Grunnleggende definisjonRediger
Funksjonen f kan tolkes som en familie av funksjoner til en variabel indeksert av de andre variablene:
f (x, y ) = fy (x) = x 2 + xy + y 2. {\ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
Med andre ord, hver verdi på y definerer en funksjon, betegnet fy , som er en funksjon av en variabel x. Det vil si
f y (x) = x 2 + x y + y 2. {\ displaystyle f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
I denne delen betegner abonnementsnotasjonen fy en funksjon som er betinget av en fast verdi på y, og ikke en delvis avledet.
fa (x) = x 2 + ax + a 2. {\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}.}
I dette uttrykket er a en konstant, ikke en variabel, så fa er en funksjon av bare en ekte variabel, det vil si x. Følgelig gjelder definisjonen av derivatet for en funksjon av en variabel:
f a ′ (x) = 2 x + a. {\ displaystyle f_ {a} «(x) = 2x + a.}
Fremgangsmåten ovenfor kan utføres for ethvert valg av a. Å sette derivatene sammen til en funksjon gir en funksjon som beskriver variasjonen av f i x retning:
∂ f ∂ x (x, y) = 2 x + y. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, y) = 2x + y.}
Dette er delderivatet av f med hensyn til x. Her er ∂ en avrundet d kalt delvis derivat symbol. For å skille det fra bokstaven d, blir ∂ noen ganger uttalt «delvis».
Generelt er den delvise derivatet av en n-ary-funksjon f (x1, …, xn) i retningen xi ved punktet (a1, …, an) definert til å være:
∂ f ∂ xi (a 1,…, an) = lim h → 0 f (a 1,…, ai + h,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i} + h, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}}.}
I forskjellskvotienten ovenfor, alle variablene unntatt x jeg blir holdt fast. Valget av faste verdier bestemmer en funksjon av en variabel
fa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, an (xi) = f (a 1,…, ai – 1, xi, ai + 1,…, an), {\ displaystyle f_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}),}
og per definisjon,
dfa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, andxi (ai) = ∂ f ∂ xi (a 1,…, an). {\ displaystyle {\ frac {df_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ { i}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}).}
Med andre ord, de forskjellige valgene til en indeks en familie med en variabel fungerer akkurat som i eksemplet ovenfor. Dette uttrykket viser også at beregningen av partielle derivater reduseres til beregningen av derivater med en variabel.
∇ f (a) = (∂ f ∂ x 1 (a),…, ∂ f ∂ xn (a)) . {\ displaystyle \ nabla f (a) = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (a), \ ldots, {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ { n}}} (a) \ right).}
Denne vektoren kalles gradienten til f ved a. Hvis f er differensierbart på hvert punkt i et domene, er gradienten en vekters funksjon functionf som fører punktet a til vektoren ∇f (a). Følgelig produserer gradienten et vektorfelt.
∇ = i ^ + j ^ + k ^ {\ displaystyle \ nabla = \ left {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {k}}}} ∇ = ∑ j = 1 ne ^ j = e ^ 1 + e ^ 2 + … + e ^ n {\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j} = \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ ldots + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}
Formell definisjonRediger
∂ ∂ xif ( a) = lim h → 0 f (a 1,…, ai – 1, ai + h, ai + 1,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h = lim h → 0 f (a + hei) – f (a) h {\ displaystyle {\ begin {justert} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} f (\ mathbf {a}) & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1 }, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {a} + he_ {i}) – f (\ mathbf {a})} {h}} \ end {align}} }
Selv om alle delderivatene ∂f / ∂xi (a) eksisterer på et gitt punkt a, funksjonen trenger ikke være kontinuerlig der. Imidlertid, hvis alle delderivater eksisterer i et nabolag av a og er kontinuerlige der, så er f totalt differensierbart i det nabolaget og det totale derivatet er kontinuerlig. I dette tilfellet sies det at f er en C1-funksjon. Dette kan brukes til å generalisere for vektorverdifunksjoner, f: U → R m, {\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^ {m},} ved å bruke et komponentvis argument.
Delderivatet ∂ f ∂ x {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}} kan sees på som en annen funksjon definert på U og kan igjen bli delvis differensiert. Hvis alle blandede andreordens partielle derivater er kontinuerlige ved et punkt (eller på et sett), blir f betegnet som en C2-funksjon på det punktet (eller på det settet); i dette tilfellet kan delderivatene byttes ut av Clairauts teorem:
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i.{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {j} \ delvis x_ {i}}}.}