물질, 부피가 증가하는 단열 과정 중에 작동 물질의 내부 에너지가 감소해야합니다.
이상 기체가 가역적을 겪는 수학적 방정식 (즉, 엔트로피 생성) 단열 과정은 다방 성 과정 방정식으로 나타낼 수 있습니다.
PV γ = constant, {\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}},}
여기서 P는 압력, V 볼륨이고,이 경우 n = γ, 여기서
γ = CPCV = f + 2 f, {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {f + 2} {f}},}
CP는 일정한 압력에 대한 비열, CV는 일정한 부피에 대한 비열, γ는 단열 지수, f는 자유도 (3 단원 자 기체의 경우 5, 이원자 기체 및 공선 분자 (예 : 이산화탄소).
단원 자 이상 기체의 경우 γ = 5/3, 이원자 가스 (예 : 공기의 주요 성분 인 질소 및 산소)의 경우 γ = 7/5입니다. 위의 공식은 Bose–Einstein 또는 Fermi 기체가 아닌 고전적인 이상 기체에만 적용됩니다.
가역 단열 공정의 경우
P 1 − γ T γ = 상수 , {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {\ text {constant}},} VT f 2 = 상수, {\ displaystyle VT ^ {\ frac {f} {2}} = {\ text {constant}},}
여기서 T는 절대 온도입니다. 이것은 또한 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
T V γ − 1 = constant. {\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = {\ text {constant}}.}
단열 압축의 예 편집
가솔린 엔진의 압축 행정을 단열의 예로 사용할 수 있습니다. 압축. 모델 가정은 다음과 같습니다. 실린더의 비 압축 부피는 1 리터입니다 (1L = 1000cm3 = 0.001m3). 내부의 가스는 분자 질소와 산소만으로 구성된 공기입니다 (따라서 자유도가 5 인 이원자 가스이므로 γ = 7/5). 엔진의 압축비는 10 : 1입니다 (즉, 압축되지 않은 가스의 1L 부피는 피스톤에 의해 0.1L로 감소합니다). 압축되지 않은 가스는 대략 실온과 압력에 있습니다 (따뜻한 실내 온도 ~ 27 ° C 또는 300K, 압력 1bar = 100kPa, 즉 일반적인 해수면 대기압).
P 1 V γ = 상수 1 = 100,000 Pa × (0.001 m 3) 7 5 {\ displaystyle P_ {1} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant} _ {1} = 100 \, 000 ~ {\ text {Pa}} \ times (0.001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}} = 10 5 × 6.31 × 10 − 5 Pa m 21/5 = 6.31 Pa m 21/5, {\ displaystyle = 10 ^ {5} \ times 6.31 \ times 10 ^ {-5} ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5},}
따라서이 예의 단열 상수는 약 6.31 Pa m4.2입니다.
가스는 이제 0.1L (0.0001m3) 부피로 압축됩니다 (이 작업은 벽을 통해 가스로 들어가거나 나가는 열이 없을 정도로 충분히 빠르게 발생한다고 가정합니다). 단열 상수는 동일하게 유지되지만 결과 압력은 알 수 없습니다.
P 2 V γ = 상수 1 = 6.31 Pa m 21 / 5 = P × (0.0001 m 3) 7 5, {\ displaystyle P_ {2} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant} _ {1} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = P \ times (0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}},}
P2에 대한 풀이 :
P 2 = 6.31 Pa m 21/5 (0.0001 m 3) 7 5 = 6.31 Pa m 21/5 2.5 × 10 − 6 m 21/5 = 2.51 × 10 6 Pa, {\ displaystyle P_ {2} = {\ frac {6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text { m}} ^ {21/5}} {(0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}}} = {\ frac {6.31 ~ {\ text { Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5}} {2.5 \ times 10 ^ {-6} ~ {\ text {m}} ^ {21/5}}} = 2.51 \ times 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}},}
또는 25.1 막대. 이 압력 증가는 단순한 10 : 1 압축 비율이 나타내는 것 이상입니다. 이는 가스가 압축 될뿐만 아니라 가스를 압축하기 위해 수행 된 작업이 내부 에너지를 증가시키기 때문입니다. 이는 가스 온도의 상승과 10의 단순한 계산으로 인한 압력 이상의 추가 상승으로 나타납니다. 원래 압력의 배입니다.
이상 기체 법칙 PV = nRT를 사용하여 엔진 실린더의 압축 기체 온도도 구할 수 있습니다 (n은 기체의 양 (몰)이고 R은 기체입니다. 해당 가스에 대해 상수). 초기 조건은 압력 100kPa, 부피 1L, 온도 300K이며 실험 상수 (nR)는 다음과 같습니다.
PVT = 상수 2 = 10 5 Pa × 10-3 m 3300 K = 0.333 Pa m 3 K − 1. {\ displaystyle {\ frac {PV} {T}} = \ operatorname {constant} _ {2} = {\ frac {10 ^ {5} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {-3} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {300 ~ {\ text {K}}}} = 0.333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {-1}.}
압축 된 가스의 값은 V = 0.1 L이고 P = 2.51 × 106 Pa이므로 온도를 구할 수 있습니다.
T = PV 상수 2 = 2.51 × 10 6 Pa × 10 − 4 m 3 0.333 Pa m 3 K − 1 = 753 K. {\ displaystyle T = {\ frac {PV} {\ operatorname {constant} _ {2}}} = {\ frac {2.51 \ times 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 4} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {0.333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {-1} }} = 753 ~ {\ text {K}}.}
이것은 많은 연료의 발화점보다 훨씬 높은 753K 또는 479 ° C 또는 896 ° F의 최종 온도입니다. 이것이 고압 엔진이 자기 점화 (이러한 온도 및 압력 조건에서 작동 할 때 엔진 노킹을 유발할 수 있음)하지 않도록 특별히 제조 된 연료를 필요로하거나 인터쿨러가있는 과급기가 압력 부스트를 제공하지만 더 낮은 압력을 제공하는 이유입니다. 온도 상승이 유리할 것입니다. 디젤 엔진은 분사 된 연료의 즉각적인 점화를 보장하는 매우 높은 가스 온도를 제공하기 위해 일반적으로 16 : 1 이상의 압축 비율로 훨씬 더 극단적 인 조건에서 작동합니다.
단열 없음 가스의 팽창 편집
이상 기체의 단열없는 팽창을 위해 가스는 절연 된 용기에 담겨진 다음 진공 상태에서 팽창 할 수 있습니다. 가스가 팽창 할 외부 압력이 없기 때문에 시스템에서 수행하는 작업은 0입니다. 이 과정은 열 전달이나 작업을 포함하지 않기 때문에 열역학의 첫 번째 법칙은 시스템의 순 내부 에너지 변화가 0임을 의미합니다. 이상 기체의 경우 내부 에너지가 온도에만 의존하기 때문에 온도는 일정하게 유지됩니다. 일정한 온도에서 엔트로피는 부피에 비례하므로이 경우 엔트로피가 증가하므로이 과정은 되돌릴 수 없습니다.
단열 가열 및 냉각을위한 P-V 관계 유도 편집
단열 과정의 정의는 시스템으로의 열 전달이 0, δQ = 0이라는 것입니다. 그런 다음 열역학 제 1 법칙에 따르면
(1) d U + δ W = δ Q = 0, { \ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad dU + \ delta W = \ delta Q = 0,}
여기서 dU는 시스템 내부 에너지의 변화이고 δW는 시스템이 수행하는 작업입니다. 수행 된 모든 작업 (δW)은 주변에서 열 δQ가 공급되지 않기 때문에 내부 에너지 U를 희생하여 수행되어야합니다. 시스템에 의해 수행되는 압력-체적 작업 δW는 다음과 같이 정의됩니다.
(2) δ W = P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad \ delta W = P \, dV.}
그러나 P는 단열 과정에서 일정하게 유지되지 않고 대신 V와 함께 변경됩니다.
단열 과정이 진행됨에 따라 dP와 dV의 값이 서로 어떻게 관련되는지 아는 것이 바람직합니다. 이상 기체의 경우 (이상 기체 법칙 PV = nRT) 내부 에너지는 다음과 같습니다.
(3) U = α n RT = α PV, {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad U = \ alpha nRT = \ alpha PV,}
여기서 α는 자유도를 2로 나눈 값이고, R은 우주 기체 상수, n은 시스템의 몰 수 (상수)입니다.
미분 방정식 (3)은
(4) d U = α n R d T = α d (PV) = α (P d V + V d P). {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad dU = \ alpha nR \, dT = \ alpha \, d (PV) = \ alpha (P \, dV + V \, dP).}
방정식 (4)는 CV = αR이기 때문에 종종 dU = nCV dT로 표현됩니다.
이제 방정식 (2)와 (4)를 방정식 (1)로 대체하여
− P d V = α P d V + α V d P, {\ displaystyle -P \, dV = \ alpha P \, dV + \ alpha V \, dP,}
인수 화 −P dV :
− (α + 1 ) P d V = α V d P, {\ displaystyle-(\ alpha +1) P \, dV = \ alpha V \, dP,}
양변을 PV로 나누기 :
− (α + 1) d VV = α d PP. {\ displaystyle-(\ alpha +1) {\ frac {dV} {V}} = \ alpha {\ frac {dP} {P}}.}
왼쪽과 오른쪽을 V0에서 V로 통합 한 후 P0에서 P로 각각 변을 바꾸고
ln (PP 0) = − α + 1 α ln (VV 0). {\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) =-{\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ ln \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ right).}
양변을 지수화하고 α + 1 / α를 γ, 열용량 비율로 대체
(PP 0) = (VV 0) − γ, { \ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V} {V_ {0}}} \ right) ^ {-\ gamma},}
음수 부호를 제거하여
(PP 0) = (V 0 V) γ를 얻습니다. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V_ {0}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}
따라서
(PP 0) (VV 0) γ = 1, {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ right) ^ {\ gamma} = 1,}
및
P 0 V 0 γ = PV γ = 상수. {\ displaystyle P_ {0} V_ {0} ^ {\ gamma} = PV ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}
단열 난방 및 냉방을위한 P–T 관계 유도 편집
이상 기체 법칙을 위의 값으로 대체하면
P (n RTP) γ = constant, {\ displaystyle P \ left ({\ frac {nRT} {P}} \ right) ^ {\ gamma } = \ operatorname {constant},}
단순화하여
P 1 − γ T γ = constant. {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}
이산 식의 유도 및 작업 표현 편집
시스템 내부 에너지의 변화 상태 1에서 상태 2까지 측정 된는
(1) Δ U = α R n T 2 − α R n T 1 = α R n Δ T와 같습니다. {\ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad \ Delta U = \ alpha RnT_ {2}-\ alpha RnT_ {1} = \ alpha Rn \ Delta T.}
동시에이 프로세스의 결과로 압력-체적 변화에 의해 수행되는 작업은 다음과 같습니다.
(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P \, dV.}
프로세스가 단열되어야하므로, 다음 방정식은 참이어야합니다
(3) Δ U + W = 0. {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad \ Delta U + W = 0.}
유도,
(4) PV γ = 상수 = P 1 V 1 γ. {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}} = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma}.}
재정렬 (4 )는
P = P 1 (V 1 V) γ를 제공합니다. {\ displaystyle P = P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}
이것을 (2)로 대체하면
W = ∫ V 1 V 2 P 1 (V 1 V) γ d V. {\ displaystyle W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma} \ , dV.}
통합하여 작업에 대한 표현을 얻습니다.
W = P 1 V 1 γ V 2 1 − γ − V 1 1 − γ 1 − γ = P 2 V 2 − P 1 V 1 1 − γ. {\ displaystyle W = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} {\ frac {V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma}} {1- \ 감마}} = {\ frac {P_ {2} V_ {2} -P_ {1} V_ {1}} {1- \ gamma}}.}
두 번째 항에서 γ = α + 1 / α 대체,
W = − α P 1 V 1 γ (V 2 1 − γ − V 1 1 − γ). {\ displaystyle W =-\ alpha P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} \ left (V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma} \ right) .}
재정렬,
W = − α P 1 V 1 ((V 2 V 1) 1 − γ − 1). {\ displaystyle W =-\ alpha P_ {1} V_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right).}
이상 기체 법칙을 사용하고 일정한 몰량을 가정하면 (실제 사례에서 자주 발생)
W = − α n RT 1 ((V 2 V 1) 1 − γ − 1 ) . {\ displaystyle W =-\ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right). }
연속 공식
P 2 P 1 = (V 2 V 1) − γ, {\ displaystyle {\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} = \ left ( {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {-\ gamma},}
또는
(P 2 P 1) − 1 γ = V 2 V 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {-{\ frac {1} {\ gamma}}} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}}.}
W를 이전 식으로 대체하면
W = − α n RT 1 ((P 2 P 1) γ − 1 γ − 1). {\ displaystyle W =-\ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma }}-1 \ right).}
이 식과 (1)을 (3)에서 대입하면
α n R (T 2 − T 1) = α n RT 1 ((P 2 P 1) γ − 1 γ − 1). {\ displaystyle \ alpha nR (T_ {2} -T_ {1}) = \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}-1 \ right).}
단순화,
T 2 − T 1 = T 1 ((P 2 P 1) γ − 1 γ − 1), {\ displaystyle T_ {2} -T_ {1} = T_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac { \ gamma -1} {\ gamma}}-1 \ right),} T 2 T 1 − 1 = (P 2 P 1) γ − 1 γ − 1, {\ displaystyle {\ frac {T_ {2}} { T_ {1}}}-1 = \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}-1,} T 2 = T 1 (P 2 P 1) γ − 1 γ. {\ displaystyle T_ {2} = T_ {1} \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}. }