誕生日のパラドックスを理解する–より良い説明

23人。わずか23人の部屋では、少なくとも2人が同じ誕生日を迎える確率は50〜50です。 75の部屋では、少なくとも2人が一致する可能性が99.9％あります。

電卓と熊手を置いてください、私は異端を話しません。誕生日のパラドックスは奇妙で、直感に反し、完全に真実です。私たちの脳は指数の複利を処理できないため、これは単なる「パラドックス」です。確率は線形であると予想し、関与するシナリオのみを考慮します（ちなみに、両方の誤った仮定）。

パラドックスが発生する理由とその仕組みを見てみましょう。

問題1：指数が直感的ではない

私たちは数学と統計を学びましたが、子供ではありません。それは自然なことではありません。

例：コインを投げるときに10個の頭が連続する可能性は何ですか？訓練を受けていない脳は考えるかもしれませんこのように：

「まあ、1つの頭を得るのは50％の確率です。 2つの頭を取得するのは2倍難しいので、25％の確率です。 10頭を獲得するのはおそらく10倍難しい…つまり、約50％/ 10または5％の確率です。」

そして、そこに座って、敷物の虫のように独り占めします。サイコロのバブはありません。

しかし、トレーニングを行った後でも、再び捕まります。 5％の利子では、「予想される」20ではなく14年でお金が2倍になります。金利について学ぶときに72の法則を自然に推測しましたか？おそらくそうではありません。線形脳で複合指数関数的成長を理解するのは困難です。

問題2：人間は少し利己的です

ニュースを見てください。ネガティブなニュースの多くが、他人を考慮せずに行動した結果であることに注意してください。私は楽観主義者であり、人類に希望を持っていますが、それは別の議論です:)

23の部屋で、あなたの誕生日が他の人の誕生日と比較されている22の比較について考えますか？おそらく。

あなたではない誰かがあなたではない他の誰かに対してチェックされている231の比較について考えますか？あなたは非常に多くあることに気づいていますか？おそらくそうではありません。

その事実私たちを含まない10倍の比較を無視すると、「パラドックス」が発生する理由を理解するのに役立ちます。

わかりました、人間はひどいです：数学を見せてください！

q uestion：2人が23人のグループで誕生日を共有する可能性はどのくらいありますか？

確かに、ペアをリストして、一致する可能性のあるすべての方法を数えることができます。しかし、それは難しいことです。1、2、3、または23の試合が発生する可能性があります！

「23回のコイントスで1つ以上の頭を獲得する可能性はどのくらいですか？」非常に多くの可能性があります：最初のスロー、3番目、最後、または1番目と3番目、2番目と21番目などのヘッド。

コインの問題をどのように解決しますか？裏返して（取得しますか？取得しますか？）、頭を取得するためにあらゆる方法を数えるのではなく、すべての尾を取得する可能性を見つけます。これが「問題のシナリオ」です。

取得する可能性が1％の場合すべての尾（.5 ^ 23に似ていますが、ここで私と一緒に作業します）では、99％の確率で少なくとも1つの頭があります。それが1頭なのか、2頭なのか、15頭なのか、23頭なのかはわかりません。頭があり、それが重要です。問題のシナリオの確率を1から引くと、良いシナリオの確率が残ります。

同じ原則が誕生日にも当てはまります。一致するすべての方法を見つけるのではなく、全員が異なる可能性、つまり「問題シナリオ」を見つけます。次に、反対の確率を取り、一致する可能性を取得します。1つ、2つ、または20の場合がありますが、誰かが一致しました。これを見つける必要があります。

説明：ペアを数える（近似式）

23人で253ペアになります：

（必要に応じて組み合わせと順列をブラッシュアップします）。

2人の誕生日が異なる可能性は次のとおりです。

理にかなっていますよね？ある人の誕生日を別の人と比較すると、365のシナリオのうち364のシナリオでは一致しません。。

しかし、253の比較を行い、それらをすべて異なるものにすることは、頭を253回続けて取得するようなものです。毎回「尾」をかわす必要がありました。誕生日の比較を装っておおよその解決策を取得しましょう。コインフリップのようなものです。（正確な計算については、付録Aを参照してください。）

確率を見つけるために指数を使用します：

1回のミスが発生する可能性はかなり高い（99.7260％）が、そのチャンスを何百回も受けると、そのストリークを維持する確率は低下します。高速。

一致する可能性は1〜49.95％= 50.05％、つまり半分強です。任意の数の人の一致の確率を見つけたい場合、式は次のとおりです。

インタラクティブな例

23人しか必要ないと思いました。数学はうまくいきますが、それは本当ですか？

あなたは賭けます。以下の例を試してください。いくつかのアイテム（365）、いくつかの人（23）を選び、いくつかの試行を実行します。トライアルを実行すると、理論上の一致と実際の一致が表示されます。先に進み、ボタンをクリックします（またはページ全体を表示します）。

試行を増やすと（クリックし続けると！）、実際の確率は理論上の確率に近づくはずです。

例とポイント

誕生日のパラドックスからのいくつかの教訓は次のとおりです。

$ \ sqrt {n} $は、おおよそ50％の確率で必要な数です。 n個のアイテムと一致します。 $ \ sqrt {365} $は約20です。これは、誕生日攻撃の暗号化で機能します。
2128（1e38）のGUIDがありますが、以前に使い切るのは264（1e19）だけです。衝突の可能性は50％です。そして、50％は本当に、本当に高いです。
95％の確率で一致するのに、アルファベットの文字を選ぶのに必要なのは13人だけです。上で試してみてください（人= 13、アイテム= 26）。
指数関数的成長により、ユニークなアイテムを選ぶ可能性が急速に減少します（つまり、一致する可能性が高くなります）。覚えておいてください：指数は直感的ではなく、人間は利己的です！