Exponentiële verdeling

Gemiddelde, variantie, momenten en mediaanEdit

De gemiddelde of verwachte waarde van een exponentieel verdeelde willekeurige variabele X met snelheidsparameter λ wordt gegeven door

E ⁡ = 1 λ. {\ displaystyle \ operatorname {E} = {\ frac {1} {\ lambda}}.}

In het licht van de onderstaande voorbeelden is dit logisch: als u gemiddeld 2 oproepen per uur ontvangt , dan kun je verwachten dat je voor elke aanroep een half uur moet wachten.

De variantie van X wordt gegeven door

Var ⁡ = 1 λ 2, {\ displaystyle \ operatorname {Var} = {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}},}

dus de standaarddeviatie is gelijk aan het gemiddelde.

De momenten van X, voor n ∈ N {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}} worden gegeven door

E ⁡ = n! λ n. {\ displaystyle \ operatorname {E} \ left = {\ frac {n!} {\ lambda ^ {n}}}.}

De centrale momenten van X, voor n ∈ N {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}} worden gegeven door

μ n =! n λ n = n! λ n ∑ k = 0 n (- 1) k k!{\ displaystyle \ mu _ {n} = {\ frac {! n} {\ lambda ^ {n}}} = {\ frac {n!} {\ lambda ^ {n}}} \ sum _ {k = 0 } ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}}.}

waarbij! n de subfactor is van n

De mediaan van X wordt gegeven door

m ⁡ = ln ⁡ (2) λ < E ⁡, {\ displaystyle \ operatornaam {m} = {\ frac {\ ln (2)} {\ lambda }} < \ operatornaam {E},}

waarbij ln verwijst naar de natuurlijke logaritme. Het absolute verschil tussen het gemiddelde en de mediaan is dus

| E ⁡ – m ⁡ | = 1 – ln ⁡ (2) λ < 1 λ = σ ⁡, {\ displaystyle \ left | \ operatorname {E} \ left- \ operatorname {m} \ left \ right | = {\ frac {1- \ ln (2)} {\ lambda}} < {\ frac {1} {\ lambda}} = \ operatornaam {\ sigma}, }

in overeenstemming met de mediaan-gemiddelde ongelijkheid.

MemorylessnessEdit

Een exponentieel verdeelde willekeurige variabele voldoet aan de relatie

Pr (T > s + t ∣ T > s) = Pr (T > t), ∀ s, t ≥ 0 . {\ displaystyle \ Pr \ left (T > s + t \ mid T > s \ right) = \ Pr (T > t), \ qquad \ forall s, t \ geq 0.}

Dit kan worden gezien door de complementaire cumulatieve verdelingsfunctie te beschouwen:

Pr (T > s + t ∣ T > s) = Pr (T > s + t ∩ T > s) Pr (T > s) = Pr (T s + t) Pr (T > s) = e – λ (s + t) e – λ s = e – λ t = Pr (T > t). {\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} \ Pr \ left (T > s + t \ mid T > s \ right) & = {\ frac {\ Pr \ left (T > s + t \ cap T > s \ right)} {\ Pr \ left (T > s \ right)}} \\ & = {\ frac {\ Pr \ left (T > s + t \ right)} {\ Pr \ left (T > s \ right)} } \\ & = {\ frac {e ^ {- \ lambda (s + t)}} {e ^ {- \ lambda s}}} \\ & = e ^ {- \ lambda t} \\ & = \ Pr (T > t) . \ end {uitgelijnd}}}

Wanneer T wordt geïnterpreteerd als de wachttijd voordat een gebeurtenis plaatsvindt ten opzichte van een bepaalde begintijd, impliceert deze relatie dat, als T wordt geconditioneerd op het niet waarnemen van de gebeurtenis gedurende een bepaalde beginperiode van de tijd is de verdeling van de resterende wachttijd gelijk aan de oorspronkelijke onvoorwaardelijke verdeling. Als een gebeurtenis zich bijvoorbeeld na 30 seconden niet heeft voorgedaan, is de voorwaardelijke kans dat de gebeurtenis nog minstens 10 seconden duurt, gelijk aan de onvoorwaardelijke kans dat de gebeurtenis meer dan 10 seconden na de oorspronkelijke tijd wordt waargenomen.

De exponentiële verdeling en de geometrische verdeling zijn de enige geheugenloze kansverdelingen.

De exponentiële verdeling is bijgevolg ook noodzakelijkerwijs de enige continue kansverdeling met een constant uitvalpercentage.

QuantilesEdit

De kwantielfunctie (inverse cumulatieve verdelingsfunctie) voor Exp (λ) is

F – 1 (p; λ) = – ln ⁡ (1 – p ) λ, 0 ≤ p < 1 {\ displaystyle F ^ {- 1} (p; \ lambda) = {\ frac {- \ ln (1-p)} {\ lambda}}, \ qquad 0 \ leq p < 1}

De kwartielen zijn daarom:

• eerste kwartiel: ln (4/3 ) / λ
• mediaan: ln (2) / λ
• derde kwartiel: ln (4) / λ

En als gevolg daarvan interkwartielbereik is ln (3) / λ.

Kullback – Leibler divergentieEdit

Δ (λ 0 ∥ λ) = E λ 0 (log ⁡ p λ 0 (x) p λ (x)) = E λ 0 (log ⁡ λ 0 e – λ 0 x λ e – λ x) = logboek ⁡ (λ 0) – logboek ⁡ (λ) – (λ 0 – λ) E λ 0 (x) = logboek ⁡ (λ 0) – logboek ⁡ (λ) + λ λ 0 – 1. {\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} \ Delta (\ lambda _ {0} \ parallel \ lambda) & = \ mathbb {E} _ { \ lambda _ {0}} \ left (\ log {\ frac {p _ {\ lambda _ {0}} (x)} {p _ {\ lambda} (x)}} \ right) \\ & = \ mathbb {E} _ {\ lambda _ {0}} \ left (\ log {\ frac {\ lambda _ {0} e ^ {- \ lambda _ {0} x}} {\ lambda e ^ {- \ lambda x}}} \ right) \\ & = \ log (\ lambda _ {0}) – \ log (\ lambda) – ( \ lambda _ {0} – \ lambda) E _ {\ lambda _ {0}} (x) \\ & = \ log (\ lambda _ {0}) – \ log (\ lambda) + {\ frac {\ lambda} {\ lambda _ {0}}} – 1. \ end {uitgelijnd}}}

Maximale entropieverdeling Bewerken

Van alle continue kansverdelingen met ondersteuning is opgelost.

Verdeling van het minimum van exponentiële willekeurige variabelen Bewerken

Laat X1,. .., Xn zijn onafhankelijke exponentieel verdeelde willekeurige variabelen met snelheidsparameters λ1, …, λn. Dan is

min {X 1,…, X n} {\ displaystyle \ min \ left \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \ right \}}

ook exponentieel verdeeld, met parameter

λ = λ 1 + ⋯ + λ n. {\ displaystyle \ lambda = \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}.}

Dit kan worden gezien door de complementaire cumulatieve verdelingsfunctie te beschouwen:

Pr (min {X 1, …, X n} > x) = Pr (X 1 > x,…, X n > x) = ∏ i = 1 n Pr (X i > x) = ∏ i = 1 n exp ⁡ (- x λ i) = exp ⁡ (- x ∑ ik = 1 n λ ik). {\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} & \ Pr \ left (\ min \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \} > x \ right) \\ = {} & \ Pr \ left (X_ {1} > x, \ dotsc, X_ {n} > x \ right) \\ = {} & \ prod _ {i = 1} ^ { n} \ Pr \ left (X_ {i} > x \ right) \\ = {} & \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ exp \ left (-x \ lambda _ {i} \ right) = \ exp \ left (-x \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} \ right ). \ end {uitgelijnd}}}

De index van de variabele die het minimum bereikt, wordt verdeeld volgens de categorische verdeling

Pr (k ∣ X k = min {X 1,…, X n}) = λ k λ 1 + ⋯ + λ n. {\ Displaystyle \ Pr \ left (k \ mid X_ {k} = \ min \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \} \ right) = {\ frac {\ lambda _ {k}} { \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}}}.}

Een bewijs is als volgt:

Laat I = argmin i ∈ {1, ⋯, n} ⁡ {X 1 ,…, X n} {\ displaystyle {\ text {Let}} I = \ operatornaam {argmin} _ {i \ in \ {1, \ dotsb, n \}} \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \}} dan Pr (I = k) = ∫ 0 ∞ Pr (X k = x) Pr (X i ≠ k > x) dx = ∫ 0 ∞ λ ke – λ kx (∏ ik = 1, ik ≠ kne – λ ix) dx = λ k ∫ 0 ∞ e – (λ 1 + ⋯ + λ n) xdx = λ k λ 1 + ⋯ + λ n. {\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} {\ text {then}} \ Pr (I = k) & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ Pr ( X_ {k} = x) \ Pr (X_ {i \ neq k} > x) dx \\ & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ lambda _ {k} e ^ {- \ lambda _ {k} x} \ left (\ prod _ {i = 1, i \ neq k} ^ {n} e ^ {- \ lambda _ {i} x} \ right) dx \\ & = \ lambda _ {k} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ left (\ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n} \ right) x} dx \\ & = {\ frac {\ lambda _ {k}} { \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}}}. \ end {uitgelijnd}}}

Merk op dat

max {X 1,…, X n} {\ displaystyle \ max \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \}}

is niet exponentieel verdeeld.

Gezamenlijke momenten van iid exponentiële volgorde statistieken Bewerken

E ⁡ = ∑ k = 0 j – 1 1 (n – k) λ E ⁡ + E ⁡ = ∑ k = 0 j – 1 1 (n – k) λ ∑ k = 0 i – 1 1 (n – k) λ + ∑ k = 0 ik – 1 1 ((n – k) λ) 2 + (∑ k = 0 ik – 1 1 (n – k) λ) 2. {\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} \ operatornaam {E} \ left & = \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} { (nk) \ lambda}} \ operatornaam {E} \ left + \ operatornaam {E} \ left \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} {(nk) \ lambda}} \ som _ {k = 0} ^ {i-1} {\ frac {1} {(nk) \ lambda}} + \ som _ {k = 0 } ^ {i-1} {\ frac {1} {((nk) \ lambda) ^ {2}}} + \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {i-1} {\ frac {1 } {(nk) \ lambda}} \ right) ^ {2}. \ end {uitgelijnd}}}

Dit kan worden gezien door de wet van totale verwachting en de geheugenloze eigenschap aan te roepen:

E ⁡ = ∫ 0 ∞ E ⁡ f X (i) (X) dx = ∫ X = 0 ∞ X E ⁡ f X (i) (x) dx (aangezien X (i) = X ⟹ X (j) ≥ x) = ∫ x = 0 ∞ X + X] f X (i) (x) dx (door de geheugenloze eigenschap) = ∑ k = 0 j – 1 1 (n – k) λ E ⁡ + E ⁡.{\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} \ operatornaam {E} \ left & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatornaam {E} \ leftf_ {X_ { (i)}} (x) \, dx \\ & = \ int _ {x = 0} ^ {\ infty} x \ operatornaam {E} \ leftf_ {X_ { (i)}} (x) \, dx & & \ left ({\ textrm {sinds}} ~ X _ {(i )} = x \ impliceert X _ {(j)} \ geq x \ right) \\ & = \ int _ {x = 0} ^ {\ infty} x \ left + x \ right] f_ {X _ {(i)}} (x) \, dx & & \ left ({\ text { door de geheugenloze eigenschap}} \ right) \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} {(nk) \ lambda }} \ operatornaam {E} \ left + \ operatornaam {E} \ left. \ end {uitgelijnd}}}

Som van twee onafhankelijke exponentiële willekeurige variabelen Bewerken

f Z (z) = ∫ – ∞ ∞ f X 1 (x 1) f X 2 (z – x 1) dx 1 = ∫ 0 z λ 1 e – λ 1 x 1 λ 2 e – λ 2 (z – x 1) dx 1 = λ 1 λ 2 e – λ 2 z ∫ 0 ze (λ 2 – λ 1) x 1 dx 1 = {λ 1 λ 2 λ 2 – λ 1 (e – λ 1 z – e – λ 2 z) als λ 1 ≠ λ 2 λ 2 ze – λ z als λ 1 = λ 2 = λ. {\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} f_ {Z} (z) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X_ {1}} ( x_ {1}) f_ {X_ {2}} (z-x_ {1}) \, dx_ {1} \\ & = \ int _ {0} ^ {z } \ lambda _ {1} e ^ {- \ lambda _ {1} x_ {1}} \ lambda _ {2} e ^ {- \ lambda _ {2} (z-x_ {1})} \, dx_ {1} \\ & = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} e ^ {- \ lambda _ {2} z} \ int _ {0} ^ { z} e ^ {(\ lambda _ {2} – \ lambda _ {1}) x_ {1}} \, dx_ {1} \\ & = {\ begin { gevallen} {\ dfrac {\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}} {\ lambda _ {2} – \ lambda _ {1}}} \ left (e ^ {- \ lambda _ {1} z} -e ^ {- \ lambda _ {2} z} \ right) & {\ text {if}} \ lambda _ {1} \ neq \ lambda _ {2} \ \\ lambda ^ {2} ze ^ {- \ lambda z} & {\ text {if}} \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2} = \ lambda . \ end {cases}} \ end {uitgelijnd}}} H (Z) = 1 + γ + ln ⁡ (λ 1 – λ 2 λ 1 λ 2) + ψ (λ 1 λ 1 – λ 2), {\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} H (Z) & = 1 + \ gamma + \ ln \ left ({\ frac {\ lambda _ {1} – \ lambda _ {2 }} {\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}} \ right) + \ psi \ left ({\ frac {\ lambda _ {1}} {\ l ambda _ {1} – \ lambda _ {2}}} \ right), \ end {uitgelijnd}}}

waarbij γ {\ displaystyle \ gamma} de constante van Euler-Mascheroni is, en ψ (⋅) {\ displaystyle \ psi (\ cdot)} is de digamma-functie.

In het geval van parameters met gelijke snelheid is het resultaat een Erlang-verdeling met vorm 2 en parameter λ, {\ displaystyle \ lambda,} die in turn is een speciaal geval van gammadistributie.