Kinetische energie van starre lichamen
In de klassieke mechanica wordt de kinetische energie van een puntobject (een object dat zo klein is dat kan worden aangenomen dat de massa ervan punt), of een niet-roterend star lichaam hangt af van de massa van het lichaam en zijn snelheid. De kinetische energie is gelijk aan 1/2 van het product van de massa en het kwadraat van de snelheid. In formulevorm:
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
waarbij m {\ displaystyle m} is de massa en v {\ displaystyle v} is de snelheid (of de snelheid) van het lichaam. In SI-eenheden wordt massa gemeten in kilogram, snelheid in meter per seconde, en de resulterende kinetische energie in joules.
Men zou bijvoorbeeld de kinetische energie berekenen van een massa van 80 kg (ongeveer 180 lbs ) reizen met een snelheid van 18 meter per seconde (ongeveer 40 mph of 65 km / h) als
E k = 1 2 ⋅ 80 kg ⋅ (18 m / s) 2 = 12, 960 J = 12,96 kJ {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ left (18 \, {\ text {m / s}} \ right ) ^ {2} = 12,960 \, {\ text {J}} = 12.96 \, {\ text {kJ}}}
Wanneer een persoon een bal gooit, werkt de persoon eraan om hem snelheid te geven verlaat de hand. De bewegende bal kan dan iets raken en duwen, waarbij hij werkt aan wat hij raakt. De kinetische energie van een bewegend object is gelijk aan het werk dat nodig is om het uit rust naar die snelheid te brengen, of het werk dat het object kan doen terwijl het tot stilstand wordt gebracht: netto kracht × verplaatsing = kinetische energie, dwz
F s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
Aangezien de kinetische energie toeneemt met het kwadraat van de snelheid, heeft een object dat zijn snelheid verdubbelt, vier keer zoveel kinetische energie. Een auto die twee keer zo snel rijdt als een andere, heeft bijvoorbeeld vier keer zoveel afstand nodig om te stoppen, uitgaande van een constante remkracht. Als gevolg van deze verviervoudiging is er vier keer zoveel werk nodig om de snelheid te verdubbelen.
De kinetische energie van een object is gerelateerd aan zijn momentum door de vergelijking:
E k = p 2 2 m {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}
waarbij:
p {\ displaystyle p \;} momentum is m {\ displaystyle m \;} is de massa van het lichaam
Voor de translationele kinetische energie, dat wil zeggen de kinetische energie die gepaard gaat met rechtlijnige beweging, van een star lichaam met constante massa m {\ displaystyle m \;}, waarvan het massamiddelpunt is bewegen in een rechte lijn met snelheid v {\ displaystyle v \;}, zoals hierboven te zien is gelijk aan
E t = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1 } {2}} mv ^ {2}}
waarbij:
m {\ displaystyle m \;} is de massa van het lichaam v {\ displaystyle v \;} is de snelheid van het massamiddelpunt van het lichaam.
De kinetische energie van een entiteit hangt af van het referentieframe waarin deze wordt gemeten. De totale energie van een geïsoleerd systeem, dat wil zeggen een systeem waarin energie niet kan binnenkomen of weggaan, verandert echter niet in de tijd in het referentiekader waarin het wordt gemeten. De chemische energie die door een raketmotor in kinetische energie wordt omgezet, wordt dus anders verdeeld tussen het raketschip en zijn uitlaatstroom, afhankelijk van het gekozen referentieframe. Dit wordt het Oberth-effect genoemd. Maar de totale energie van het systeem, inclusief kinetische energie, brandstof, chemische energie, warmte, enz., Blijft in de loop van de tijd behouden, ongeacht de keuze van het referentiekader. Verschillende waarnemers die met verschillende referentieframes bewegen, zouden het echter oneens zijn over de waarde van deze behouden energie.
De kinetische energie van dergelijke systemen hangt af van de keuze van het referentieframe: het referentieframe dat de minimumwaarde van die energie geeft is het centrum van het momentumframe, dwz het referentieframe waarin het totale momentum van het systeem nul is. Deze minimale kinetische energie draagt bij aan de onveranderlijke massa van het systeem als geheel.
Afleiding
Het werk dat wordt gedaan bij het versnellen van een deeltje met massa m gedurende het oneindig kleine tijdsinterval dt wordt gegeven door het puntproduct van kracht F en de oneindig kleine verplaatsing dx
F ⋅ dx = F ⋅ vdt = dpdt ⋅ vdt = v ⋅ dp = v ⋅ d (mv), {\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \ ,,}
waarbij we de relatie p = mv en de geldigheid van de Tweede Wet van Newton hebben aangenomen. ( Zie echter ook de speciale relativistische afleiding hieronder.)
Als we de productregel toepassen, zien we dat:
d (v ⋅ v) = (dv) ⋅ v + v ⋅ (dv) = 2 (v ⋅ dv). {\ displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}
Daarom (ervan uitgaande tant massa zodat dm = 0), we hebben,
v ⋅ d (m v) = m 2 d (v ⋅ v) = m 2 d v 2 = d (m v 2 2). {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right).}
Aangezien dit een totaal differentieel is (dat wil zeggen, het hangt alleen af van de eindtoestand, niet hoe het deeltje daar terecht is gekomen), kunnen we het integreren en het resultaat kinetische energie noemen. Ervan uitgaande dat het object in rust was op tijdstip 0, integreren we van tijd 0 tot tijdstip t omdat het werk dat wordt gedaan door de kracht om het object van rust naar snelheid v te brengen gelijk is aan het werk dat nodig is om het omgekeerde te doen:
E k = ∫ 0 t F ⋅ dx = ∫ 0 tv ⋅ d (mv) = ∫ 0 td (mv 2 2) = mv 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.}
Deze vergelijking stelt dat de kinetische energie (Ek) gelijk is aan de integraal van het puntproduct van de snelheid (v) van een lichaam en de oneindig kleine verandering van het lichaam ” s momentum (p). Aangenomen wordt dat het lichaam start zonder kinetische energie wanneer het in rust (bewegingloos) is.
Roterende lichamen
Als een star lichaam Q ronddraait elke lijn door het massamiddelpunt dan heeft kinetische rotatie-energie (E r {\ Displaystyle E _ {\ text {r}} \,}) die eenvoudigweg de som is van de kinetische energieën van de bewegende delen, en wordt dus gegeven door :
E r = ∫ Q v 2 dm 2 = ∫ Q (r ω) 2 dm 2 = ω 2 2 ∫ Q r 2 dm = ω 2 2 I = 1 2 I ω 2 {\ Displaystyle E _ {\ tekst {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} { 2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} I = {\ frac {1 } {2}} I \ omega ^ {2}}
waarbij:
(In deze vergelijking moet het traagheidsmoment genomen worden om een as door het massamiddelpunt en de rotatie gemeten door ω moet rond die as zijn; er bestaan meer algemene vergelijkingen voor systemen waarbij het object onderhevig is aan wiebelen vanwege zijn excentrische vorm).
Kinetische energie van systemen
Een systeem van lichamen kan interne kinetische energie hebben vanwege de relatieve beweging van de lichamen in het systeem. In het zonnestelsel bijvoorbeeld draaien de planeten en planetoïden in een baan om de zon. In een tank met gas bewegen de moleculen alle kanten op. De kinetische energie van het systeem is de som van de kinetische energieën van de lichamen die het bevat.
Een macroscopisch lichaam dat stationair is (dwz er is een referentieframe gekozen dat overeenkomt met het momentumcentrum van het lichaam). ) kan verschillende soorten interne energie hebben op moleculair of atomair niveau, die als kinetische energie kan worden beschouwd, vanwege moleculaire translatie, rotatie en vibratie, elektronentranslatie en spin, en nucleaire spin. Deze dragen allemaal bij aan de lichaamsspin. massa, zoals voorzien door de speciale relativiteitstheorie. Bij het bespreken van bewegingen van een macroscopisch lichaam is de kinetische energie meestal alleen die van de macroscopische beweging. Alle interne energieën van alle typen dragen echter bij aan de massa, traagheid en totale energie van het lichaam.
Vloeistofdynamica
Bij vloeistofdynamica wordt de kinetische energie per volume-eenheid op elk punt in een onsamendrukbaar vloeistofstroomveld wordt op dat punt de dynamische druk genoemd.
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ { 2}}
Delen door V, de volume-eenheid:
E k V = 1 2 m V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} {\ frac {E_ {\ text {k}}} {V}} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q & = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ end {uitgelijnd}}}
waarbij q {\ displaystyle q} is de dynamische druk, en ρ is de dichtheid van de onsamendrukbare vloeistof.
Referentiekader
De snelheid, en dus de kinetische energie van een enkel object, is frame-afhankelijk (relatief ): het kan elke niet-negatieve waarde aannemen, door een geschikt traagheidsreferentiekader te kiezen. Een kogel die een waarnemer passeert, heeft bijvoorbeeld kinetische energie in de re referentiekader van deze waarnemer. Dezelfde kogel is stationair voor een waarnemer die beweegt met dezelfde snelheid als de kogel, en heeft dus nul kinetische energie. Daarentegen kan de totale kinetische energie van een systeem van objecten niet tot nul worden teruggebracht door een geschikte keuze van het traagheidsreferentieframe, tenzij alle objecten dezelfde snelheid hebben. In elk ander geval heeft de totale kinetische energie een minimum dat niet nul is, omdat er geen traagheidsreferentieframe kan worden gekozen waarin alle objecten stationair zijn. Deze minimale kinetische energie draagt bij aan de invariante massa van het systeem, die onafhankelijk is van het referentieframe.
De totale kinetische energie van een systeem hangt af van het inertiële referentiekader: het is de som van het totale kinetische energie in een centrum van momentumframe en de kinetische energie die de totale massa zou hebben als deze geconcentreerd zou zijn in het massamiddelpunt.
Dit kan eenvoudig worden weergegeven: laat V {\ displaystyle \ textstyle \ mathbf { V}} is de relatieve snelheid van het massamiddelpunt frame i in frame k.Omdat
v 2 = (vi + V) 2 = (vi + V) ⋅ (vi + V) = vi ⋅ vi + 2 vi ⋅ V + V ⋅ V = vi 2 + 2 vi ⋅ V + V 2 , {\ displaystyle v ^ {2} = \ left (v_ {i} + V \ right) ^ {2} = \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}
Dan,
E k = ∫ v 2 2 dm = ∫ vi 2 2 dm + V ⋅ ∫ vidm + V 2 2 ∫ dm. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.} E k = E i + MV 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}
De kinetische energie van een systeem is dus het laagst tot het referentiepunt van het momentum frames, dwz referentiekaders waarin het massamiddelpunt stationair is (ofwel het massamiddelpuntframe of een ander centrum van het momentumframe). In elk ander referentiekader is er extra kinetische energie die overeenkomt met de totale massa die beweegt met de snelheid van het massamiddelpunt. De kinetische energie van het systeem in het midden van het momentumframe is een grootheid die invariant is (alle waarnemers zien het als hetzelfde).
Rotatie in systemen
Soms is het handig de totale kinetische energie van een lichaam splitsen in de som van de translatie kinetische energie van het massamiddelpunt van het lichaam en de rotatie-energie rond het massamiddelpunt (rotatie-energie):
E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \,}
waarbij:
Ek is de totale kinetische energie Et is de translatie-kinetische energie Er is de rotatie-energie of hoek-kinetische energie in het rustframe
Dus de kinetische energie van een tennisbal tijdens de vlucht is de kinetische energie vanwege zijn rotatie, plus de kinetische energie vanwege zijn translatie.