P versus NPEdit
Spørsmålet er om, eller ikke, for alle problemene som en algoritme kan verifisere en gitt løsning raskt (det vil si i polynomisk tid), kan en algoritme også finne den løsningen raskt. Siden førstnevnte beskriver klassen av problemer som kalles NP, mens sistnevnte beskriver P, tilsvarer spørsmålet å spørre om alle problemene i NP også er i P. Dette regnes generelt som et av de viktigste åpne spørsmålene i matematikk og teoretisk informatikk ettersom det har vidtrekkende konsekvenser for andre problemer i matematikk, og for biologi, filosofi og kryptografi (se P kontra NP problem sikre konsekvenser). Et vanlig eksempel på et NP-problem som ikke er kjent for å være P er det boolske tilfredsstillelsesproblemet.
De fleste matematikere og informatikere forventer at P ≠ NP; imidlertid forblir den uprøvd.
Den offisielle erklæringen om problemet ble gitt av Stephen Cook.
Hodge conjectureEdit
Hodge-antagelsen er at for projiserende algebraiske varianter er Hodge-sykluser rasjonelle lineære kombinasjoner av algebraiske sykluser.
Den offisielle uttalelsen om problemet ble gitt av Pierre Deligne.
Riemann hypothesisEdit
Riemann-hypotesen er at alle ikke-små nuller i den analytiske fortsettelsen av Riemann zeta-funksjonen har en reell del av 1/2. Et bevis eller mangelfull beskyttelse av dette vil få vidtrekkende implikasjoner i tallteorien, spesielt for fordelingen av primtall. Dette var Hilberts åttende problem, og regnes fortsatt som et viktig åpent problem et århundre senere.
Den offisielle uttalelsen om problemet ble gitt av Enrico Bombieri.
Yang – Mills eksistens og massegapEdit
I fysikk er klassisk Yang – Mills teori en generalisering av Maxwell teorien om elektromagnetisme der det kromelektromagnetiske feltet Som en klassisk feltteori har den løsninger som beveger seg med lysets hastighet, slik at dens kvanteversjon skal beskrive masseløse partikler (gluoner). Det postulerte fenomenet fargebegrensning tillater imidlertid bare bundne tilstander av gluoner og danner massive partikler. Dette er massegapet. Et annet aspekt ved inneslutning er asymptotisk frihet som gjør det tenkelig at kvante-Yang-Mills-teorien eksisterer uten begrensning til lave energiskalaer. Problemet er å fastslå eksistensen av kvante-Yang-Mills-teorien og et massegap.
Den offisielle uttalelsen om problemet ble gitt av Arthur Jaffe og Edward Witten.
Navier – Stokes eksistens og glatthet Rediger
Navier – Stokes-ligningene beskriver bevegelsen til væsker, og er en av pilarene i væskemekanikken. Teoretisk forståelse av løsningene deres er imidlertid ufullstendig. Spesielt inkluderer løsningene av Navier-Stokes-ligningene ofte turbulens, hvor den generelle løsningen fortsatt er et av de største uløste problemene i fysikk, til tross for dens enorme betydning innen vitenskap og ingeniørfag.
Selv grunnleggende egenskaper til løsninger på Navier – Stokes har aldri blitt bevist. For det tredimensjonale ligningssystemet, og gitt noen innledende forhold, har matematikere ennå ikke bevist at glatte løsninger alltid eksisterer for all tid. Dette kalles Navier – Stokes eksistens- og glatthetsproblemet.
Problemet er å gjøre fremskritt mot en matematisk teori som vil gi innsikt i disse ligningene, ved å bevise at det eksisterer glatte, globalt definerte løsninger som oppfyller visse forhold, eller at de ikke alltid eksisterer og ligningene brytes sammen.
Den offisielle erklæringen om problemet ble gitt av Charles Fefferman.
Birch og Swinnerton-Dyer antar Rediger
Birch- og Swinnerton-Dyer-formodningen omhandler visse typer ligninger: de som definerer elliptiske kurver over de rasjonelle tallene. Antagelsen er at det er en enkel måte å fortelle om slike ligninger har et endelig eller uendelig antall rasjonelle løsninger. Hilberts tiende problem dreide seg om en mer generell form for ligning, og i så fall ble det bevist at det ikke er noen måte å avgjøre om en gitt ligning til og med har noen løsninger.
Den offisielle uttalelsen om problemet ble gitt av Andrew Wiles.