指数分布

平均、分散、モーメント、中央値編集

レートパラメーターλを持つ指数分布確率変数Xの平均値または期待値は次の式で与えられます

E⁡=1λ。 {\ displaystyle \ operatorname {E} = {\ frac {1} {\ lambda}}。}

以下の例に照らして、これは理にかなっています。1時間あたり平均2回の通話を受信する場合、その後、すべての呼び出しを30分待つことが期待できます。

Xの分散は次の式で与えられます

Var⁡=1λ2、{\ displaystyle \ operatorname {Var} = {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}}、}

したがって、標準偏差は平均に等しくなります。

n∈Nの場合のXのモーメント{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}は次の式で与えられます

E⁡= n！ λn。 {\ displaystyle \ operatorname {E} \ left = {\ frac {n！} {\ lambda ^ {n}}}。}

n∈Nの場合のXの中心モーメント{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}は次の式で与えられます

μn=！ nλn= n！ λn∑ k = 0 n（− 1）k k！ 。 {\ displaystyle \ mu _ {n} = {\ frac {！n} {\ lambda ^ {n}}} = {\ frac {n！} {\ lambda ^ {n}}} \ sum _ {k = 0 } ^ {n} {\ frac {（-1）^ {k}} {k！}}。}

ここで、！nはnのサブファクターです

Xの中央値は次の式で与えられます。

m⁡=ln⁡（2）λ<E⁡、{\ displaystyle \ operatorname {m} = {\ frac {\ ln（2）} {\ lambda }} < \ operatorname {E}、}

ここで、lnは自然対数を指します。したがって、平均と中央値の絶対差は次のようになります。

| E⁡−m⁡ | = 1 −ln⁡（2）λ<1λ=σ⁡、{\ displaystyle \ left | \ operatorname {E} \ left- \ operatorname {m} \ left \ right | = {\ frac {1- \ ln（2）} {\ lambda}} < {\ frac {1} {\ lambda}} = \ operatorname {\ sigma}、 }

中央平均の不等式に従って。

MemorylessnessEdit

指数分布確率変数Tは関係に従います

Pr（T > s + t∣T > s）= Pr（T > t）、∀s、t≥0 。{\ displaystyle \ Pr \ left（T > s + t \ mid T > s \ right）= \ Pr（T > t）、\ qquad \ forall s、t \ geq0。}

これは、補完的な累積分布関数を検討することで確認できます。

Pr（T > s + t∣T > s）= Pr（T > s +t∩T > s）Pr（T > s）= Pr（T s + t）Pr（T > s）= e −λ（s + t）e −λs = e −λt = Pr（T > t）。 {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Pr \ left（T > s + t \ mid T > s \ right）& = {\ frac {\ Pr \ left（T > s + t \ cap T > s \ right）} {\ Pr \ left（T > s \ right）}} \\ & = {\ frac {\ Pr \ left（T > s + t \ right）} {\ Pr \ left（T > s \ right）} } \\ & = {\ frac {e ^ {-\ lambda（s + t）}} {e ^ {-\ lambda s}}} \\ & = e ^ {-\ lambda t} \\ & = \ Pr（T > t） 。\ end {aligned}}}

Tが、ある初期時間に対するイベントの発生の待機時間として解釈される場合、この関係は、Tが、ある初期期間にわたってイベントを監視できないことを条件としている場合を意味します。時間sの残りの待機時間の分布は、元の無条件分布と同じです。たとえば、イベントが30秒後に発生しなかった場合、発生に少なくとも10秒かかるという条件付き確率は、最初の時間から10秒以上後にイベントを観測する無条件の確率と同じです。

指数分布と幾何分布は、唯一のメモリレス確率分布です。

したがって、指数分布は、必然的に、一定の失敗率を持つ唯一の連続確率分布でもあります。

QuantilesEdit

Exp（λ）の分位関数（逆累積分布関数）は次のとおりです。

F − 1（p;λ）= −ln⁡（1 − p ）λ、0≤p< 1 {\ displaystyle F ^ {-1}（p; \ lambda）= {\ frac {-\ ln（1-p）} {\ lambda}}、\ qquad 0 \ leq p < 1}

したがって、四分位数は次のようになります。

• 最初の四分位数：ln（4/3 ）/λ
• 中央値：ln（2）/λ
• 第3四分位数：ln（4）/λ

結果として、四分位範囲はln（3）/λです。

カルバックライブラーダイバージェンス編集

Δ（λ0∥λ）=Eλ0（log⁡pλ0（x）pλ（x））=Eλ0（log⁡λ0 e −λ0xλe−λx）=log⁡（λ0）−log⁡（λ）−（λ0−λ）Eλ0（x）=log⁡（λ0）−log⁡（λ） + λλ0− 1. {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Delta（\ lambda _ {0} \ parallel \ lambda）& = \ mathbb {E} _ { \ lambda _ {0}} \ left（\ log {\ frac {p _ {\ lambda _ {0}}（x）} {p _ {\ lambda}（x）}} \ right）\\ & = \ mathbb {E} _ {\ lambda _ {0}} \ left（\ log {\ frac {\ lambda _ {0} e ^ {-\ lambda _ {0} x}} {\ lambda e ^ {-\ lambda x}}} \ right）\\ & = \ log（\ lambda _ {0}）-\ log（\ lambda）-（ \ lambda _ {0}-\ lambda）E _ {\ lambda _ {0}}（x）\\ & = \ log（\ lambda _ {0}）-\ log （\ lambda）+ {\ frac {\ lambda} {\ lambda _ {0}}}-1。\ end {aligned}}}

最大エントロピー分布編集

すべての連続確率分布の中でサポートは修正されました。

指数ランダム変数の最小値の分布編集

X1、。 ..、Xnは、レートパラメーターλ1、…、λnを持つ独立した指数分布確率変数です。次に

min {X 1、…、X n} {\ displaystyle \ min \ left \ {X_ {1}、\ dotsc、X_ {n} \ right \}}

も指数分布します。パラメータ

λ=λ1+⋯+λn。 {\ displaystyle \ lambda = \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}。}

これは、相補累積分布関数を考慮することで確認できます。

Pr（min {X 1、 …、X n} > x）= Pr（X 1 > x、…、X n > x）= ∏ i = 1 n Pr（X i > x）= ∏ i = 1nexp⁡（−xλi）=exp⁡（− x ∑ i =1nλi）。 {\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ Pr \ left（\ min \ {X_ {1}、\ dotsc、X_ {n} \} > x \ right）\\ = {} & \ Pr \ left（X_ {1} > x、 \ dotsc、X_ {n} > x \ right）\\ = {} & \ prod _ {i = 1} ^ { n} \ Pr \ left（X_ {i} > x \ right）\\ = {} & \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ exp \ left（-x \ lambda _ {i} \ right）= \ exp \ left（-x \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} \ right ）。\ end {aligned}}}

最小値を達成する変数のインデックスは、カテゴリ分布に従って分布されます

Pr（k∣X k = min {X 1、…、X n}） =λkλ1+⋯+λn。 {\ displaystyle \ Pr \ left（k \ mid X_ {k} = \ min \ {X_ {1}、\ dotsc、X_ {n} \} \ right）= {\ frac {\ lambda _ {k}} { \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}}}。}

証明は次のとおりです。

I =argmini∈{1、⋯、n}⁡{X 1 、…、X n} {\ displaystyle {\ text {Let}} I = \ operatorname {argmin} _ {i \ in \ {1、\ dotsb、n \}} \ {X_ {1}、\ dotsc、X_ {n} \}} then Pr（I = k）=∫0∞Pr（X k = x）Pr（Xi≠k > x）dx =∫0∞λ ke −λkx（∏i = 1、i≠kne −λix）dx = λk∫0∞e−（λ1+⋯+λn）xdx =λkλ1+⋯+λn。 {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ text {then}} \ Pr（I = k）& = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ Pr（ X_ {k} = x）\ Pr（X_ {i \ neq k} > x）dx \\ & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ lambda _ {k} e ^ {-\ lambda _ {k} x} \ left（\ prod _ {i = 1、i \ neq k} ^ {n} e ^ {- \ lambda _ {i} x} \ right）dx \\ & = \ lambda _ {k} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-\ left （\ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n} \ right）x} dx \\ & = {\ frac {\ lambda _ {k}} { \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}}}。\ end {aligned}}}

注意

max {X 1、…、X n} {\ displaystyle \ max \ {X_ {1}、\ dotsc、X_ {n} \}}

は指数関数的に分布していません。

iidの結合モーメント指数次数統計編集

E⁡= ∑ k = 0 j − 1 1（n − k）λE⁡+E⁡= ∑ k = 0 j − 1 1（n − k）λ∑ k = 0 i − 1 1（n − k）λ+ ∑ k = 0 i − 1 1（（n − k）λ）2 +（∑ k = 0 i − 1 1（n − k）λ）2。 {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {E} \ left & = \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} { （nk）\ lambda}} \ operatorname {E} \ left + \ operatorname {E} \ left \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} {（nk）\ lambda}} \ sum _ {k = 0} ^ {i-1} {\ frac {1} {（nk）\ lambda}} + \ sum _ {k = 0 } ^ {i-1} {\ frac {1} {（（nk）\ lambda）^ {2}}} + \ left（\ sum _ {k = 0} ^ {i-1} {\ frac {1 } {（nk）\ lambda}} \ right）^ {2}。\ end {aligned}}}

これは、総期待値の法則とメモリレスプロパティを呼び出すことで確認できます。

E⁡= ∫0∞E⁡fX（i）（x）dx =∫x=0∞xE⁡fX（i）（x）dx（X（i）=x⟹X（j）≥x）=∫ x =0∞x+ x] f X（i）（x）dx（メモリレスプロパティによる）= ∑ k = 0 j − 1 1（n − k）λE⁡+E⁡。{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {E} \ left & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {E} \ leftf_ {X_ { （i）}}（x）\、dx \\ & = \ int _ {x = 0} ^ {\ infty} x \ operatorname {E} \ leftf_ {X_ { （i）}}（x）\、dx & & \ left（{\ textrm {since}} 〜X _ {（i ）} = x \ implies X _ {（j）} \ geq x \ right）\\ & = \ int _ {x = 0} ^ {\ infty} x \ left + x \ right] f_ {X _ {（i）}}（x）\、dx & & \ left（{\ text {メモリレスプロパティによる}} \ right）\\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} {（nk）\ lambda }} \ operatorname {E} \ left + \ operatorname {E} \ left。\ end {aligned}}}

2つの独立した指数ランダム変数の合計編集

f Z（z）= ∫−∞∞f X 1（x 1）f X 2（z − x 1）dx 1 = ∫0zλ1e−λ1×1λ2e −λ2（z − x 1）dx 1 = λ1λ2e−λ 2z∫0ze（λ2−λ1）x 1 dx 1 = {λ1λ2λ2−λ1（e −λ1 z − e −λ2 z）ifλ1≠λ2λ2ze− λ1=λ2=λの場合はλz。 {\ displaystyle {\ begin {aligned} f_ {Z}（z）& = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} f_ {X_ {1}}（ x_ {1}）f_ {X_ {2}}（z-x_ {1}）\、dx_ {1} \\ & = \ int _ {0} ^ {z } \ lambda _ {1} e ^ {-\ lambda _ {1} x_ {1}} \ lambda _ {2} e ^ {-\ lambda _ {2}（z-x_ {1}）} \、dx_ {1} \\ & = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} e ^ {-\ lambda _ {2} z} \ int _ {0} ^ { z} e ^ {（\ lambda _ {2}-\ lambda _ {1}）x_ {1}} \、dx_ {1} \\ & = {\ begin {ケース} {\ dfrac {\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}} {\ lambda _ {2}-\ lambda _ {1}}} \ left（e ^ {-\ lambda _ {1} z} -e ^ {-\ lambda _ {2} z} \ right）& {\ text {if}} \ lambda _ {1} \ neq \ lambda _ {2} \ \\ lambda ^ {2} ze ^ {-\ lambda z} & {\ text {if}} \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2} = \ lambda 。\ end {cases}} \ end {aligned}}} H（Z）= 1 +γ+ln⁡（λ1−λ2λ1λ2）+ψ（λ1λ1−λ2）、{\ displaystyle {\ begin {aligned} H（Z）& = 1 + \ gamma + \ ln \ left（{\ frac {\ lambda _ {1}-\ lambda _ {2 }} {\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}} \ right）+ \ psi \ left（{\ frac {\ lambda _ {1}} {\ l ambda _ {1}-\ lambda _ {2}}} \ right）、\ end {aligned}}}

ここで、γ{\ displaystyle \ gamma}はEuler-Mascheroni定数であり、ψ（⋅）{\ displaystyle \ psi（\ cdot）}はディガンマ関数です。

等しいレートのパラメーターの場合、結果は形状2とパラメーターλ、{\ displaystyle \ lambda、}のアーラン分布になります。ターンはガンマ分布の特殊なケースです。