Basisdefinitie Bewerken
De functie f kan worden geherinterpreteerd als een familie van functies van een variabele geïndexeerd door de andere variabelen:
f (x, y ) = fy (x) = x 2 + xy + y 2. {\ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
Met andere woorden, elke waarde van y definieert een functie, aangeduid met fy , wat een functie is van één variabele x. Dat wil zeggen,
f y (x) = x 2 + x y + y 2. {\ displaystyle f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
In deze sectie geeft de subscriptnotatie fy een functie aan die afhangt van een vaste waarde van y, en niet een gedeeltelijke afgeleide.
fa (x) = x 2 + ax + a 2. {\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}.}
In deze uitdrukking is a een constante, geen variabele, dus fa is een functie van slechts één echte variabele, dat is x. Bijgevolg is de definitie van de afgeleide voor een functie van één variabele van toepassing:
f a ′ (x) = 2 x + a. {\ displaystyle f_ {a} “(x) = 2x + a.}
De bovenstaande procedure kan worden uitgevoerd voor elke keuze van a. Het samenvoegen van de afgeleiden tot een functie geeft een functie die de variatie van f in de x richting:
∂ f ∂ x (x, y) = 2 x + y. {\ displaystyle {\ frac {\ partiële f} {\ partiële x}} (x, y) = 2x + y.}
Dit is de partiële afgeleide van f met betrekking tot x. Hier is ∂ een afgeronde d die het partiële afgeleide symbool wordt genoemd. Om het te onderscheiden van de letter d, wordt ∂ soms uitgesproken als “gedeeltelijk”.
In het algemeen wordt de partiële afgeleide van een n-ary-functie f (x1, …, xn) in de richting xi op het punt (a1, …, an) gedefinieerd als:
∂ f ∂ xi (a 1, …, an) = lim h → 0 f (a 1, …, ai + h, …, an) – f (a 1, …, ai, …, an) h. {\ displaystyle {\ frac {\ partiële f} {\ partiële x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ lim _ {h \ tot 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i} + h, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}}.}
In het bovenstaande verschilquotiënt, alle variabelen behalve x ik zit vast. Die keuze van vaste waarden bepaalt een functie van één variabele
fa 1, …, ai – 1, ai + 1, …, an (xi) = f (a 1, …, ai – 1, xi, ai + 1,…, an), {\ displaystyle F_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}),}
en per definitie
dfa 1, …, ai – 1, ai + 1, …, andxi (ai) = ∂ f ∂ xi (a 1, …, an). {\ displaystyle {\ frac {df_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ { i}) = {\ frac {\ partiële f} {\ partiële x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}).}
Met andere woorden, de verschillende keuzes van een index een familie van functies met één variabele, net als in het bovenstaande voorbeeld. Deze uitdrukking laat ook zien dat de berekening van partiële afgeleiden herleidt tot de berekening van afgeleiden van één variabele.
∇ f (a) = (∂ f ∂ x 1 (a), …, ∂ f ∂ xn (a)) . {\ Displaystyle \ nabla f (a) = \ left ({\ frac {\ partiële f} {\ partiële x_ {1}}} (a), \ ldots, {\ frac {\ partiële f} {\ partiële x_ { n}}} (a) \ right).}
Deze vector wordt de gradiënt van f bij a genoemd. Als f op elk punt in een domein differentieerbaar is, dan is de gradiënt een functie met een vectorwaarde ∇f die het punt a naar de vector ∇f (a) brengt. Bijgevolg levert het verloop een vectorveld op.
∇ = i ^ + j ^ + k ^ {\ displaystyle \ nabla = \ left {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {k}}}} ∇ = ∑ j = 1 ne ^ j = e ^ 1 + e ^ 2 +… + e ^ n {\ displaystyle \ nabla = \ som _ {j = 1} ^ {n} \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j} = \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ ldots + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}
Formele definitie Bewerken
∂ ∂ xif ( a) = lim h → 0 f (a 1, …, ai – 1, ai + h, ai + 1, …, an) – f (a 1, …, ai, …, an) h = lim h → 0 f (a + hei) – f (a) h {\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} {\ frac {\ partiële} {\ partiële x_ {i}}} f (\ mathbf {a}) & = \ lim _ {h \ tot 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1 }, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ tot 0} {\ frac {f (\ mathbf {a} + he_ {i}) – f (\ mathbf {a})} {h}} \ end {uitgelijnd}} }
Zelfs als alle partiële afgeleiden ∂f / ∂xi (a) bestaan op een bepaald punt a, de functie hoeft daar niet continu te zijn. Als echter alle partiële afgeleiden bestaan in een buurt van a en daar continu zijn, dan is f totaal differentieerbaar in die buurt en is de totale afgeleide continu. In dit geval wordt gezegd dat f een C1-functie is. Dit kan worden gebruikt om te generaliseren voor functies met vectorwaarde, f: U → R m, {\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^ {m},} door zorgvuldig een componentgewijs argument te gebruiken.
De partiële afgeleide ∂ f ∂ x {\ displaystyle {\ frac {\ partiële f} {\ partiële x}}} kan worden gezien als een andere functie die is gedefinieerd op U en kan weer gedeeltelijk worden gedifferentieerd. Als alle gemengde partiële afgeleiden van de tweede orde continu zijn op een punt (of op een set), wordt f op dat punt (of op die set) een C2-functie genoemd; in dit geval kunnen de partiële afgeleiden worden uitgewisseld door de stelling van Clairaut:
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i.{\ displaystyle {\ frac {\ partiële ^ {2} f} {\ partiële x_ {i} \ partiële x_ {j}}} = {\ frac {\ partiële ^ {2} f} {\ partiële x_ {j} \ gedeeltelijk x_ {i}}}.}