P versus NPEdit
De vraag is of, voor alle problemen waarvoor een algoritme kan een gegeven oplossing snel verifiëren (dat wil zeggen, in polynomiale tijd), een algoritme kan die oplossing ook snel vinden. Aangezien de eerste de klasse van problemen beschrijft die NP wordt genoemd, terwijl de laatste P beschrijft, is de vraag gelijk aan de vraag of alle problemen in NP zich ook in P bevinden. Dit wordt algemeen beschouwd als een van de belangrijkste open vragen in de wiskunde en theoretische informatica. omdat het verstrekkende gevolgen heeft voor andere problemen in de wiskunde, en voor biologie, filosofie en cryptografie (zie P versus NP probleembewijs gevolgen). Een bekend voorbeeld van een NP-probleem waarvan niet bekend is dat het zich in P bevindt, is het Booleaanse bevredigbaarheidsprobleem.
De meeste wiskundigen en computerwetenschappers verwachten dat P ≠ NP; het blijft echter onbewezen.
De officiële verklaring van het probleem werd gegeven door Stephen Cook.
Hodge vermoeden Bewerken
Het vermoeden van Hodge is dat voor projectieve algebraïsche variëteiten, Hodge-cycli rationele lineaire combinaties zijn van algebraïsche cycli.
De officiële verklaring van het probleem werd gegeven door Pierre Deligne.
Riemann hypothesisEdit
De Riemann-hypothese is dat alle niet-triviale nullen van de analytische voortzetting van de Riemann-zetafunctie een reëel deel hebben van 1/2. Een bewijs of weerlegging hiervan zou verstrekkende gevolgen hebben voor de getaltheorie, vooral voor de verdeling van priemgetallen. Dit was Hilberts achtste probleem en wordt een eeuw later nog steeds als een belangrijk open probleem beschouwd.
De officiële verklaring van het probleem werd gegeven door Enrico Bombieri.
Het bestaan van Yang-Mills en massakloofEdit
In de natuurkunde is de klassieke Yang-Mills-theorie een generalisatie van de Maxwell-theorie van elektromagnetisme waarbij het chromo-elektromagnetische veld zelf draagt lading.Als klassieke veldentheorie heeft het oplossingen die reizen met de snelheid van het licht, zodat de kwantumversie massaloze deeltjes (gluonen) zou moeten beschrijven. Het veronderstelde fenomeen van kleuropsluiting laat echter alleen gebonden toestanden van gluonen toe, die massieve deeltjes vormen Dit is de massakloof. Een ander aspect van opsluiting is asymptotische vrijheid, waardoor het denkbaar is dat de kwantum-Yang-Mills-theorie bestaat zonder beperking tot lage-energieschalen. Het probleem is om het bestaan van de kwantum-Yang-Mills-theorie en een massakloof.
De officiële verklaring van het probleem werd gegeven door Arthur Jaffe en Edward Witten.
Navier – Stokes bestaan en gladheid Bewerken
De Navier-Stokes-vergelijkingen beschrijven de beweging van vloeistoffen en zijn een van de pijlers van de vloeistofmechanica. Het theoretische begrip van hun oplossingen is echter onvolledig. In het bijzonder omvatten oplossingen van de Navier-Stokes-vergelijkingen vaak turbulentie, waarvan de algemene oplossing nog steeds een van de grootste onopgeloste problemen in de natuurkunde is, ondanks het enorme belang ervan in wetenschap en techniek.
Zelfs basiseigenschappen van de oplossingen voor Navier-Stokes zijn nooit bewezen. Voor het driedimensionale systeem van vergelijkingen, en gegeven enkele beginvoorwaarden, hebben wiskundigen nog niet bewezen dat soepele oplossingen altijd voor altijd bestaan. Dit wordt het Navier-Stokes existentie- en gladheidsprobleem genoemd.
Het probleem is om vooruitgang te boeken naar een wiskundige theorie die inzicht geeft in deze vergelijkingen, door te bewijzen dat er gladde, wereldwijd gedefinieerde oplossingen bestaan die voldoen aan bepaalde condities, of dat ze niet altijd bestaan en de vergelijkingen mislukken.
De officiële verklaring van het probleem werd gegeven door Charles Fefferman.
Birch en Swinnerton-Dyer vermoeden Bewerken
Het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer heeft betrekking op bepaalde soorten vergelijkingen: vergelijkingen die elliptische krommen over de rationale getallen definiëren. Het vermoeden is dat er een eenvoudige manier is om te bepalen of dergelijke vergelijkingen een eindig of oneindig aantal rationele oplossingen hebben. Hilberts tiende probleem behandelde een meer algemeen type vergelijking, en in dat geval werd bewezen dat er geen manier is om te beslissen of een bepaalde vergelijking zelfs maar een oplossing heeft.
De officiële verklaring van het probleem werd gegeven door Andrew Wiles.