PY (z) = ∑ i = 0 ∞ P (Y = i) zi = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk − 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle P_ {Y} (z) = \ sum \ limits _ {i = 0} ^ {\ infty} P (Y = i) z ^ {i} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)} X ∼ DCP (λ α 1 , λ α r,…) {\ displaystyle X \ sim {\ text {DCP}} (\ lambda {\ alpha _ {1}}, \ lambda {\ alpha _ {r}}, \ ldots)}
Feller의 복합 푸 아송 분포 특성화에 따르면 음이 아닌 정수 값 rv X {\ displaystyle X}는 분포가 이산 복합 푸 아송 분포 인 경우에만 무한으로 나눌 수 있습니다. 음 이항 분포는 다음과 같다는 것을 알 수 있습니다. 이산 무한 나눌 수있는 이산, 즉 X가 음의 이항 분포를 갖는 경우 양의 정수 n에 대해 합이 X와 동일한 분포를 갖는 이산 iid 랜덤 변수 X1, …, Xn이 존재합니다. 이동 기하 분포는 이산입니다. 복합 푸 아송 분포 si 따라서 음 이항 분포의 사소한 경우입니다.
이 분포는 일괄 도착을 모델링 할 수 있습니다 (예 : 대량 대기열). 이산 복합 포아송 분포는 보험계 리학에서 총 청구 금액의 분포를 모델링하는 데 널리 사용됩니다.
일부 α k {\ displaystyle \ alpha _ {k}}가 음이 아닌 경우 다음과 같습니다. 불연속 유사 복합 푸 아송 분포. 확률 생성 함수 특성화를 만족하는 이산 랜덤 변수 Y {\ displaystyle Y}
GY (z) = ∑ n = 0 ∞ P (Y = n) zn = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk − 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle G_ {Y} (z) = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} P (Y = n) z ^ { n} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)}