아래 공식은 유한 합계를 포함합니다. 삼각 함수 또는 기타 초월 함수를 포함하는 표현식의 무한 합산 또는 유한 합산은 수학 계열 목록을 참조하십시오.
일반 식별 편집
∑ n = st C ⋅ f (n) = C ⋅ ∑ n = stf (n) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} C \ cdot f (n) = C \ cdot \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) \ quad} (분포도) ∑ n = stf (n) ± ∑ n = stg (n) = ∑ n = st (f (n) ± g (n)) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) \ pm \ sum _ {n = s} ^ {t} g (n) = \ sum _ {n = s} ^ {t} \ left (f (n) \ pm g (n) \ right) \ quad} (교환 및 연관성) ∑ n = stf (n) = ∑ n = s + pt + pf (n − p) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = s + p} ^ {t + p} f (np) \ quad} (인덱스 이동) ∑ n ∈ B f (n) = ∑ m ∈ A f (σ (m)), {\ displaystyle \ sum _ {n \ in B} f (n) = \ sum _ {m \ in A} f (\ sigma (m)), \ quad} 유한 집합 A에서 집합 B (인덱스 변화); 이것은 앞의 공식을 일반화합니다. ∑ n = stf (n) = ∑ n = sjf (n) + ∑ n = j + 1 tf (n) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ sum _ { n = s} ^ {j} f (n) + \ sum _ {n = j + 1} ^ {t} f (n) \ quad} (연관성을 사용하여 합계 분할) ∑ n = abf (n) = ∑ n = 0 bf (n) − ∑ n = 0 a − 1 f (n) {\ displaystyle \ sum _ {n = a} ^ {b} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ { b} f (n)-\ sum _ {n = 0} ^ {a-1} f (n) \ quad} (이전 공식의 변형) ∑ n = stf (n) = ∑ n = 0 t − sf (t − n) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ {ts} f (tn) \ quad} ( 마지막 항까지의 첫 번째 항은 마지막부터 처음까지의 합과 같습니다) ∑ n = 0 tf (n) = ∑ n = 0 tf (t − n) {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ {t} f (tn) \ quad} (위 공식의 특별한 경우) ∑ i = k 0 k 1 ∑ j = l 0 l 1 ai, j = ∑ j = l 0 l 1 ∑ i = k 0 k 1 ai, j {\ displaystyle \ sum _ {i = k_ {0}} ^ {k_ {1}} \ sum _ {j = l_ { 0}} ^ {l_ {1}} a_ {i, j} = \ sum _ {j = l_ {0}} ^ {l_ {1}} \ sum _ {i = k_ {0}} ^ {k_ { 1}} a_ {i, j} \ quad} (다시 정류 및 연관성) ∑ k ≤ j ≤ i ≤ nai, j = ∑ i = kn ∑ j = kiai, j = ∑ j = kn ∑ i = jnai, j = ∑ j = 0n − k ∑ i = kn − jai + j, i {\ displaystyle \ sum _ {k \ leq j \ leq i \ leq n} a_ {i, j} = \ sum _ {i = k} ^ {n} \ sum _ {j = k} ^ {i} a_ {i, j} = \ sum _ {j = k} ^ {n} \ sum _ {i = j} ^ {n} a_ {i, j} = \ sum _ {j = 0} ^ {nk} \ sum _ {i = k} ^ {nj} a_ {i + j, i} \ quad} (정류 성과 결합 성의 또 다른 적용) ∑ n = 2s 2 t + 1 f (n) = ∑ n = stf (2n) + ∑ n = stf (2n + 1) { \ displaystyle \ sum _ {n = 2s} ^ {2t + 1} f (n) = \ sum _ {n = s} ^ {t} f (2n) + \ sum _ {n = s} ^ {t} f (2n + 1) \ quad} (짝수 인덱스의 경우 합계를 홀수 부분과 짝수 부분으로 분할) ∑ n = 2 s + 12 tf (n) = ∑ n = s + 1 tf (2n) + ∑ n = s + 1tf (2n − 1) {\ displaystyle \ sum _ {n = 2s + 1} ^ {2t} f (n) = \ sum _ {n = s + 1} ^ {t} f ( 2n) + \ sum _ {n = s + 1} ^ {t} f (2n-1) \ quad} (홀수 인덱스에 대해 합을 홀수 부분과 짝수 부분으로 분할) (∑ i = 0 nai) (∑ j = 0 nbj) = ∑ i = 0n ∑ j = 0 naibj {\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {n} b_ {j} \ right) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sum _ {j = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {j} \ quad} ( 배포 utivity) ∑ i = sm ∑ j = tnaicj = (∑ i = smai) (∑ j = tncj) {\ displaystyle \ sum _ {i = s} ^ {m} \ sum _ {j = t} ^ {n} {a_ {i}} {c_ {j}} = \ left (\ sum _ {i = s} ^ {m} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = t} ^ {n} c_ {j} \ right) \ quad} (분포로 분해 가능) ∑ n = st log b f (n) = log b ∏ n = stf (n) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ { t} \ log _ {b} f (n) = \ log _ {b} \ prod _ {n = s} ^ {t} f (n) \ quad} (제품의 로그는 로그의 합입니다. 계수) C ∑ n = stf (n) = ∏ n = st C f (n) {\ displaystyle C ^ {\ sum \ limits _ {n = s} ^ {t} f (n)} = \ prod _ {n = s} ^ {t} C ^ {f (n)} \ quad} (합의 지수는 합의 지수의 곱임)
산술 진행의 거듭 제곱과 로그 편집
∑ i = 1 nc = nc {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} c = nc \ quad} i에 의존하지 않는 모든 c에 대해 ∑ i = 0 ni = ∑ i = 1 ni = n (n + 1) 2 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i = \ sum _ {i = 1} ^ {n} i = {\ frac {n (n + 1)} {2 }} \ qquad} (n fi로 구성된 가장 간단한 산술 진행의 합 첫 번째 자연수.) : 52 ∑ i = 1 n (2 i − 1) = n 2 {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} (2i-1) = n ^ {2} \ qquad} (첫 번째 홀수 자연수의 합) ∑ i = 0n 2 i = n (n + 1) {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} 2i = n (n + 1) \ qquad} (Sum 처음 짝수 자연수의) ∑ i = 1 n log i = log n! {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ log i = \ log n! \ qquad} (로그의 합은 곱의 로그입니다) ∑ i = 0 ni 2 = ∑ i = 1 ni 2 = n (n + 1) (2n + 1) 6 = n 3 3 + n 2 2 + n 6 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = {\ frac {n ^ {3}} {3}} + {\ frac {n ^ {2}} {2}} + {\ frac {n} {6}} \ qquad} (첫 번째 제곱의 합, 정사각형 피라미드 수 참조.) : 52 ∑ i = 0 ni 3 = (∑ i = 0 ni) 2 = (n (n + 1) 2) 2 = n44 + n 3 2 + n2 4 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {3} = \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} i \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {n (n + 1)} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {n ^ {4}} {4}} + {\ frac {n ^ {3}} {2}} + {\ frac {n ^ {2 }} {4}} \ qquad} (Nicomachus의 정리) : 52
좀 더 일반적으로, 하나는 Faulhaber의 공식을가집니다
∑ k = 1 nkp = np + 1 p + 1 + 1 2 np + ∑ k = 2 p (pk) B kp − k + 1 np − k + 1, {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} + {\ frac {1} {2}} n ^ {p} + \ sum _ {k = 2} ^ {p} {\ binom {p} {k}} {\ frac {B_ {k}} {p-k + 1}} \, n ^ {p-k + 1},}
여기서 B k {\ displaystyle B_ {k}}는 베르누이 수를 나타내고 (pk ) {\ displaystyle {\ binom {p} {k}}}은 이항 계수입니다.
지수 편집의 합산 지수
다음 합산에서 a는 다음과 다른 것으로 간주됩니다. 1.
∑ i = 0 n − 1 ai = 1 − an 1 − a {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a ^ {i} = {\ frac {1- a ^ {n}} {1-a}}} (기하학적 진행의 합) ∑ i = 0n − 1 1 2 i = 2 − 1 2 n − 1 {\ displayst yle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {\ frac {1} {2 ^ {i}}} = 2-{\ frac {1} {2 ^ {n-1}}}} ( a = 1/2) ∑ i = 0 n − 1 iai = a − nan + (n − 1) an + 1 (1 − a) 2 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n -1} ia ^ {i} = {\ frac {a-na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {(1-a) ^ {2}}}} (1 회 기하학적 진행의 a에 대한 미분) ∑ i = 0n − 1 (b + id) ai = b ∑ i = 0n − 1 ai + d ∑ i = 0n − 1 iai = b (1 − an 1 − a) + d (a − nan + (n − 1) an + 1 (1 − a) 2) = b (1 − an) − (n − 1) dan 1 − a + da (1 − an − 1) (1 − a) 2 {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ left (b + id \ right) a ^ {i} & = b \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a ^ {i} + d \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} ia ^ {i} \ \ & = b \ left ({\ frac {1-a ^ {n}} {1-a}} \ right) + d \ left ({\ frac {a- na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {(1-a) ^ {2}}} \ right) \\ & = { \ frac {b (1-a ^ {n})-(n-1) da ^ {n}} {1-a}} + {\ frac {da (1-a ^ {n-1})} { (1-a) ^ {2}}} \ end {aligned}}} (산술-기하 시퀀스의 합)
이항 계수 및 계수 alsEdit
이항 계수와 관련된 많은 합산 정체성이 존재합니다 (콘크리트 수학의 전체 장은 기본 기술에만 전념합니다) . 가장 기본적인 것 중 일부는 다음과 같습니다.
이항 정리 포함
∑ i = 0 n (ni) an − ibi = (a + b) n, {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ choose i} a ^ {ni} b ^ {i} = (a + b) ^ {n},} 이항 정리 ∑ i = 0 n (ni) = 2 n, {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ choose i} = 2 ^ {n},} a = b = 1 ∑ i = 0 n (ni) pi ( 1 − p) n − i = 1 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ choose i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni} = 1}, 특별 p = a = 1 – b 인 경우, 0 ≤ p ≤ 1에 대해 {\ displaystyle 0 \ leq p \ leq 1,}은 이항 분포의 합을 나타냅니다. ∑ i = 0 ni (ni) = n (2 n − 1), {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i {n \ choose i} = n (2 ^ {n-1}),} a = b = 1 이항 정리의 a에 대한 미분 ∑ i = 0 n (ni) i + 1 = 2 n + 1 − 1 n + 1, {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac { n \ choose i} {i + 1}} = {\ frac {2 ^ {n + 1} -1} {n + 1}},} a에 대한 역도 함수의 값 a = b = 1 이항 정리
포함 순열 수 편집
다음 합계에서 n P k {\ displaystyle {} _ {n} P_ {k}}는 n의 k 순열 수입니다.
∑ i = 0 ni P k (ni) = n P k (2 n − k) {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {} _ {i} P_ {k} {n \ choose i} = {} _ {n} P_ {k} (2 ^ {nk})} ∑ i = 1 ni + k P k + 1 = ∑ i = 1n ∏ j = 0k (i + j) = (n + k + 1) ! (n − 1)! (k + 2) {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {} _ {i + k} P_ {k + 1} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ prod _ {j = 0} ^ {k} (i + j) = {\ frac {(n + k + 1)!} {(n-1)! (k + 2)}}} ∑ i = 0 ni! ⋅ (n i) = ∑ i = 0n n P i = ⌊ n! ⋅ e ⌋, n ∈ Z + {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i! \ cdot {n \ choose i} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {} _ { n} P_ {i} = \ lfloor n! \ cdot e \ rfloor, \ quad n \ in \ mathbb {Z} ^ {+}}, 여기서 및 ⌊ x ⌋ {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}는 바닥을 나타냅니다. 함수.
기타 편집
∑ k = 0 m (n + kn) = (n + m + 1 n + 1) {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {m} \ left ({\ begin {array} {c} n + k \\ n \\\ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} n + m + 1 \\ n + 1 \\\ end {array}} \ right)} ∑ i = kn (ik) = (n + 1 k + 1) {\ displaystyle \ sum _ {i = k} ^ {n} {i \ choose k} = {n + 1 \ choose k + 1}} ∑ i = 0 ni ⋅ i! = (n + 1)! − 1 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i \ cdot i! = (n + 1)!-1} ∑ i = 0n (m + i − 1 i) = (m + nn ) {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {m + i-1 \ choose i} = {m + n \ choose n}} ∑ i = 0n (ni) 2 = (2 nn) {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ choose i} ^ {2} = {2n \ choose n}} ∑ i = 0n 1 i! = ⌊ n! e ⌋ n! {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} = {\ frac {\ lfloor n! \; e \ rfloor} {n!}}}
고조파 수 편집
∑ i = 1 n 1 i = H n {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i}} = H_ {n}} (즉, n 번째 고조파 수) ∑ i = 1 n 1 ik = H nk {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i ^ {k}}} = H_ {n} ^ {k}} (일반화 고조파 수)