기본 정의 편집
함수 f는 다른 변수에 의해 색인 된 한 변수의 함수 패밀리로 재 해석 될 수 있습니다.
f (x, y ) = fy (x) = x 2 + xy + y 2. {\ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
즉, y의 모든 값은 fy로 표시되는 함수를 정의합니다. , 하나의 변수 x의 함수입니다. 즉,
f y (x) = x 2 + x y + y 2. {\ displaystyle f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
이 섹션에서 아래 첨자 표기법 fy는 a가 아닌 y의 고정 값을 조건으로하는 함수를 나타냅니다. 편미분.
fa (x) = x 2 + ax + a 2. {\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}.}
이 표현식에서 a는 변수가 아닌 상수이므로 fa는 단 하나의 함수입니다. 실제 변수는 x입니다. 따라서 한 변수의 함수에 대한 미분 정의가 적용됩니다.
f a ′ (x) = 2 x + a. {\ displaystyle f_ {a} “(x) = 2x + a.}
위의 절차는 a의 모든 선택에 대해 수행 할 수 있습니다. 도함수를 하나의 함수로 조합하면 f의 변형을 설명하는 함수가 제공됩니다. x 방향 :
∂ f ∂ x (x, y) = 2 x + y. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, y) = 2x + y.}
이것은 x에 대한 f의 편미분입니다. 여기서 ∂는 편미분 기호라고하는 둥근 d입니다. 문자 d와 구별하기 위해 ∂는 때때로 “부분”이라고 발음됩니다.
일반적으로 점 (a1, …, an)에서 방향 xi에서 n 항 함수 f (x1, …, xn)의 편미분은 다음과 같이 정의됩니다.
∂ f ∂ xi (a 1,…, an) = lim h → 0 f (a 1,…, ai + h,…, an) − f (a 1,…, ai,…, an) h. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i} + h, \ ldots, a_ {n})-f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}}.}
위의 차이 몫에서 x를 제외한 모든 변수 나는 고정되어 있습니다. 고정 값의 선택은 하나의 변수의 함수를 결정합니다
fa 1,…, ai − 1, ai + 1,…, an (xi) = f (a 1,…, ai − 1, xi, ai + 1,…, an), {\ displaystyle f_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}),}
정의에 따라
dfa 1,…, ai − 1, ai + 1,…, andxi (ai) = ∂ f ∂ xi (a 1,…, an). {\ displaystyle {\ frac {df_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ { i}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}).}
즉, 인덱스의 다양한 선택 위의 예에서와 같이 단일 변수 함수의 계열입니다. 이 식은 편도 함수의 계산이 1 변수 도함수의 계산으로 감소 함을 보여줍니다.
∇ f (a) = (∂ f ∂ x 1 (a),…, ∂ f ∂ xn (a)) . {\ displaystyle \ nabla f (a) = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (a), \ ldots, {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ { n}}} (a) \ right).}
이 벡터를 a에서 f의 기울기라고합니다. f가 일부 도메인의 모든 점에서 미분 할 수있는 경우, 기울기는 점 a를 벡터 ∇f (a)로 가져가는 벡터 값 함수 ∇f입니다. 결과적으로 그래디언트는 벡터 장을 생성합니다.
∇ = i ^ + j ^ + k ^ {\ displaystyle \ nabla = \ left {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {k}}}} ∇ = ∑ j = 1 ne ^ j = e ^ 1 + e ^ 2 +… + e ^ n {\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j} = \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ ldots + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}
형식 정의 편집
∂ ∂ xif ( a) = lim h → 0 f (a 1,…, ai − 1, ai + h, ai + 1,…, an) − f (a 1,…, ai,…, an) h = lim h → 0 f (a + hei) − f (a) h {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} f (\ mathbf {a}) & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1 }, \ ldots, a_ {n})-f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {a} + he_ {i})-f (\ mathbf {a})} {h}} \ end {aligned}} }
모든 편미분 ∂f / ∂xi (a)가 주어진 지점 a에 존재하더라도 기능이 계속 될 필요는 없습니다. 그러나 모든 편도 함수가 a의 이웃에 존재하고 거기에서 연속적이라면 f는 그 이웃에서 완전히 미분 할 수 있고 총 미분은 연속적입니다. 이 경우 f는 C1 함수라고합니다. 이는 구성 요소 별 인수를 신중하게 사용하여 벡터 값 함수 f : U → R m, {\ displaystyle f : U \ to \ mathbb {R} ^ {m},}을 일반화하는 데 사용할 수 있습니다.
편미분 ∂ f ∂ x {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}}는 U에 정의 된 다른 함수로 볼 수 있으며 다시 부분적으로 미분 할 수 있습니다. 모든 혼합 된 2 차 편도 함수가 한 지점 (또는 집합)에서 연속적이면 f는 해당 지점 (또는 집합에서 C2 함수)이라고합니다. 이 경우 편도 함수는 Clairaut의 정리에 의해 교환 될 수 있습니다.
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i.{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {j} \ partial x_ {i}}}.}