簡単な場合物質、体積が増加する断熱プロセス中に、作動物質の内部エネルギーは減少する必要があります
可逆（すなわち、なし）を受ける理想的なガスの数式エントロピー生成）断熱プロセスは、ポリトロピックプロセス方程式で表すことができます
PVγ=定数、{\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}}、}
ここで、Pは圧力、Vは体積であり、この場合はn =γです。ここで
γ= CPCV = f + 2 f、{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {f + 2} {f}}、}
CPは一定圧力の比熱、CVは一定体積の比熱、γは断熱指数、fは自由度の数（3単原子ガスの場合は5、断熱ガスおよび同一線上の分子（二酸化炭素など）の場合は5）。
単原子理想ガスの場合、γ= 5/3、および二原子ガス（空気の主成分である窒素や酸素など）の場合、γ= 7/5。上記の式は古典的な理想気体にのみ適用され、ボーズ・アインシュタインまたはフェルミ気体には適用されないことに注意してください。
可逆断熱プロセスの場合、
P 1 −γTγ =定数であることも事実です。 、{\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {\ text {constant}}、} VT f 2 =定数、{\ displaystyle VT ^ {\ frac {f} {2}} = {\ text {constant}}、}
ここで、Tは絶対温度です。これは、
TVγ−1 =定数と書くこともできます。 {\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = {\ text {constant}}。}
断熱圧縮の例編集
ガソリンエンジンの圧縮ストロークは、断熱の例として使用できます。圧縮。モデルの仮定は次のとおりです。シリンダーの非圧縮体積は1リットル（1 L = 1000 cm3 = 0.001 m3）です。内部のガスは、分子状の窒素と酸素のみで構成される空気です（したがって、5自由度の二原子ガスであるため、γ= 7/5）。エンジンの圧縮比は10：1です（つまり、1Lの非圧縮ガスはピストンによって0.1Lに減少します）。圧縮されていないガスの温度と圧力はほぼ室温です（暖かい室温は約27°C、つまり300 K、圧力は1 bar = 100 kPa、つまり典型的な海面気圧）。
P 1Vγ=定数1 = 100 000 Pa×（0.001 m 3）7 5 {\ displaystyle P_ {1} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant} _ {1} = 100 \、000〜 {\ text {Pa}} \ times（0.001〜 {\ text {m}} ^ {3}）^ {\ frac {7} {5}}} = 105×6.31×10− 5 Pa m 21/5 = 6.31 Pa m 21/5、{\ displaystyle = 10 ^ {5} \ times 6.31 \ times 10 ^ {-5}〜{\ text {Pa}} \、{\ text {m}} ^ {21/5} = 6.31 〜{\ text {Pa}} \、{\ text {m}} ^ {21/5}、}
したがって、この例の大気圧定数は約6.31 Pam4.2です。
これで、ガスは0.1 L（0.0001 m3）の体積に圧縮されます（これは、壁からガスに出入りする熱がないほど迅速に発生すると想定します）。断熱定数は同じままですが、結果として生じる圧力は不明です
P2Vγ=定数1 = 6.31 Pa m 21/5 = P×（0.0001 m 3）7 5、{\ displaystyle P_ {2} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant} _ {1} = 6.31〜 {\ text {Pa}} \、{\ text {m}} ^ {21/5} = P \ times（0.0001〜 {\ text {m}} ^ {3}）^ {\ frac {7} {5}}、}
P2を解く：
P 2 = 6.31 Pa m 21/5（0.0001 m 3）7 5 = 6.31 Pa m 21 / 52.5×10− 6 m 21/5 = 2.51×106 Pa、{\ displaystyle P_ {2} = {\ frac {6.31〜 {\ text {Pa}} \、{\ text { m}} ^ {21/5}} {（0.0001〜 {\ text {m}} ^ {3}）^ {\ frac {7} {5}}}} = {\ frac {6.31〜 {\ text { Pa}} \、{\ text {m}} ^ {21/5}} {2.5 \ times 10 ^ {-6}〜{\ text {m}} ^ {21/5}}} = 2.51 \ times 10 ^ {6}〜{\ text {Pa}}、}
または25.1バー。この圧力上昇は、単純な10：1の圧縮比が示す以上のものであることに注意してください。これは、ガスが圧縮されるだけでなく、ガスを圧縮するために行われる作業によって内部エネルギーも増加するためです。これは、ガス温度の上昇と、10の単純な計算の結果よりも高い圧力の追加の上昇によって現れます。元の圧力の倍。
理想気体の法則PV = nRT（nはモル単位のガスの量、Rはガス）を使用して、エンジンシリンダー内の圧縮ガスの温度も解くことができます。そのガスに対して一定）。初期条件は、圧力100 kPa、体積1 L、温度300 Kで、実験定数（nR）は次のとおりです。
PVT =定数2 = 10 5Pa×10− 3 m 3 300 K = 0.333 Pa m 3 K −1。 {\ displaystyle {\ frac {PV} {T}} = \ operatorname {constant} _ {2} = {\ frac {10 ^ {5}〜{\ text {Pa}} \ times 10 ^ {-3}〜 {\ text {m}} ^ {3}} {300〜 {\ text {K}}}} = 0.333〜 {\ text {Pa}} \、{\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {-1}。}
圧縮ガスのV = 0.1LおよびP = 2.51×106Paであることがわかっているため、温度を解くことができます。
T = PV定数2 = 2.51 ×106Pa×10− 4 m 3 0.333 Pa m 3 K − 1 = 753K。 {\ displaystyle T = {\ frac {PV} {\ operatorname {constant} _ {2}}} = {\ frac {2.51 \ times 10 ^ {6}〜{\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 4}〜{\ text {m}} ^ {3}} {0.333〜 {\ text {Pa}} \、{\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {-1} }} = 753〜 {\ text {K}}。}
これは、753 K、つまり479°C、つまり896°Fの最終温度であり、多くの燃料の引火点をはるかに上回っています。これが、高圧縮エンジンが自己発火しないように特別に調合された燃料を必要とする理由です（これらの温度と圧力の条件下で動作するとエンジンがノッキングする可能性があります）、またはインタークーラーを備えたスーパーチャージャーが圧力を高めますが、温度上昇は有利だろう。ディーゼルエンジンは、非常に高いガス温度を提供するために、16：1以上の圧縮比が一般的で、さらに極端な条件下で動作します。これにより、噴射された燃料の即時点火が保証されます。
断熱フリーgasEditの膨張
理想気体の断熱自由膨張の場合、ガスは断熱容器に入れられ、真空中で膨張します。ガスが膨張するための外圧がないため、システムによって、またはシステム上で行われる作業はゼロです。このプロセスには熱伝達や仕事が含まれないため、熱力学の第1法則は、システムの正味の内部エネルギー変化がゼロであることを意味します。理想気体の場合、内部エネルギーは温度にのみ依存するため、温度は一定に保たれます。一定温度では、エントロピーは体積に比例するため、この場合はエントロピーが増加します。したがって、このプロセスは元に戻せません。
断熱加熱および冷却のP-V関係の導出編集
断熱プロセスの定義は、システムへの熱伝達がゼロ、δQ= 0であるということです。次に、熱力学の第1法則に従って、
（1）d U +δW=δQ= 0、{ \ displaystyle {\ text {（1）}} \ qquad dU + \ delta W = \ delta Q = 0、}
ここで、dUはシステムの内部エネルギーの変化であり、δWはシステムによって実行される作業です。周囲から熱δQが供給されていないため、行われるすべての作業（δW）は、内部エネルギーUを犠牲にして行われる必要があります。システムによって行われる圧力-体積仕事δWは次のように定義されます
（2）δW= P dV。 {\ displaystyle {\ text {（2）}} \ qquad \ delta W = P \、dV。}
ただし、Pは断熱プロセス中に一定のままではなく、Vとともに変化します。
断熱プロセスが進むにつれて、dPとdVの値が互いにどのように関連するかを知ることが望まれます。理想気体の場合（理想気体の法則PV = nRTを思い出してください）、内部エネルギーは次の式で与えられます。
（3）U =αnRT=αPV、{\ displaystyle {\ text {（3）}} \ qquad U = \ alpha nRT = \ alpha PV、}
ここで、αは自由度の数を2で割った数、Rは普遍気体定数、nはシステム内のモル数（定数）です。
微分式（3）は次のようになります
（4）d U =αnRdT =αd（PV）=α（P d V + V d P）。 {\ displaystyle {\ text {（4）}} \ qquad dU = \ alpha nR \、dT = \ alpha \、d（PV）= \ alpha（P \、dV + V \、dP）。}
式（4）は、CV =αRであるため、dU = nCVdTとして表されることがよくあります。
ここで、式（2）と（4）を式（1）に代入して、
− P d V = αPdV+αVdP、{\ displaystyle -P \、dV = \ alpha P \、dV + \ alpha V \、dP、}
factorize −P dV：
−（α+ 1 ）P d V =αVdP、{\ displaystyle-（\ alpha +1）P \、dV = \ alpha V \、dP、}
そして両側をPVで除算します：
−（α + 1）d VV =αdPP。 {\ displaystyle-（\ alpha +1）{\ frac {dV} {V}} = \ alpha {\ frac {dP} {P}}。}
左側と右側をV0からVに統合し、 P0からPに、それぞれ辺を変更する
ln（PP 0）= −α +1αln（VV 0）。 {\ displaystyle \ ln \ left（{\ frac {P} {P_ {0}}} \ right）=-{\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ ln \ left（{\ frac {V } {V_ {0}}} \ right）。}
両側をべき乗し、α+ 1 /αをγに置き換えます。熱容量比
（PP 0）=（VV 0）−γ、{ \ displaystyle \ left（{\ frac {P} {P_ {0}}} \ right）= \ left（{\ frac {V} {V_ {0}}} \ right）^ {-\ gamma}、}
そして負の符号を削除して
（PP 0）=（V 0 V）γを取得します。 {\ displaystyle \ left（{\ frac {P} {P_ {0}}} \ right）= \ left（{\ frac {V_ {0}} {V}} \ right）^ {\ gamma}。}
したがって、
（PP 0）（VV 0）γ= 1、{\ displaystyle \ left（{\ frac {P} {P_ {0}}} \ right）\ left（{\ frac {V } {V_ {0}}} \ right）^ {\ gamma} = 1、}
および
P0V0γ=PVγ=定数。 {\ displaystyle P_ {0} V_ {0} ^ {\ gamma} = PV ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}。}
断熱加熱および冷却のP–T関係の導出編集
理想気体の法則を上記に代入すると、次のようになります。
P（n RTP）γ=定数、{\ displaystyle P \ left（{\ frac {nRT} {P}} \ right）^ {\ gamma } = \ operatorname {constant}、}
これは
に簡略化されます。P1−γTγ =定数。 {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}。}
離散式と仕事の式の導出編集
システムの内部エネルギーの変化、状態1から状態2まで測定すると、次のようになります。
（1）ΔU=αRnT 2 −αR n T 1 =αRnΔT。 {\ displaystyle {\ text {（1）}} \ qquad \ Delta U = \ alpha RnT_ {2}-\ alpha RnT_ {1} = \ alpha Rn \ DeltaT。}
同時に、このプロセスの結果として圧力と体積の変化によって行われる仕事は、次のようになります。
（2）W =∫V1V2 P dV。 {\ displaystyle {\ text {（2）}} \ qquad W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P \、dV。}
プロセスは断熱的である必要があるため、次の方程式は真である必要があります
（3）ΔU+ W = 0。{\ displaystyle {\ text {（3）}} \ qquad \ Delta U + W = 0。}
導出、
（4）PVγ=定数= P1V1γ。 {\ displaystyle {\ text {（4）}} \ qquad PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}} = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma}。}
再配置（4 ）は
P = P 1（V 1 V）γを与えます。 {\ displaystyle P = P_ {1} \ left（{\ frac {V_ {1}} {V}} \ right）^ {\ gamma}。}
これを（2）に代入すると
W =∫V1V2 P 1（V 1 V）γdV。 {\ displaystyle W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P_ {1} \ left（{\ frac {V_ {1}} {V}} \ right）^ {\ gamma} \ 、dV。}
積分すると、仕事の式が得られます。
W = P1V1γV21−γ− V 1 1 −γ1 −γ = P 2 V 2 − P 1 V 1 1 −γ。 {\ displaystyle W = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} {\ frac {V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma}} = {\ frac {P_ {2} V_ {2} -P_ {1} V_ {1}} {1- \ gamma}}。}
第2項にγ=α+ 1 /αを代入すると、
W = −αP 1V1γ（V 2 1 −γ− V 1 1 −γ）。 {\ displaystyle W =-\ alpha P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} \ left（V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma} \ right） 。}
再配置
W = −αP 1 V 1（（V 2 V 1）1 −γ− 1）。 {\ displaystyle W =-\ alpha P_ {1} V_ {1} \ left（\ left（{\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right）^ {1- \ gamma} -1 \ right）。}
理想気体の法則を使用し、一定のモル量を仮定すると（実際の場合によくあることです）、
W = −αn RT 1（（V 2 V 1）1 −γ− 1）。 {\ displaystyle W =-\ alpha nRT_ {1} \ left（\ left（{\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right）^ {1- \ gamma} -1 \ right）。 }
連続式により、
P 2 P 1 =（V 2 V 1）−γ、{\ displaystyle {\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} = \ left（ {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right）^ {-\ gamma}、}
または
（P 2 P 1）−1γ = V 2 V1。 {\ displaystyle \ left（{\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right）^ {-{\ frac {1} {\ gamma}}} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}}。}
Wの前の式に代入すると、
W = −αn RT 1（（P 2 P 1）γ− 1γ− 1）。 {\ displaystyle W =-\ alpha nRT_ {1} \ left（\ left（{\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right）^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma }}-1 \ right）。}
この式と（1）を（3）に代入すると、
αnR（T 2 − T 1）=αnRT1（（P 2 P 1） γ−1γ−1）。 {\ displaystyle \ alpha nR（T_ {2} -T_ {1}）= \ alpha nRT_ {1} \ left（\ left（{\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right）^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}-1 \ right）。}
簡略化
T 2 − T 1 = T 1（（P 2 P 1）γ− 1γ− 1）、{\ displaystyle T_ {2} -T_ {1} = T_ {1} \ left（\ left（{\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right）^ {\ frac { \ gamma -1} {\ gamma}}-1 \ right）、} T 2 T 1 − 1 =（P 2 P 1）γ− 1γ− 1、{\ displaystyle {\ frac {T_ {2}} { T_ {1}}}-1 = \ left（{\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right）^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}-1、} T 2 = T 1（P 2 P 1）γ−1γ。 {\ displaystyle T_ {2} = T_ {1} \ left（{\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right）^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}。 }