대각선

다각형에 적용될 때 대각선은 연속되지 않은 두 정점을 연결하는 선분입니다. 따라서 사변형에는 두 개의 대각선이 있으며 서로 반대되는 정점 쌍을 연결합니다. 볼록 다각형의 경우 모든 대각선은 다각형 내부에 있지만 재진입 다각형의 경우 일부 대각선은 다각형 외부에 있습니다.

측면 대각선 3 0 4 2 5 5 6 9 7 14 8 20 9 27 10 35	측면 대각선 11 44 12 54 13 65 14 77 15 90 16 104 17 119 18 135	측면 대각선 19 152 20 170 21 189 22 209 23 230 24 252 25 275 26 299	측면 대각선 27 324 28 350 29 377 30 405 31 434 32 464 33 495 34 527
측면	대각선
35	560
36	594
37	629
38	665
39	702
40	740
41	779
42	819

대각선으로 형성된 영역 편집

볼록 다각형 , 내부의 단일 지점에서 3 개의 대각선이 동시에 발생하지 않는 경우 대각선이 내부를 나누는 영역의 수는 다음과 같습니다.

(n 4) + (n − 1 2) = (n − 1) (n − 2) (n 2 − 3n + 12) 24. {\ displaystyle {\ binom {n} {4}} + {\ binom {n-1} {2}} = {\ frac {(n-1) (n-2) (n ^ {2} -3n + 12)} {24}}.}

n = 3, 4, … 인 n-gons의 경우 영역 수는

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246입니다. …

이것은 OEIS 시퀀스 A006522입니다.

대각선 교차 편집

볼록 다각형의 3 개의 대각선이 내부의 한 지점에서 동시에 발생하지 않는 경우 내부의 수 대각선의 교차점은 (n 4) {\ displaystyle {\ binom {n} {4}}}로 주어집니다. 예를 들어,면 수가 홀수 인 모든 정다각형에 적용됩니다. 이 공식은 교차하는 두 대각선의 네 끝점에 의해 각 교차점이 고유하게 결정된다는 사실을 바탕으로합니다. 따라서 교차점의 수는 한 번에 네 개의 정점을 조합 한 수입니다.

정다각형 편집

삼각형에는 대각선이 없습니다.

정육각형에는 9 개의 대각선이 있습니다. 6 개의 짧은 대각선은 길이가 서로 같습니다. 3 개의 긴 것은 길이가 서로 같고 육각형의 중심에서 서로 교차합니다. 긴 대각선과 변의 비율은 2이고 짧은 대각선과 변의 비율은 3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}입니다.

일반 칠각형에는 14 개의 대각선이 있습니다. 7 개의 짧은 것은 서로 같고 7 개의 긴 것은 서로 같습니다. 변의 역수는 짧은 대각선과 긴 대각선의 역수의 합과 같습니다.

n이 짝수 인 일반 n-gon에서 긴 대각선은 모두 다각형의 중심에서 서로 교차합니다.