De apothema a kan worden gebruikt om de oppervlakte van elke regelmatige n-zijdige veelhoek met zijlengte s te vinden volgens de volgende formule, die ook stelt dat de oppervlakte gelijk is aan de apothema vermenigvuldigd met de helft van de omtrek sinds ns = p.
A = nsa 2 = pa 2. {\ displaystyle A = {\ frac {nsa} {2}} = {\ frac {pa} {2}}.}
Deze formule kan worden afgeleid door de n-zijdige polygoon te partitioneren in n congruente gelijkbenige driehoeken, en en daarbij opmerkend dat de apothema de hoogte is van elke driehoek, en dat de oppervlakte van een driehoek gelijk is aan de helft van de basis maal de hoogte. De volgende formuleringen zijn allemaal gelijkwaardig:
A = 1 2 nsa = 1 2 pa = 1 4 ns 2 kinderbed (π n) = na 2 tan (π n) {\ displaystyle A = {\ tfrac {1 } {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ kinderbed \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right) = na ^ {2} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}
Een apothema van een regelmatige polygoon zal altijd een straal zijn van de ingeschreven cirkel. Het is ook de minimale afstand tussen een zijde van de veelhoek en het middelpunt ervan.
Deze eigenschap kan ook worden gebruikt om gemakkelijk de formule voor de oppervlakte van een cirkel af te leiden, want als het aantal zijden oneindig nadert, het gebied van de regelmatige veelhoek nadert het gebied van de ingeschreven cirkel met straal r = a.
A = pa 2 = (2 π r) r 2 = π r 2 {\ displaystyle A = {\ frac {pa} {2}} = {\ frac {(2 \ pi r) r} {2}} = \ pi r ^ {2}}