ lambda {\ alpha _ {1}}, \ lambda {\ alpha _ {r}}, \ ldots)}
Fellers karakterisering van de samengestelde Poisson-verdeling stelt dat een niet-negatief geheel getal met de waarde rv X {\ displaystyle X} oneindig deelbaar is als en slechts als zijn verdeling een discrete samengestelde Poisson-verdeling is. Er kan worden aangetoond dat de negatieve binominale verdeling is discreet oneindig deelbaar, dwz als X een negatieve binominale verdeling heeft, dan bestaan er voor elk positief geheel getal n discrete iid willekeurige variabelen X1, …, Xn waarvan de som dezelfde verdeling heeft als X. De geometrische verschuivingsverdeling is discreet samengestelde Poisson-distributie si Omdat het een triviaal geval is van negatieve binominale distributie.
Deze distributie kan batchaankomsten modelleren (zoals in een bulkwachtrij). De discrete samengestelde Poisson-verdeling wordt ook veel gebruikt in de actuariële wetenschap voor het modelleren van de verdeling van het totale claimbedrag.
Als sommige α k {\ displaystyle \ alpha _ {k}} niet-negatief zijn, is dat het geval. de discrete pseudo-verbinding Poisson-verdeling. We definiëren dat elke willekeurige willekeurige variabele Y {\ displaystyle Y} voldoet aan de karakterisering van de waarschijnlijkheidsgenererende functie
GY (z) = ∑ n = 0 ∞ P (Y = n) zn = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle G_ {Y} (z) = \ som \ limieten _ {n = 0} ^ {\ infty} P (Y = n) z ^ { n} = \ exp \ left (\ som \ limieten _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)}