Adiabatisch proces

De wiskundige vergelijking voor een ideaal gas dat een omkeerbare (dwz geen entropie generatie) adiabatisch proces kan worden weergegeven door de polytropische procesvergelijking

PV γ = constante, {\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {constante}},}

waarbij P is druk, V is volume, en in dit geval n = γ, waarbij

γ = CPCV = f + 2 f, {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {f + 2} {f}},}

CP is de soortelijke warmte voor constante druk, CV is de soortelijke warmte voor constant volume, γ is de adiabatische index en f is het aantal vrijheidsgraden (3 voor mono-atomisch gas, 5 voor diatomisch gas en collineaire moleculen, bijv. kooldioxide).

Voor een mono-atomisch ideaal gas, γ = 5/3, en voor een diatomisch gas (zoals stikstof en zuurstof, de belangrijkste componenten van lucht), γ = 7/5. Merk op dat de bovenstaande formule alleen van toepassing is op klassieke ideale gassen en niet op Bose-Einstein- of Fermi-gassen.

Voor omkeerbare adiabatische processen is het ook waar dat

P 1 – γ T γ = constant , {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {\ text {constante}},} VT f 2 = constante, {\ displaystyle VT ^ {\ frac {f} {2}} = {\ text {constant}},}

waarbij T een absolute temperatuur is. Dit kan ook worden geschreven als

T V γ – 1 = constant. {\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = {\ text {constant}}.}

Voorbeeld van adiabatische compressie Bewerken

De compressieslag in een benzinemotor kan worden gebruikt als een voorbeeld van adiabatisch compressie. De modelaannames zijn: het ongecomprimeerde volume van de cilinder is één liter (1 L = 1000 cm3 = 0,001 m3); het gas binnenin is de lucht die alleen uit moleculaire stikstof en zuurstof bestaat (dus een diatomisch gas met 5 vrijheidsgraden, en dus γ = 7/5); de compressieverhouding van de motor is 10: 1 (dat wil zeggen, het volume van 1 liter niet-gecomprimeerd gas wordt door de zuiger teruggebracht tot 0,1 liter); en het niet-gecomprimeerde gas heeft ongeveer kamertemperatuur en druk (een warme kamertemperatuur van ~ 27 ° C, of 300 K, en een druk van 1 bar = 100 kPa, dat wil zeggen een typische atmosferische druk op zeeniveau).

P 1 V γ = constante 1 = 100.000 Pa × (0,001 m 3) 7 5 {\ displaystyle P_ {1} V ^ {\ gamma} = \ operatornaam {constante} _ {1} = 100 \, 000 ~ {\ text {Pa}} \ maal (0,001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}} = 10 5 × 6,31 × 10 – 5 Pa m 21/5 = 6,31 Pa m 21/5, {\ displaystyle = 10 ^ {5} \ times 6,31 \ times 10 ^ {- 5} ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = 6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5},}

dus onze adiabatische constante voor dit voorbeeld is ongeveer 6,31 Pa m4.2.

Het gas wordt nu gecomprimeerd tot een volume van 0,1 L (0,0001 m3) (we gaan ervan uit dat dit snel genoeg gebeurt zodat er geen warmte via de muren het gas kan binnenkomen of verlaten). De adiabatische constante blijft hetzelfde, maar met de resulterende druk onbekend

P 2 V γ = constante 1 = 6,31 Pa m 21/5 = P × (0,0001 m 3) 7 5, {\ displaystyle P_ {2} V ^ {\ gamma} = \ operatornaam {constante} _ {1} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = P \ maal (0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}},}

dus oplossing voor P2:

P 2 = 6,31 Pa m 21/5 (0,0001 m 3) 7 5 = 6,31 Pa m 21/5 2,5 × 10 – 6 m 21/5 = 2,51 × 10 6 Pa, {\ displaystyle P_ {2} = {\ frac {6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text { m}} ^ {21/5}} {(0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}}} = {\ frac {6.31 ~ {\ text { Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5}} {2,5 \ maal 10 ^ {- 6} ~ {\ text {m}} ^ {21/5}}} = 2,51 \ maal 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}},}

of 25,1 bar. Merk op dat deze druktoename meer is dan een simpele compressieverhouding van 10: 1 zou aangeven; dit komt omdat het gas niet alleen wordt gecomprimeerd, maar het werk dat wordt gedaan om het gas te comprimeren, verhoogt ook zijn interne energie, wat zich manifesteert door een stijging van de gastemperatuur en een extra stijging van de druk boven wat zou resulteren uit een simplistische berekening van 10 maal de oorspronkelijke druk.

We kunnen ook de temperatuur van het gecomprimeerde gas in de motorcilinder oplossen, met behulp van de ideale gaswet, PV = nRT (n is de hoeveelheid gas in mol en R het gas constant voor dat gas). Onze initiële voorwaarden zijn 100 kPa druk, 1 L volume en 300 K temperatuur, onze experimentele constante (nR) is:

PVT = constant 2 = 10 5 Pa × 10-3 m 3300 K = 0,333 Pa m 3 K – 1. {\ displaystyle {\ frac {PV} {T}} = \ operatornaam {constante} _ {2} = {\ frac {10 ^ {5} ~ {\ text {Pa}} \ maal 10 ^ {- 3} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {300 ~ {\ text {K}}}} = 0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1}.}

We weten dat het gecomprimeerde gas V = 0,1 L en P = 2,51 × 106 Pa heeft, dus we kunnen de temperatuur oplossen:

T = PV-constante 2 = 2,51 × 10 6 Pa × 10 – 4 m 3 0,333 Pa m 3 K – 1 = 753 K. {\ displaystyle T = {\ frac {PV} {\ operatorname {constante} _ {2}}} = {\ frac {2,51 \ maal 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}} \ maal 10 ^ {- 4} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {0.333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1} }} = 753 ~ {\ text {K}}.}

Dat is een eindtemperatuur van 753 K, of 479 ° C, of 896 ° F, ruim boven het ontstekingspunt van veel brandstoffen. Dit is de reden waarom een motor met hoge compressie brandstoffen nodig heeft die speciaal zijn samengesteld om niet zelf te ontbranden (wat de motor zou doen kloppen bij gebruik onder deze omstandigheden van temperatuur en druk), of dat een supercharger met een intercooler een drukverhoging levert maar met een lagere temperatuurstijging zou voordelig zijn. Een dieselmotor werkt onder nog extremere omstandigheden, waarbij compressieverhoudingen van 16: 1 of meer typerend zijn, om een zeer hoge gastemperatuur te bieden, wat een onmiddellijke ontsteking van de geïnjecteerde brandstof garandeert.

Adiabatisch vrij expansie van een gas Bewerken

Voor een adiabatische vrije expansie van een ideaal gas wordt het gas in een geïsoleerde container bewaard en vervolgens in een vacuüm geëxpandeerd. Omdat er geen externe druk is waartegen het gas uitzet, is het werk dat door of aan het systeem wordt gedaan nul. Aangezien dit proces geen warmteoverdracht of arbeid met zich meebrengt, impliceert de eerste wet van de thermodynamica dat de netto interne energieverandering van het systeem nul is. Voor een ideaal gas blijft de temperatuur constant omdat de interne energie dan alleen afhankelijk is van de temperatuur. Aangezien bij constante temperatuur de entropie evenredig is met het volume, neemt de entropie in dit geval toe, daarom is dit proces onomkeerbaar.

Afleiding van P – V relatie voor adiabatische verwarming en koeling Bewerken

De definitie van een adiabatisch proces is dat de warmteoverdracht naar het systeem nul is, δQ = 0. Dan, volgens de eerste wet van de thermodynamica,

(1) d U + δ W = δ Q = 0, { \ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad dU + \ delta W = \ delta Q = 0,}

waarbij dU de verandering in de interne energie van het systeem is en δW het werk is dat door het systeem wordt gedaan. Alle uitgevoerde werkzaamheden (δW) moeten ten koste gaan van de interne energie U, aangezien er geen warmte δQ uit de omgeving wordt geleverd. Drukvolume-werk δW uitgevoerd door het systeem wordt gedefinieerd als

(2) δ W = P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad \ delta W = P \, dV.}

P blijft echter niet constant tijdens een adiabatisch proces, maar verandert in plaats daarvan samen met V.

Het is gewenst te weten hoe de waarden van dP en dV zich tot elkaar verhouden naarmate het adiabatische proces vordert. Voor een ideaal gas (denk aan ideale gaswet PV = nRT) wordt de interne energie gegeven door

(3) U = α n RT = α PV, {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad U = \ alpha nRT = \ alpha PV,}

waarbij α het aantal vrijheidsgraden gedeeld door twee is, R de universele gasconstante en n het aantal mol in het systeem (een constante).

Differentiërende vergelijking (3) geeft

(4) d U = α n R d T = α d (PV) = α (P d V + V d P). {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad dU = \ alpha nR \, dT = \ alpha \, d (PV) = \ alpha (P \, dV + V \, dP).}

Vergelijking (4) wordt vaak uitgedrukt als dU = nCV dT omdat CV = αR.

Vervang nu vergelijkingen (2) en (4) door vergelijking (1) om

– P d V = α P d V + α V d P, {\ Displaystyle -P \, dV = \ alpha P \, dV + \ alpha V \, dP,}

factoriseren −P dV:

– (α + 1 ) P d V = α V d P, {\ displaystyle – (\ alpha +1) P \, dV = \ alpha V \, dP,}

en deel beide zijden door PV:

– (α + 1) d VV = α d PP. {\ displaystyle – (\ alpha +1) {\ frac {dV} {V}} = \ alpha {\ frac {dP} {P}}.}

Na integratie van de linker- en rechterkant van V0 naar V en van P0 naar P en het veranderen van de zijden,

ln ⁡ (PP 0) = – α + 1 α ln ⁡ (VV 0). {\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = – {\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ ln \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ right).}

Exponenteer beide zijden, vervang α + 1 / α door γ, de warmtecapaciteitsverhouding

(PP 0) = (VV 0) – γ, { \ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V} {V_ {0}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

en elimineer het minteken om

(PP 0) = (V 0 V) γ te verkrijgen. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V_ {0}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Daarom,

(PP 0) (VV 0) γ = 1, {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ right) ^ {\ gamma} = 1,}

en

P 0 V 0 γ = PV γ = constant. {\ displaystyle P_ {0} V_ {0} ^ {\ gamma} = PV ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}

Afleiding van P-T-relatie voor adiabatische verwarming en koeling Bewerken

Door de ideale gaswet in het bovenstaande te vervangen, krijgen we

P (n RTP) γ = constant, {\ displaystyle P \ left ({\ frac {nRT} {P}} \ right) ^ {\ gamma } = \ operatornaam {constante},}

wat vereenvoudigt tot

P 1 – γ T γ = constant. {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = \ operatorname {constante}.}

Afleiding van discrete formule en werkuitdrukking Bewerken

De verandering in interne energie van een systeem , gemeten van toestand 1 tot toestand 2, is gelijk aan

(1) Δ U = α R n T 2 – α R n T 1 = α R n Δ T. {\ Displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad \ Delta U = \ alpha RnT_ {2} – \ alpha RnT_ {1} = \ alpha Rn \ Delta T.}

Tegelijkertijd is het werk dat wordt verricht door de druk-volume veranderingen als gevolg van dit proces gelijk aan

(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P \, dV.}

Aangezien we eisen dat het proces adiabatisch is, de volgende vergelijking moet waar zijn

(3) Δ U + W = 0. {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad \ Delta U + W = 0.}

Door de vorige afleiding,

(4) PV γ = constante = P 1 V 1 γ. {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}} = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma}.}

Herschikken (4 ) geeft

P = P 1 (V 1 V) γ. {\ displaystyle P = P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Vervangen door (2) geeft

W = ∫ V 1 V 2 P 1 (V 1 V) γ d V. {\ displaystyle W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma} \ , dV.}

Integrerend verkrijgen we de uitdrukking voor werk,

W = P 1 V 1 γ V 2 1 – γ – V 1 1 – γ 1 – γ = P 2 V 2 – P 1 V 1 1 – γ. {\ displaystyle W = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} {\ frac {V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma}} = {\ frac {P_ {2} V_ {2} -P_ {1} V_ {1}} {1- \ gamma}}.}

Vervanging van γ = α + 1 / α in tweede term,

W = – α P 1 V 1 γ (V 2 1 – γ – V 1 1 – γ). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} \ left (V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma} \ right) .}

Herschikken,

W = – α P 1 V 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right).}

Gebruikmakend van de ideale gaswet en uitgaande van een constante molaire hoeveelheid (zoals vaak gebeurt in praktische gevallen),

W = – α n RT 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right). }

Door de continue formule,

P 2 P 1 = (V 2 V 1) – γ, {\ displaystyle {\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} = \ left ( {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

of

(P 2 P 1) – 1 γ = V 2 V 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}}.}

Vervanging in de vorige uitdrukking voor W,

W = – α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma }} – 1 \ right).}

Het vervangen van deze uitdrukking en (1) in (3) geeft

α n R (T 2 – T 1) = α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle \ alpha nR (T_ {2} -T_ {1}) = \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ right).}

Vereenvoudiging,

T 2 – T 1 = T 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1), {\ displaystyle T_ {2} -T_ {1} = T_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac { \ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ right),} T 2 T 1 – 1 = (P 2 P 1) γ – 1 γ – 1, {\ displaystyle {\ frac {T_ {2}} { T_ {1}}} – 1 = \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1,} T 2 = T 1 (P 2 P 1) γ – 1 γ. {\ displaystyle T_ {2} = T_ {1} \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}. }