MC Escher

Eschers werk is onontkoombaar wiskundig. Dit heeft geleid tot een kloof tussen zijn volledige populaire roem en het gebrek aan aanzien waarmee hij werd gezien in de kunstwereld. Zijn originaliteit en beheersing van grafische technieken worden gerespecteerd, maar zijn werken werden als te intellectueel en onvoldoende lyrisch beschouwd. Bewegingen zoals conceptuele kunst hebben de kunstwereld tot op zekere hoogte omgekeerd. houding tegenover intellectualiteit en lyriek, maar dit bracht Escher niet terug, omdat traditionele critici nog steeds een hekel hadden aan zijn verhalende themas en zijn gebruik van perspectief. Deze zelfde kwaliteiten maakten zijn werk echter zeer aantrekkelijk voor het publiek.

Escher is niet de eerste kunstenaar die wiskundige themas onderzoekt: Parmigianino (1503–1540) had sferische geometrie en reflectie onderzocht in zijn Zelfportret uit 1524 in een bolle spiegel, die zijn eigen beeld in een gebogen spiegel afbeeldt, terwijl William Hogarth s Satire on False Perspective uit 1754 een voorafschaduwing is van Eschers speelse verkenning van fouten in perspectief. Een andere vroege artistieke voorloper is Giovanni Battista Piranesi (1720–1778), wiens donkere “fantastische” prenten zoals De ophaalbrug in zijn Carceri (“gevangenissen”) reeks perspectieven van complexe architectuur met veel trappen en hellingen, bevolkt door wandelende figuren. Pas met 20e-eeuwse bewegingen zoals het kubisme, De Stijl, het dadaïsme en het surrealisme begon de reguliere kunst Escher-achtige manieren te verkennen om naar de wereld te kijken vanuit meerdere gelijktijdige gezichtspunten. Hoewel Escher veel gemeen had met bijvoorbeeld het surrealisme van Magritte, kwam hij met geen van deze bewegingen in contact.

• Voorloper van Escher “s gebogen perspectieven, geometrieën en reflecties: Parmigianino” s Zelfportret in een bolle spiegel, 1524

• Voorloper van Escher s onmogelijke perspectieven: William Hogarth s Satire op False Perspective, 1753

• Voorloper van Eschers fantastische eindeloze trappen: Piranesis Carceri Plate VII – The Drawbridge, 1745, herwerkt 1761

Tessellation

In zijn vroege jaren schetste Escher landschappen en natuur, maar ook insecten als mieren, bijen, sprinkhanen en bidsprinkhanen, die in zijn latere werk veel voorkwamen.Zijn vroege liefde voor Romeinse en Italiaanse landschappen en voor de natuur wekte interesse in mozaïekpatronen, die hij Regelmatige vlakverdeling noemde; dit werd de titel van zijn boek uit 1958, compleet met reproducties van een serie houtsneden gebaseerd op vlakvullingen van het vlak, waarin hij de systematische opbouw van wiskundige ontwerpen in zijn kunstwerken beschreef. Hij schreef: “Wiskundigen hebben de poort geopend die naar een uitgebreid domein leidt”.

Na zijn reis in 1936 naar het Alhambra en naar La Mezquita, Cordoba, waar hij de Moorse architectuur en de mozaïekdecoraties met mozaïekpatroon schetste Begon Escher de eigenschappen en mogelijkheden van vlakvulling te verkennen met geometrische rasters als basis voor zijn schetsen. Vervolgens breidde hij deze uit tot complexe in elkaar grijpende ontwerpen, bijvoorbeeld met dieren als vogels, vissen en reptielen. Een van zijn eerste pogingen tot een mozaïekpatroon was zijn studie van potlood, Oost-Indische inkt en waterverf, Study of Regular Division of the Plane with Reptiles (1939), gebouwd op een hexagonaal raster. De koppen van de rode, groene en witte reptielen ontmoeten elkaar op een hoekpunt; de staarten, poten en zijkanten van de dieren grijpen precies in elkaar. Het werd gebruikt als basis voor zijn litho Reptielen uit 1943.

Zijn eerste studie wiskunde begon met papers van George Pólya en de kristallograaf Friedrich Haag over vlaksymmetriegroepen, naar hem gestuurd door zijn broer Berend, een geoloog. Hij bestudeerde zorgvuldig de 17 canonieke behanggroepen en creëerde periodieke betegelingen met 43 tekeningen van verschillende soorten symmetrie. Vanaf dit punt ontwikkelde hij een wiskundige benadering van uitingen van symmetrie in zijn kunstwerken met behulp van zijn eigen notatie. Vanaf 1937 maakte hij houtsneden op basis van de 17 groepen. Zijn Metamorphosis I (1937) begon met een serie ontwerpen die door middel van afbeeldingen een verhaal vertelden. In Metamorphosis I transformeerde hij convexe polygonen in regelmatige patronen in een vlak om een menselijk motief te vormen. Hij breidde de aanpak uit in zijn stuk Metamorphosis III, dat vier meter lang is.

In 1941 en 1942 vatte Escher zijn bevindingen voor eigen artistiek gebruik samen in een schetsboek, dat hij bestempelde (naar Haag) Regelmatige vlakverdeling in asymmetrische congruente veelhoeken (Regelmatige vlakverdeling met asymmetrische congruente polygonen). ). De wiskundige Doris Schattschneider beschreef dit notitieboek ondubbelzinnig als een opname van “een methodisch onderzoek dat alleen wiskundig onderzoek kan worden genoemd”. Ze definieerde de onderzoeksvragen die hij volgde als

(1) Wat zijn de mogelijke vormen voor een tegel die een regelmatige vlakverdeling kan produceren, dat is, een tegel die het vlak kan vullen met zijn congruente afbeeldingen zodat elke tegel op dezelfde manier wordt omgeven?
(2) Bovendien, op welke manieren zijn de randen van zon tegel door isometrieën aan elkaar gerelateerd?

Geometrieën

Hoewel Escher geen wiskundige opleiding had genoten – zijn begrip van wiskunde was grotendeels visueel en intuïtief – zijn kunst had een sterke wiskundige component, en verschillende werelden die hij tekende, waren gebouwd rond onmogelijke objecten. Na 1924 wendde Escher zich tot het schetsen van landschappen in Italië en Corsica met onregelmatige perspectieven die in natuurlijke vorm onmogelijk zijn. Zijn eerste afdruk van een onmogelijke werkelijkheid was Still Life and Street (1937); onmogelijke trappen en meerdere visuele en gravitatieperspectieven komen aan bod in populaire werken zoals Relativity (1953). House of Stairs (1951) trok de belangstelling van de wiskundige Roger Penrose en zijn vader, de bioloog Lionel Penrose. In 1956 publiceerden ze een paper, “Impossible Objects: A Special Type of Visual Illusion”, en later stuurden ze Escher een exemplaar. Escher antwoordde, terwijl hij de Penroses bewonderde voortdurend stijgende trappen, en voegde een afdruk van Ascending and Descending (1960) toe. Het papier bevatte ook de tribar of Penrose-driehoek, die Escher herhaaldelijk gebruikte in zijn litho van een gebouw dat lijkt te functioneren als een perpetuum mobile, Waterfall (1961).

Escher was voldoende geïnteresseerd in Jheronimus Bosch 1500 drieluik The Garden of Earthly Delights om een deel van het rechterpaneel, de Hel, opnieuw te creëren als een lithografie in 1935. Hij gebruikte de figuur van een middeleeuwse vrouw in een tweepuntige hoofdtooi en een lange japon in zijn litho Belvedere in 1958; het beeld is, zoals veel van zijn andere “buitengewone verzonnen plaatsen”, bevolkt met “narren, schurken en contemplators”. Escher was dus niet alleen geïnteresseerd in mogelijke of onmogelijke meetkunde, maar was, in zijn eigen woorden, een “liefhebber van de werkelijkheid”; hij combineerde “formele verbazing met een levendige en eigenzinnige visie”.

Escher werkte voornamelijk in de media van lithos en houtsneden, hoewel de weinige mezzotinten die hij maakte als meesterwerken van de techniek worden beschouwd. In zijn grafische kunst portretteerde hij wiskundige relaties tussen vormen, figuren en ruimte. In zijn prenten waren spiegelbeelden van kegels, bollen, kubussen, ringen en spiralen geïntegreerd.

Escher was ook gefascineerd door wiskundige objecten zoals de Möbius-strook, die maar één oppervlak heeft. Zijn houtgravure Möbius Strip II (1963) toont een ketting van mieren die voor altijd marcheert over wat, op elke plaats, de twee tegenoverliggende vlakken van het object zijn – die bij inspectie worden gezien als delen van het enkele oppervlak van de strook. Escher “s eigen woorden:

Een eindeloze ringvormige band heeft gewoonlijk twee verschillende oppervlakken, een binnen en een buiten. Toch kruipen op deze strook negen rode mieren achter elkaar aan en reizen zowel de voorkant als de achterkant af. Daarom heeft de strip maar één oppervlak.

De wiskundige invloed in zijn werk werd prominent na 1936, toen hij de Adria Shipping Company vrijmoedig had gevraagd of hij kon zeilde met hen mee als reizende kunstenaar in ruil voor het maken van tekeningen van hun schepen, waren ze verrassend genoeg, en hij zeilde de Middellandse Zee, waarbij hij geïnteresseerd raakte in orde en symmetrie. Escher beschreef deze reis, inclusief zijn herhaalde bezoek aan het Alhambra, als “de rijkste bron van inspiratie die ik ooit heb aangeboord”.

Eschers interesse in kromlijnig perspectief werd aangemoedigd door zijn vriend en “verwante geest” , de kunsthistoricus en kunstenaar Albert Flocon, in een ander voorbeeld van constructieve wederzijdse beïnvloeding. Flocon identificeerde Escher als een denkende kunstenaar naast Piero della Francesca, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Wenzel Jamnitzer, Abraham Bosse, Girard Desargues en Père Nicon Flocon was opgetogen over Eschers Grafiek en tekeningen, die hij las in 1959. Dit stimuleerde Flocon en André Barre om met Escher te corresponderen en het boek La Perspective curviligne (“Curvilineair perspectief”) te schrijven.

Platonische en andere lichamen

Escher verwerkte vaak driedimensionale objecten zoals de platonische lichamen zoals bollen, tetraëders en kubussen in zijn werken, zoals evenals wiskundige objecten zoals cilinders en stervormige veelvlakken. In de prent Reptielen combineerde hij twee- en driedimensionale afbeeldingen. In een van zijn artikelen benadrukte Escher het belang van dimensionaliteit:

De platte vorm irriteert me – ik heb zin om mijn objecten te vertellen, je bent te fictief, lig statisch en bevroren naast elkaar: doe iets, kom van het papier en laat me zien wat je kunt van! … Dus ik laat ze uit het vliegtuig komen … Mijn objecten … kunnen eindelijk terugkeren naar het vliegtuig en verdwijnen op hun plaats van herkomst.

Escher s kunstwerk is vooral geliefd bij wiskundigen zoals Doris Schattschneider en wetenschappers zoals Roger Penrose, die genieten van zijn gebruik van veelvlakken en geometrische vervormingen. In Zwaartekracht klimmen dieren bijvoorbeeld rond een sterdodecaëder.

De twee torens van het onmogelijke gebouw van de Waterval zijn bedekt met samengestelde veelvlakken, een een samenstelling van drie kubussen, de andere een stervormige ruitvormige dodecaëder die nu bekend is. als Eschers solide. Escher had deze vaste stof gebruikt in zijn houtsnede Sterren uit 1948, die ook alle vijf de platonische lichamen en verschillende stervormige lichamen bevat, die sterren voorstellen; de centrale vaste stof wordt bezield door kameleons die door het frame klimmen terwijl het door de ruimte wervelt. Escher bezat een 6 cm brekende telescoop en was een amateurastronoom die scherp genoeg was om waarnemingen van dubbelsterren vast te leggen.

Realiteitsniveaus

Eschers artistieke expressie werd gecreëerd op basis van beelden in zijn geest, in plaats van rechtstreeks uit waarnemingen en reizen naar andere landen. Zijn interesse in de meerdere niveaus van de werkelijkheid in kunst is te zien in werken als Drawing Hands (1948), waar twee handen worden getoond die elkaar tekenen. De criticus Steven Poole merkte op dat

Het is een keurige weergave van een van Eschers blijvende fascinaties: het contrast tussen de tweedimensionale vlakheid van een vel papier en de illusie van driedimensionaal volume dat kan worden gecreëerd met bepaalde markeringen. In Drawing Hands bestaan ruimte en het platte vlak naast elkaar, elk geboren uit en terugkeren naar de ander, de zwarte magie van de artistieke illusie die griezelig manifest wordt gemaakt.

Oneindige en hyperbolische geometrie

In 1954 kwam het International Congress of Mathematicians samen in Amsterdam, en NG de Bruin organiseerde voor de deelnemers een tentoonstelling van Eschers werk in het Stedelijk Museum. Zowel Roger Penrose als HSM Coxeter waren diep onder de indruk van Eschers intuïtieve kennis van wiskunde. Geïnspireerd door de relativiteitstheorie ontwierp Penrose zijn tribar, en zijn vader, Lionel Penrose, bedacht een trap zonder einde. Roger Penrose stuurde schetsen van beide objecten naar Escher, en de cyclus van de uitvinding was gesloten toen Escher vervolgens de perpetuum mobile-machine van Waterfall en de eindeloze mars van de monniksfiguren van Ascending and Descending creëerde. In 1957 verkreeg Coxeter de toestemming van Escher om twee van zijn tekeningen te gebruiken in zijn paper “Crystal symmetrie en zijn generalisaties “. Hij stuurde Escher een kopie van de krant; Escher noteerde dat Coxeters figuur van een hyperbolische mozaïekpatroon me nogal een schok gaf: de oneindige regelmatige herhaling van de tegels in het hyperbolische vlak, die snel kleiner werd naar de rand van de cirkel, was precies wat hij hem wilde toestaan. stellen oneindigheid voor op een tweedimensionaal vlak.

Escher bestudeerde zorgvuldig de figuur van Coxeter, markeerde deze om de achtereenvolgens kleinere cirkels te analyseren waarmee (hij concludeerde) het was geconstrueerd. Hij construeerde toen een diagram dat hij naar Coxeter stuurde om zijn analyse te tonen; Coxeter bevestigde dat het juist was, maar stelde Escher teleur met zijn zeer technische antwoord. Toch hield Escher vol met hyperbolische tegels, die hij “Coxetering” noemde. Een van de resultaten was de serie houtgravures Circle Limit I – IV. In 1959 publiceerde Coxeter zijn bevinding dat deze werken buitengewoon nauwkeurig waren: “Escher heeft het tot op de millimeter nauwkeurig gedaan”.