Apothem a는 다음 공식에 따라 변 길이가 s 인 정규 n면 다각형의 면적을 찾는 데 사용할 수 있습니다. 또한 면적이 apothem을 곱한 값과 동일 함을 나타냅니다. ns = p이므로 둘레의 절반으로.
A = nsa 2 = pa 2. {\ displaystyle A = {\ frac {nsa} {2}} = {\ frac {pa} {2}}.}
이 공식은 n면 다각형을 n 개의 합동 이등변 삼각형으로 분할하여 도출 할 수 있습니다. 그런 다음 아포 헴은 각 삼각형의 높이이고 삼각형의 면적은 밑변의 절반에 높이를 곱한 것과 같습니다. 다음 공식은 모두 동일합니다.
A = 12 nsa = 12 pa = 1 4 ns 2 cot (π n) = na 2 tan (π n) {\ displaystyle A = {\ tfrac {1 } {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right) = na ^ {2} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}
정다각형의 아포 헴은 항상 내접원의 반경이됩니다. 또한 다각형의 한 변과 중심 사이의 최소 거리이기도합니다.
이 속성은 또한 변의 수가 무한대에 가까워지면 원의 면적에 대한 공식을 쉽게 도출하는 데 사용할 수 있습니다. 정다각형 영역은 반경 r = a의 내접원 영역에 접근합니다.
A = pa 2 = (2 π r) r 2 = π r 2 {\ displaystyle A = {\ frac {pa} {2}} = {\ frac {(2 \ pi r) r} {2}} = \ pi r ^ {2}}