Som brukt på en polygon, er en diagonal et linjesegment som forbinder to ikke-påfølgende hjørner. Derfor har en firkant to diagonaler som forbinder motsatte par av hjørner. For enhver konveks polygon er alle diagonalene inne i polygonet, men for polygoner som kommer inn igjen, er noen diagonaler utenfor polygonet.
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Sider | Diagonaler | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 35 | 560 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 36 | 594 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 37 | 629 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 38 | 665 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 39 | 702 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 40 | 740 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 41 | 779 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 42 | 819 |
Regioner dannet av diagonaler Rediger
I en konveks polygon , hvis ingen tre diagonaler er samtidige på et enkelt punkt i det indre, blir antall regioner som diagonalene deler interiøret i gitt av
(n 4) + (n – 1 2) = (n – 1) (n – 2) (n 2 – 3 n + 12) 24. {\ displaystyle {\ binom {n} {4}} + {\ binom {n-1} {2}} = {\ frac {(n-1) (n-2) (n ^ {2} -3n + 12)} {24}}.}
For n-gons med n = 3, 4, … er antall regioner
1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 …
Dette er OEIS-sekvens A006522.
Kryss av diagonaler Rediger
Hvis ingen tre diagonaler i en konveks polygon er samtidige på et punkt i det indre, er antallet interiør kryss av diagonaler er gitt av (n 4) {\ displaystyle {\ binom {n} {4}}}. Dette gjelder for eksempel for enhver vanlig polygon med et ulikt antall sider. Formelen følger av det faktum at hvert skjæringspunkt bestemmes unikt av de fire endepunktene til de to skjærende diagonalene: antall skjæringer er dermed antall kombinasjoner av n-toppunktene fire om gangen.
Vanlige polygonerEdit
En trekant har ingen diagonaler.
En vanlig sekskant har ni diagonaler: de seks kortere er like hverandre i lengden; de tre lengre er like lange i hverandre og krysser hverandre i midten av sekskanten. Forholdet mellom en lang diagonal og en side er 2, og forholdet mellom en kort diagonal og en side er 3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}.
En vanlig heptagon har 14 diagonaler. De syv kortere er like, og de syv lengre er like. Den gjensidige av siden er lik summen av den gjensidige av en kort og en lang diagonal.
I en hvilken som helst vanlig n-gon med n jevn krysser de lange diagonalene hverandre i polygonens sentrum.