Adiabatisk prosess

Den matematiske ligningen for en ideell gass som gjennomgår en reversibel (dvs. entropi generasjon) adiabatisk prosess kan representeres av den polytropiske prosessligningen

PV γ = konstant, {\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {konstant}},}

der P er trykk, V er volum, og for dette tilfellet er n = γ, der

γ = CPCV = f + 2 f, {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {f + 2} {f}},}

CP er den spesifikke varmen for konstant trykk, CV er den spesifikke varmen for konstant volum, γ er den adiabatiske indeksen, og f er antall frihetsgrader (3 for monatomagass, 5 for diatomagass og kollinære molekyler, f.eks. karbondioksid).

For en monatomisk idealgass, γ = 5/3, og for en kiselgur (som nitrogen og oksygen, hovedkomponentene i luften), γ = 7/5. Merk at formelen ovenfor bare gjelder klassiske idealgasser og ikke Bose – Einstein- eller Fermi-gasser.

For reversible adiabatiske prosesser er det også sant at

P 1 – γ T γ = konstant , {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {\ text {konstant}},} VT f 2 = konstant, {\ displaystyle VT ^ {\ frac {f} {2}} = {\ text {constant}},}

der T er en absolutt temperatur. Dette kan også skrives som

T V γ – 1 = konstant. {\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = {\ text {constant}}.}

Eksempel på adiabatisk kompresjonEdit

Kompresjonsslaget i en bensinmotor kan brukes som et eksempel på adiabatisk kompresjon. Modellantagelsene er: det ukomprimerte volumet på sylinderen er en liter (1 L = 1000 cm3 = 0,001 m3); gassen inne er luften som bare består av molekylært nitrogen og oksygen (altså en kiselgur med 5 frihetsgrader, og så γ = 7/5); motorens kompresjonsforhold er 10: 1 (det vil si at 1 L volumet av ukomprimert gass reduseres til 0,1 L av stempelet); og den ukomprimerte gassen har omtrent romtemperatur og trykk (en varm romtemperatur på ~ 27 ° C eller 300 K, og et trykk på 1 bar = 100 kPa, dvs. typisk havnivå atmosfæretrykk).

P 1 V γ = konstant 1 = 100 000 Pa × (0,001 m 3) 7 5 {\ displaystyle P_ {1} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant} _ {1} = 100 \, 000 ~ {\ text {Pa}} \ times (0.001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}} = 10 5 × 6,31 × 10 – 5 Pa m 21/5 = 6,31 Pa m 21/5, {\ displaystyle = 10 ^ {5} \ times 6.31 \ times 10 ^ {- 5} ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5},}

så vår adiabatiske konstant for dette eksemplet er omtrent 6,31 Pa m4.2.

Gassen er nå komprimert til et volum på 0,1 L (0,0001 m3) (vi antar at dette skjer raskt nok til at ingen varme kan komme inn i eller etterlate gassen gjennom veggene). Den adiabatiske konstanten forblir den samme, men med det resulterende trykket ukjent

P 2 V γ = konstant 1 = 6,31 Pa m 21/5 = P × (0,0001 m 3) 7 5, {\ displaystyle P_ {2} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant} _ {1} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = P \ times (0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}},}

så løser for P2:

P 2 = 6,31 Pa m 21/5 (0,0001 m 3) 7 5 = 6,31 Pa m 21/5 2,5 × 10 – 6 m 21/5 = 2,51 × 10 6 Pa, {\ displaystyle P_ {2} = {\ frac {6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text { m}} ^ {21/5}} {(0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}}} = {\ frac {6.31 ~ {\ text { Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5}} {2,5 \ ganger 10 ^ {- 6} ~ {\ text {m}} ^ {21/5}}} = 2,51 \ ganger 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}},}

eller 25.1 bar. Merk at denne trykkøkningen er mer enn et enkelt kompresjonsforhold på 10: 1 vil indikere; Dette er fordi gassen ikke bare er komprimert, men arbeidet som gjøres for å komprimere gassen øker også sin indre energi, noe som manifesterer seg ved en økning i gastemperaturen og en ytterligere økning i trykk over det som ville være resultatet av en forenklet beregning av ganger det opprinnelige trykket.

Vi kan også løse temperaturen på komprimert gass i motorsylinderen ved å bruke den ideelle gassloven, PV = nRT (n er mengden gass i mol og R gassen konstant for den gassen). Våre utgangsbetingelser er 100 kPa trykk, 1 L volum og 300 K temperatur, vår eksperimentelle konstant (nR) er:

PVT = konstant 2 = 105 Pa × 10 – 3 m 3300 K = 0,333 Pa m 3 K – 1. {\ displaystyle {\ frac {PV} {T}} = \ operatorname {constant} _ {2} = {\ frac {10 ^ {5} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 3} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {300 ~ {\ text {K}}}} = 0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1}.}

Vi vet at den komprimerte gassen har V = 0,1 L og P = 2,51 × 106 Pa, så vi kan løse temperaturen:

T = PV-konstant 2 = 2,51 × 10 6 Pa × 10 – 4 m 3 0,333 Pa m 3 K – 1 = 753 K. {\ displaystyle T = {\ frac {PV} {\ operatorname {constant} _ {2}}} = {\ frac {2.51 \ times 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 4} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {0.333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1} }} = 753 ~ {\ text {K}}.}

Det er en sluttemperatur på 753 K, eller 479 ° C, eller 896 ° F, godt over antennelsespunktet for mange drivstoff. Dette er grunnen til at en komprimeringsmotor krever drivstoff som er spesielt formulert for ikke å tenne selv (noe som vil føre til at motoren banker når den brukes under disse temperatur- og trykkforholdene), eller at en kompressor med en intercooler for å gi et trykkøkning men med temperaturøkning vil være fordelaktig. En dieselmotor fungerer under enda mer ekstreme forhold, med kompresjonsforhold på 16: 1 eller mer som er typiske, for å gi en veldig høy bensintemperatur, som sikrer umiddelbar antenning av det injiserte drivstoffet.

Adiabatic free utvidelse av en gasEdit

For en adiabatisk fri ekspansjon av en ideell gass, er gassen inneholdt i en isolert beholder og får deretter ekspandere i vakuum. Fordi det ikke er noe eksternt trykk for gassen å utvide seg mot, er arbeidet utført av eller på systemet null. Siden denne prosessen ikke involverer varmeoverføring eller arbeid, innebærer den første loven om termodynamikk at netto intern energiendring i systemet er null. For en ideell gass forblir temperaturen konstant fordi den indre energien bare avhenger av temperaturen i så fall. Siden entropien er proporsjonal med volumet ved konstant temperatur, øker entropien i dette tilfellet, derfor er denne prosessen irreversibel.

Derivasjon av P – V-forhold for adiabatisk oppvarming og kjøling Rediger

Definisjonen av en adiabatisk prosess er at varmeoverføringen til systemet er null, δQ = 0. Deretter, i henhold til termodynamikkens første lov,

(1) d U + δ W = δ Q = 0, { \ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad dU + \ delta W = \ delta Q = 0,}

der dU er endringen i systemets interne energi og δW er arbeidet som gjøres av systemet. Alt arbeid (δW) som utføres må gjøres på bekostning av intern energi U, siden det ikke tilføres varme δQ fra omgivelsene. Trykk – volumarbeid δW utført av systemet er definert som

(2) δ W = P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad \ delta W = P \, dV.}

P forblir imidlertid ikke konstant under en adiabatisk prosess, men endres i stedet sammen med V.

Det er ønskelig å vite hvordan verdiene til dP og dV forholder seg til hverandre når den adiabatiske prosessen fortsetter. For en ideell gass (husk idealgassloven PV = nRT) er den indre energien gitt av

(3) U = α n RT = α PV, {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad U = \ alpha nRT = \ alpha PV,}

der α er antall frihetsgrader delt på to, R er den universelle gasskonstanten og n er antall mol i systemet (en konstant).

Differensierende ligning (3) gir

(4) d U = α n R d T = α d (PV) = α (P d V + V d P). {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad dU = \ alpha nR \, dT = \ alpha \, d (PV) = \ alpha (P \, dV + V \, dP).}

Ligning (4) uttrykkes ofte som dU = nCV dT fordi CV = αR.

Nå erstatter ligninger (2) og (4) i ligning (1) for å oppnå

– Pd V = α P d V + α V d P, {\ displaystyle -P \, dV = \ alpha P \, dV + \ alpha V \, dP,}

factorize −P dV:

– (α + 1 ) P d V = α V d P, {\ displaystyle – (\ alpha +1) P \, dV = \ alpha V \, dP,}

og del begge sider med PV:

– (α + 1) d VV = α d PP. {\ displaystyle – (\ alpha +1) {\ frac {dV} {V}} = \ alpha {\ frac {dP} {P}}.}

Etter integrering av venstre og høyre side fra V0 til V og fra P0 til P og å endre sidene henholdsvis,

ln ⁡ (PP 0) = – α + 1 α ln ⁡ (VV 0). {\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = – {\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ ln \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ right).}

Eksponenter begge sider, erstatt α + 1 / α med γ, varmekapasitetsforholdet

(PP 0) = (VV 0) – γ, { \ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V} {V_ {0}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

og eliminere det negative tegnet for å oppnå

(PP 0) = (V 0 V) γ. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V_ {0}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Derfor,

(PP 0) (VV 0) γ = 1, {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ høyre) ^ {\ gamma} = 1,}

og

P 0 V 0 γ = PV γ = konstant. {\ displaystyle P_ {0} V_ {0} ^ {\ gamma} = PV ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}

Derivasjon av P – T-forhold for adiabatisk oppvarming og kjøling Rediger

Ved å erstatte den ideelle gassloven i det ovennevnte, får vi

P (n RTP) γ = konstant, {\ displaystyle P \ left ({\ frac {nRT} {P}} \ høyre) ^ {\ gamma } = \ operatorname {constant},}

som forenkler til

P 1 – γ T γ = konstant. {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}

Derivasjon av diskret formel og arbeidsuttrykk Rediger

Endringen i intern energi i et system , målt fra tilstand 1 til tilstand 2, er lik

(1) Δ U = α R n T2 – α R n T 1 = α R n Δ T. {\ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad \ Delta U = \ alpha RnT_ {2} – \ alpha RnT_ {1} = \ alpha Rn \ Delta T.}

Samtidig er arbeidet som utføres av trykkvolumet endres som et resultat av denne prosessen, lik

(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P \, dV.}

Siden vi krever at prosessen skal være adiabatisk, følgende ligning må være sant

(3) Δ U + W = 0. {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad \ Delta U + W = 0.}

Av forrige avledning,

(4) PV γ = konstant = P 1 V 1 γ. {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}} = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma}.}

Omorganisering (4 ) gir

P = P 1 (V 1 V) γ. {\ displaystyle P = P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Å erstatte dette i (2) gir

W = ∫ V 1 V 2 P 1 (V 1 V) γ d V. {\ displaystyle W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma} \ , dV.}

Integrering får vi uttrykket for arbeid,

W = P 1 V 1 γ V 2 1 – γ – V 1 1 – γ 1 – γ = P 2 V 2 – P 1 V 1 1 – γ. {\ displaystyle W = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} {\ frac {V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma}} = {\ frac {P_ {2} V_ {2} -P_ {1} V_ {1}} {1- \ gamma}}.}

Erstatter γ = α + 1 / α i andre periode,

W = – α P 1 V 1 γ (V 2 1 – γ – V 1 1 – γ). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} \ left (V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma} \ right) .}

Omorganisering,

W = – α P 1 V 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right).}

Ved å bruke den ideelle gassloven og anta en konstant molar mengde (som ofte skjer i praktiske tilfeller),

W = – α n RT 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1 ) . {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right). }

Med den kontinuerlige formelen,

P 2 P 1 = (V 2 V 1) – γ, {\ displaystyle {\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} = \ left ( {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ høyre) ^ {- \ gamma},}

eller

(P 2 P 1) – 1 γ = V 2 V 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}}.}

Substituerer i forrige uttrykk for W,

W = – α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma }} – 1 \ høyre).}

Å erstatte dette uttrykket og (1) i (3) gir

α n R (T 2 – T 1) = α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle \ alpha nR (T_ {2} -T_ {1}) = \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ høyre).}

Forenkling,

T 2 – T 1 = T 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1), {\ displaystyle T_ {2} -T_ {1} = T_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac { \ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ høyre),} T 2 T 1 – 1 = (P 2 P 1) γ – 1 γ – 1, {\ displaystyle {\ frac {T_ {2}} { T_ {1}}} – 1 = \ venstre ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ høyre) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1,} T2 = T 1 (P 2 P 1) γ – 1 γ. {\ displaystyle T_ {2} = T_ {1} \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}. }