Diagonaal

Zoals toegepast op een veelhoek, is een diagonaal een lijnstuk dat twee niet-opeenvolgende hoekpunten verbindt. Daarom heeft een vierhoek twee diagonalen, die tegenoverliggende paren hoekpunten met elkaar verbinden. Voor elke convexe polygoon bevinden alle diagonalen zich binnen de polygoon, maar voor inspringende polygonen bevinden sommige diagonalen zich buiten de polygoon.

Zijden Diagonalen 3 0 4 2 5 5 6 9 7 14 8 20 9 27 10 35	Zijden Diagonalen 11 44 12 54 13 65 14 77 15 90 16 104 17 119 18 135	Zijden Diagonalen 19 152 20 170 21 189 22 209 23 230 24 252 25 275 26 299	Zijden Diagonalen 27 324 28 350 29 377 30 405 31 434 32 464 33 495 34 527
Zijden	Diagonalen
35	560
36	594
37	629
38	665
39	702
40	740
41	779
42	819

Gebieden gevormd door diagonalen Bewerken

In een convexe veelhoek , als er geen drie diagonalen gelijktijdig zijn op een enkel punt in het interieur, wordt het aantal gebieden waarin de diagonalen het interieur verdelen gegeven door

(n 4) + (n – 1 2) = (n – 1) (n – 2) (n 2-3 n + 12) 24. {\ displaystyle {\ binom {n} {4}} + {\ binom {n-1} {2}} = {\ frac {(n-1) (n-2) (n ^ {2} -3n + 12)} {24}}.}

Voor n-gons met n = 3, 4, … is het aantal regios

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 …

Dit is OEIS-reeks A006522.

Snijpunten van diagonalenEdit

Als er geen drie diagonalen van een convexe polygoon op een punt in het interieur gelijktijdig zijn, is het aantal snijpunten van diagonalen worden gegeven door (n 4) {\ displaystyle {\ binom {n} {4}}}. Dit geldt bijvoorbeeld voor elke regelmatige veelhoek met een oneven aantal zijden. De formule volgt uit het feit dat elk snijpunt uniek wordt bepaald door de vier eindpunten van de twee kruisende diagonalen: het aantal snijpunten is dus het aantal combinaties van de n hoekpunten met vier tegelijk.

Regelmatige polygonen

Een driehoek heeft geen diagonalen.

Een regelmatige zeshoek heeft negen diagonalen: de zes kortere zijn gelijk aan elkaar in lengte; de drie langere zijn gelijk aan elkaar in lengte en snijden elkaar in het midden van de zeshoek. De verhouding van een lange diagonaal tot een zijde is 2 en de verhouding van een korte diagonaal tot een zijde is 3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}.

Een regelmatige zevenhoek heeft 14 diagonalen. De zeven kortere zijn gelijk aan elkaar en de zeven langere zijn gelijk aan elkaar. De reciproque van de zijde is gelijk aan de som van de reciproque van een korte en een lange diagonaal.

In elke regelmatige n-hoek met n even, snijden de lange diagonalen elkaar allemaal in het midden van de veelhoek.