PY (z) = ∑ i = 0 ∞ P (Y = i) zi = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle P_ {Y} (z) = \ sum \ grenser _ {i = 0} ^ {\ infty} P (Y = i) z ^ {i} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)} X ∼ DCP (λ α 1 , λ α r,…) {\ displaystyle X \ sim {\ text {DCP}} (\ lambda {\ alpha _ {1}}, \ lambda {\ alpha _ {r}}, \ ldots)}
Fellers karakterisering av forbindelsen Poisson-fordeling sier at et ikke-negativt heltall verdsatt rv X {\ displaystyle X} er uendelig delelig hvis og bare hvis fordelingen er en diskret sammensatt Poisson-fordeling. Det kan vises at den negative binomefordelingen er diskret uendelig delelig, dvs. hvis X har en negativ binomial fordeling, så for ethvert positivt heltall n, finnes det diskrete i tilfeldige variabler X1, …, Xn hvis sum har samme fordeling som X har. Skift geometrisk fordeling er diskret sammensatt Poisson fordeling si da det er et trivielt tilfelle av negativ binomial fordeling.
Denne distribusjonen kan modellere batchankomster (for eksempel i en bulk kø). Den diskrete forbindelsen Poisson-distribusjon er også mye brukt i aktuarvitenskap for modellering av fordelingen av det totale kravbeløpet.
Når noen α k {\ displaystyle \ alpha _ {k}} er ikke-negative, er det den diskrete pseudoforbindelsen Poisson-distribusjon. Vi definerer at enhver diskret tilfeldig variabel Y {\ displaystyle Y} som tilfredsstiller sannsynlighetsgenererende funksjonskarakterisering
GY (z) = ∑ n = 0 ∞ P (Y = n) zn = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle G_ {Y} (z) = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} P (Y = n) z ^ { n} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)}