Stiv kroppers kinetiske energi
I klassisk mekanikk er den kinetiske energien til et punktobjekt (et objekt så lite at massen kan antas å eksistere på ett punkt), eller et ikke-roterende stivt legeme avhenger av kroppens masse så vel som dens hastighet. Den kinetiske energien er lik 1/2 av masseproduktet og hastighetenes kvadrat. I formelform:
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
hvor m {\ displaystyle m} er massen og v {\ displaystyle v} er kroppens hastighet (eller hastighet). I SI-enheter måles massen i kilo, hastigheten i meter per sekund, og den resulterende kinetiske energien er i joule.
For eksempel vil man beregne den kinetiske energien til en 80 kg masse (ca. 180 kg ) som kjører 18 meter per sekund (ca. 40 km / t, eller 65 km / t) som
E k = 1 2 ⋅ 80 kg ⋅ (18 m / s) 2 = 12, 960 J = 12,96 kJ {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ left (18 \, {\ text {m / s}} \ right ) ^ {2} = 12,960 \, {\ text {J}} = 12,96 \, {\ text {kJ}}}
Når en person kaster en ball, jobber personen med den for å gi den fart når den forlater hånden. Den bevegelige ballen kan deretter treffe noe og skyve det, og gjøre arbeid på det den treffer. Den kinetiske energien til et objekt i bevegelse er lik arbeidet som kreves for å bringe det fra hvile til den hastigheten, eller arbeidet objektet kan gjøre mens det blir brakt til ro: nettokraft × forskyvning = kinetisk energi, dvs.
F s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
Siden kinetisk energi øker med kvadratet av hastigheten, har et objekt som dobler hastigheten fire ganger så mye kinetisk energi. For eksempel krever en bil som går dobbelt så raskt som en annen, fire ganger så lang avstand for å stoppe, forutsatt en konstant bremsekraft. Som en konsekvens av denne firdoblingen tar det fire ganger arbeidet å doble hastigheten.
Den kinetiske energien til et objekt er relatert til momentum ved hjelp av ligningen:
E k = p 2 2 m {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}
hvor:
p {\ displaystyle p \;} er momentum m {\ displaystyle m \;} er kroppens masse
For den translasjonelle kinetiske energien, det vil si den kinetiske energien assosiert med rettlinjet bevegelse, av en stiv kropp med konstant masse m {\ displaystyle m \;}, hvis massesenter er beveger seg i en rett linje med hastighet v {\ displaystyle v \;}, som vist ovenfor er lik
E t = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1 } {2}} mv ^ {2}}
hvor:
m {\ displaystyle m \;} er kroppens masse v {\ displaystyle v \;} er hastigheten til massesenteret av kroppen.
Den kinetiske energien til enhver enhet avhenger av referanserammen der den måles. Den totale energien til et isolert system, dvs. et der energi verken kan komme inn eller ut, endres imidlertid ikke over tid i referanserammen der det måles. Dermed blir den kjemiske energien omgjort til kinetisk energi av en rakettmotor delt forskjellig mellom rakettskipet og eksosstrømmen avhengig av valgt referanseramme. Dette kalles Oberth-effekten. Men den totale energien i systemet, inkludert kinetisk energi, kjemisk energi, drivstoff, varme osv., Blir bevart over tid, uavhengig av valg av referanseramme. Ulike observatører som beveger seg med forskjellige referanserammer, vil imidlertid være uenige om verdien av denne konserverte energien.
Den kinetiske energien til slike systemer avhenger av valget av referanseramme: referanserammen som gir minimumsverdien av den energien er sentrum av momentumrammen, dvs. referanserammen der systemets totale momentum er null. Denne minimale kinetiske energien bidrar til den invariante massen til systemet som helhet.
Derivasjon
Arbeidet som gjøres for å akselerere en partikkel med masse m i det uendelige tidsintervallet dt er gitt av prikkproduktet av kraft F og den uendelige dimensjonen dx
F ⋅ dx = F ⋅ vdt = dpdt ⋅ vdt = v ⋅ dp = v ⋅ d (mv), {\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \ ,,}
der vi har antatt forholdet p = mv og gyldigheten av Newtons andre lov. ( Se imidlertid også den spesielle relativistiske avledningen nedenfor.)
Ved å bruke produktregelen ser vi at:
d (v ⋅ v) = (dv) ⋅ v + v ⋅ (dv) = 2 (v ⋅ dv). {\ displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}
Derfor, (forutsatt ulemper tant masse slik at dm = 0), har vi,
v ⋅ d (m v) = m 2 d (v ⋅ v) = m 2 d v 2 = d (m v 2 2). {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right).}
Siden dette er en total differensial (det vil si at det bare avhenger av den endelige tilstanden, ikke hvordan partikkelen kom dit), kan vi integrere den og kalle resultatet kinetisk energi. Forutsatt at objektet var i ro ved tid 0, integreres vi fra tid 0 til tid t fordi arbeidet som er utført av kraften for å bringe objektet fra hvile til hastighet v er lik arbeidet som er nødvendig for å gjøre det motsatte:
E k = ∫ 0 t F ⋅ dx = ∫ 0 tv ⋅ d (mv) = ∫ 0 td (mv 2 2) = mv 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.}
Denne ligningen sier at den kinetiske energien (Ek) er lik integralet i prikkproduktet til kroppens hastighet (v) og kroppens uendelige endring » s momentum (p). Det antas at kroppen starter uten kinetisk energi når den er i ro (ubevegelig).
Roterende legemer
Hvis et stivt legeme Q roterer rundt hvilken som helst linje gjennom massesenteret, så har den rotasjons kinetisk energi (Er {\ displaystyle E _ {\ text {r}} \,}) som ganske enkelt er summen av de kinetiske energiene til de bevegelige delene, og blir dermed gitt av :
E r = ∫ Q v 2 dm 2 = ∫ Q (r ω) 2 dm 2 = ω 2 2 ∫ Q r 2 dm = ω 2 2 I = 1 2 I ω 2 {\ displaystyle E _ {\ tekst {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} { 2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} I = {\ frac {1 } {2}} I \ omega ^ {2}}
hvor:
(I denne ligningen må treghetsmomentet tas rundt en akse gjennom massesenteret og rotasjonen målt med ω må være rundt den aksen; mer generelle ligninger eksisterer for systemer der objektet utsettes for vaklende på grunn av sin eksentriske form).
Systemers kinetiske energi
Et kroppssystem kan ha indre kinetisk energi på grunn av relativ bevegelse av legemene i systemet. I solsystemet for eksempel kretser planetene og planetoidene solen. I en tank med gass beveger molekylene seg i alle retninger. Systemets kinetiske energi er summen av de kinetiske energiene til kroppene det inneholder.
Et makroskopisk legeme som er stasjonært (dvs. en referanseramme er valgt for å svare til kroppens senter for momentum ) kan ha forskjellige typer intern energi på molekylært eller atomnivå, som kan betraktes som kinetisk energi på grunn av molekylær translasjon, rotasjon og vibrasjon, elektronoverføring og spinn og kjernefysisk spinn. Disse bidrar alle til kroppens masse, som gitt av den spesielle relativitetsteorien. Når vi diskuterer bevegelser av et makroskopisk legeme, er den kinetiske energien det refereres til vanligvis bare den for den makroskopiske bevegelsen. Imidlertid bidrar alle interne energier av alle typer til kroppens masse, treghet og total energi.
Væskedynamikk
I væskedynamikk er den kinetiske energien per volumenhet ved hvert punkt i et inkomprimerbart væskestrømningsfelt kalles det dynamiske trykket på det punktet.
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ { 2}}
Deling av V, volumenheten:
E k V = 1 2 m V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ displaystyle {\ begin {justert} {\ frac {E_ {\ text {k}}} {V}} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q & = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ end {justert}}}
der q {\ displaystyle q} er det dynamiske trykket, og ρ er tettheten til den ukomprimerbare væsken.
Referanseramme
Hastigheten og dermed den kinetiske energien til et enkelt objekt er rammeavhengig (relativ ): det kan ta en hvilken som helst ikke-negativ verdi ved å velge en passende inertial referanseramme. For eksempel har en kule som passerer en observatør kinetisk energi i gjerningsrammen til denne observatøren. Den samme kulen er stasjonær for en observatør som beveger seg med samme hastighet som kulen, og har derfor ingen kinetisk energi. Derimot kan den totale kinetiske energien til et objektsystem ikke reduseres til null ved et passende valg av treghetsreferanserammen, med mindre alle gjenstandene har samme hastighet. I alle andre tilfeller har den totale kinetiske energien et minimum som ikke er null, da det ikke kan velges noen treghetsreferanseramme der alle gjenstandene er stasjonære. Denne minste kinetiske energien bidrar til systemets uforanderlige masse, som er uavhengig av referanserammen.
Den totale kinetiske energien til et system avhenger av den inertielle referanserammen: det er summen av totalen kinetisk energi i et senter av momentumrammen og den kinetiske energien den totale massen ville ha hvis den var konsentrert i sentrum av massen.
Dette kan ganske enkelt vises: la V {\ displaystyle \ textstyle \ mathbf { V}} være den relative hastigheten til sentrum av masserammen i i rammen k.Siden
v 2 = (vi + V) 2 = (vi + V) ⋅ (vi + V) = vi ⋅ vi + 2 vi ⋅ V + V ⋅ V = vi 2 + 2 vi ⋅ V + V 2 , {\ displaystyle v ^ {2} = \ left (v_ {i} + V \ right) ^ {2} = \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}
Deretter,
E k = ∫ v 2 2 dm = ∫ vi 2 2 dm + V ⋅ ∫ vidm + V 2 2 ∫ dm. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.} E k = E i + MV 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}
Dermed er den kinetiske energien til et system lavest til sentrum av momentumreferansen rammer, dvs. referanserammer der massesenteret er stasjonært (enten sentrum for masserammen eller et annet senter for momentumrammen). I en hvilken som helst annen referanseramme er det ekstra kinetisk energi som tilsvarer den totale massen som beveger seg med hastigheten til massesenteret. Systemets kinetiske energi i sentrum av momentumrammen er en mengde som er uforanderlig (alle observatører ser det som det samme).
Rotasjon i systemer
Noen ganger er det praktisk å dele den totale kinetiske energien til et legeme i summen av kroppens massesenter translasjonelle kinetiske energi og rotasjonsenergien rundt massesenteret (rotasjonsenergi):
E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \,}
hvor:
Ek er den totale kinetiske energien Et er den translasjonelle kinetiske energien Er er rotasjonsenergien eller vinkel kinetisk energi i hvilerammen
Dermed er den kinetiske energien til en tennisball i flukt den kinetiske energien på grunn av dens rotasjon, pluss den kinetiske energien på grunn av dens translasjon. / p>