강체의 운동 에너지
고전 역학에서 점 물체의 운동 에너지 (질량이 하나에 존재한다고 가정 할 수있을만큼 작은 물체 회전하지 않는 강체는 몸체의 질량과 속도에 따라 달라집니다. 운동 에너지는 질량과 속도의 제곱 곱의 1/2과 같습니다. 공식 형식 :
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
여기서 m {\ displaystyle m}은 질량이고 v {\ displaystyle v}는 신체의 속도 (또는 속도)입니다. SI 단위에서 질량은 킬로그램, 속도 (초당 미터)로 측정되며 결과 운동 에너지는 줄 단위입니다.
예를 들어 80kg 질량 (약 180lbs)의 운동 에너지를 계산합니다. ) 초당 18 미터 (약 40mph 또는 65km / h)로 주행하는 경우
E k = 12 ⋅ 80 kg ⋅ (18 m / s) 2 = 12, 960 J = 12.96 kJ {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ left (18 \, {\ text {m / s}} \ right ) ^ {2} = 12,960 \, {\ text {J}} = 12.96 \, {\ text {kJ}}}
사람이 공을 던질 때 공을 던질 때 그 사람은 공을 공을 던지는대로 속도를냅니다. 손을 떠난다. 그런 다음 움직이는 공은 무언가를 치고 밀어서 치는 일을 할 수 있습니다. 움직이는 물체의 운동 에너지는 물체를 정지 상태에서 그 속도로 가져 오는 데 필요한 작업 또는 물체가 정지 상태로 가져 오는 동안 수행 할 수있는 작업과 같습니다. 순 힘 × 변위 = 운동 에너지, 즉
F s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
운동 에너지는 속도의 제곱에 따라 증가하므로 속도를 두 배로 늘리는 물체는 4 배를 갖습니다. 운동 에너지만큼. 예를 들어, 다른 차량보다 두 배 빠른 속도로 주행하는 차량은 일정한 제동력이 있다고 가정 할 때 정지하는 데 4 배의 거리가 필요합니다. 이 4 배의 결과로 속도를 두 배로 늘리려면 4 배의 작업이 필요합니다.
물체의 운동 에너지는 다음 방정식에 의해 운동량과 관련됩니다.
E k = p 2 2 m {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}
여기서 :
p {\ displaystyle p \;}는 운동량 m {\ displaystyle m \;}은 몸체의 질량입니다.
질량 중심이 다음과 같은 일정한 질량 m {\ displaystyle m \;}을 갖는 강체의 직선 운동과 관련된 운동 에너지 인 병진 운동 에너지의 경우 속도로 직선으로 이동 v {\ displaystyle v \;}, 위에서 본 것과 같음
E t = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1 } {2}} mv ^ {2}}
여기서 :
m {\ displaystyle m \;}은 몸의 질량 v {\ displaystyle v \;}는 질량 중심의 속도입니다. 몸의.
모든 개체의 운동 에너지는 측정되는 기준 프레임에 따라 다릅니다. 그러나 격리 된 시스템, 즉 에너지가 들어오고 나갈 수없는 시스템의 총 에너지는 그것이 측정되는 기준 프레임에서 시간이 지남에 따라 변하지 않습니다. 따라서 로켓 엔진에 의해 운동 에너지로 변환 된 화학 에너지는 선택한 기준 프레임에 따라 로켓 선박과 배기 흐름간에 다르게 분할됩니다. 이것을 Oberth 효과라고합니다. 그러나 운동 에너지, 연료 화학 에너지, 열 등을 포함한 시스템의 총 에너지는 기준 프레임 선택에 관계없이 시간이 지남에 따라 보존됩니다. 그러나 서로 다른 참조 프레임을 사용하여 움직이는 다른 관찰자들은이 보존 된 에너지의 값에 동의하지 않을 것입니다.
이러한 시스템의 운동 에너지는 참조 프레임의 선택, 즉 해당 에너지의 최소값을 제공하는 참조 프레임에 따라 다릅니다. 운동량 프레임의 중심, 즉 시스템의 총 운동량이 0 인 기준 프레임입니다. 이 최소 운동 에너지는 전체 시스템의 불변 질량에 기여합니다.
유도
무한한 시간 간격 dt 동안 질량 m으로 입자를 가속하는 작업은 다음과 같습니다. 힘 F와 극소 변위 dx의 내적
F ⋅ dx = F ⋅ vdt = dpdt ⋅ vdt = v ⋅ dp = v ⋅ d (mv), {\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \ ,,}
여기서 우리는 관계 p = mv와 뉴턴의 제 2 법칙의 타당성을 가정했습니다. 그러나 아래의 특수 상대 론적 유도도 참조하십시오.)
곱 규칙을 적용하면 다음과 같은 결과를 볼 수 있습니다.
d (v ⋅ v) = (dv) ⋅ v + v ⋅ (dv) = 2 (v ⋅ dv). {\ displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}
그러므로 (단점 가정 dm = 0)이되는 tant 질량은 다음과 같습니다.
v ⋅ d (m v) = m 2 d (v ⋅ v) = m 2 d v 2 = d (m v 2 2). {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right).}
이것은 전체 미분이기 때문에 (즉, 입자가 어떻게 거기에 도달했는지가 아니라 최종 상태에만 의존 함),이를 통합하고 결과 운동 에너지라고 부를 수 있습니다. 물체가 시간 0에 정지했다고 가정하면, 물체를 정지 상태에서 속도 v로 가져 오는 힘이 수행 한 작업이 반대 작업을 수행하는 데 필요한 작업과 같기 때문에 시간 0부터 시간 t까지 통합합니다.
E k = ∫ 0 t F ⋅ dx = ∫ 0 tv ⋅ d (mv) = ∫ 0 td (mv 2 2) = mv 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.}
이 방정식은 운동 에너지 (Ek)가 신체의 속도 (v)와 신체의 극소 한 변화의 내적의 적분과 같다는 것을 나타냅니다. ” s 운동량 (p). 몸이 움직이지 않을 때 운동 에너지없이 시작한다고 가정합니다.
회전하는 몸체
강체 Q가 주위를 회전하는 경우 질량 중심을 통과하는 모든 선은 회전 운동 에너지 (E r {\ displaystyle E _ {\ text {r}} \,})를 가지며, 이는 단순히 움직이는 부품의 운동 에너지의 합이며, 따라서 다음과 같이 주어집니다. :
E r = ∫ Q v 2 dm 2 = ∫ Q (r ω) 2 dm 2 = ω 2 2 ∫ Q r 2 dm = ω 2 2 I = 12 I ω 2 {\ displaystyle E _ {\ text {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} { 2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} I = {\ frac {1 } {2}} I \ omega ^ {2}}
여기서 :
(이 방정식에서 관성 모멘트는 질량 중심을 통과하는 축과 ω로 측정 된 회전을 기준으로 취해야합니다. 축 주위에 있어야합니다. 물체가 편심 한 모양으로 인해 흔들리는 시스템에 대해보다 일반적인 방정식이 존재합니다.
시스템의 운동 에너지
몸의 시스템은 다음과 같은 이유로 내부 운동 에너지를 가질 수 있습니다. 시스템에서 신체의 상대 운동. 예를 들어, 태양계에서 행성과 행성은 태양을 공전합니다. 가스 탱크에서 분자는 모든 방향으로 움직입니다. 시스템의 운동 에너지는 포함 된 신체의 운동 에너지의 합입니다.
고정 된 거시적 물체 (즉, 신체의 운동량 중심에 해당하는 기준 프레임이 선택됨) ) 분자 또는 원자 수준에서 다양한 종류의 내부 에너지를 가질 수 있으며, 이는 분자 이동, 회전 및 진동, 전자 이동 및 회전, 핵 회전으로 인해 운동 에너지로 간주 될 수 있습니다.이 모든 것이 신체에 기여합니다. 특수 상대성 이론이 제공하는 질량. 거시적 신체의 움직임을 논의 할 때 언급되는 운동 에너지는 일반적으로 거시적 움직임의 운동 에너지입니다. 그러나 모든 유형의 모든 내부 에너지는 신체의 질량, 관성 및 총 에너지에 기여합니다.
유체 역학
유체 역학에서 단위 체 적당 운동 에너지는 각 지점에서 비압축성 유체 유동장은 그 지점에서 동적 압력이라고합니다.
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ { 2}}
볼륨 단위 인 V로 나누기 :
E k V = 1 2 m V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {E_ {\ text {k}}} {V}} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q & = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ end {aligned}}}
여기서 q {\ displaystyle q} 는 동적 압력이고 ρ는 비압축성 유체의 밀도입니다.
기준 프레임
속도, 따라서 단일 물체의 운동 에너지는 프레임에 따라 다릅니다 (상대적 ) : 적절한 관성 기준 프레임을 선택하여 음이 아닌 값을 취할 수 있습니다. 예를 들어, 관찰자를 통과하는 총알은 re에서 운동 에너지를가집니다. 이 관찰자의 기준 프레임. 같은 총알은 총알과 같은 속도로 움직이는 관찰자에게 고정되어 있으므로 운동 에너지가 0입니다. 대조적으로, 모든 물체가 동일한 속도를 가지지 않는 한, 물체 시스템의 총 운동 에너지는 관성 기준 좌표계의 적절한 선택에 의해 0으로 감소 될 수 없습니다. 다른 경우에는 모든 물체가 고정되어있는 관성 기준 좌표계를 선택할 수 없기 때문에 총 운동 에너지는 최소값이 0이 아닙니다. 이 최소 운동 에너지는 기준 프레임과 무관 한 시스템의 불변 질량에 기여합니다.
시스템의 총 운동 에너지는 관성 기준 프레임에 따라 달라집니다. 이는 총합입니다. 운동량 중심의 운동 에너지와 전체 질량이 질량 중심에 집중된 경우의 운동 에너지.
이는 간단히 표시 될 수 있습니다. let V {\ displaystyle \ textstyle \ mathbf { V}}는 프레임 k에서 질량 프레임 i 중심의 상대 속도입니다.이후
v 2 = (vi + V) 2 = (vi + V) ⋅ (vi + V) = vi ⋅ vi + 2 vi ⋅ V + V ⋅ V = vi 2 + 2 vi ⋅ V + V 2 , {\ displaystyle v ^ {2} = \ left (v_ {i} + V \ right) ^ {2} = \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}
그런 다음
E k = ∫ v 2 2 dm = ∫ vi 2 2 dm + V ⋅ ∫ vidm + V 2 2 ∫ dm. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.} E k = E i + MV 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}
따라서 시스템의 운동 에너지는 운동량 기준 중심에서 가장 낮습니다. 프레임, 즉 질량 중심이 고정되어있는 기준 프레임 (질량 중심 프레임 또는 기타 운동량 프레임 중심). 다른 기준 프레임에는 질량 중심의 속도로 이동하는 총 질량에 해당하는 추가 운동 에너지가 있습니다. 운동량 프레임의 중심에있는 시스템의 운동 에너지는 변하지 않는 양입니다 (모든 관찰자가 동일한 것으로 간주).
시스템의 회전
때로는 편리합니다. 몸의 총 운동 에너지를 몸의 질량 중심 병진 운동 에너지와 질량 중심 주위의 회전 에너지 (회전 에너지)의 합으로 나누는 것 :
E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \,}
여기서 :
Ek는 총 운동 에너지 Et 는 병진 운동 에너지입니다. Er는 나머지 프레임의 회전 에너지 또는 각 운동 에너지입니다. / p>