剛体の運動エネルギー
古典力学では、点オブジェクト（質量が1つに存在すると見なすことができるほど小さいオブジェクト）の運動エネルギーポイント）、または回転しない剛体は、物体の質量と速度に依存します。運動エネルギーは、質量と速度の2乗の積の1/2に等しくなります。式の形式：
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
where m {\ displaystyle m}は質量であり、v {\ displaystyle v}は体の速度（または速度）です。 SI単位では、質量はキログラムで測定され、速度はメートル/秒で測定され、結果の運動エネルギーはジュールで表されます。
たとえば、80 kgの質量（約180ポンド）の運動エネルギーを計算します。 ）毎秒18メートル（約40 mph、または65 km / h）で移動する
E k =12⋅80kg⋅（18 m / s）2 = 12、960 J = 12.96 kJ {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \、{\ text {kg}} \ cdot \ left（18 \、{\ text {m / s}} \ right ）^ {2} = 12,960 \、{\ text {J}} = 12.96 \、{\ text {kJ}}}
人がボールを投げるとき、人はボールにその速度を与えるために作業します手を離します。移動するボールは、何かに当たってそれを押すことができ、当たったものに作業を行います。移動するオブジェクトの運動エネルギーは、静止状態からその速度に移動するために必要な仕事、または静止状態にあるときにオブジェクトが実行できる仕事に等しくなります。正味の力×変位=運動エネルギー、つまり
F s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
運動エネルギーは速度の2乗で増加するため、速度を2倍にするオブジェクトの速度は4倍になります。同じくらいの運動エネルギー。たとえば、一定のブレーキ力を仮定すると、他の車の2倍の速さで走行する車は、停止するのに4倍の距離が必要です。この4倍の結果として、速度を2倍にするのに4倍の作業が必要です。
オブジェクトの運動エネルギーは、次の式によって運動量に関連付けられます。
E k = p 2 2 m {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}
ここで：
p {\ displaystyle p \;}は運動量m {\ displaystyle m \;}は、物体の質量です。
重心が一定の質量m {\ displaystyle m \;}の剛体の、並進運動エネルギー、つまり直線運動に関連する運動エネルギーの場合。上で見たように、速度v {\ displaystyle v \;}で直線的に移動すると、次のようになります。
E t = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1 } {2}} mv ^ {2}}
ここで、
m {\ displaystyle m \;}は物体の質量v {\ displaystyle v \;}は重心の速度です体の。
エンティティの運動エネルギーは、それが測定される参照フレームによって異なります。ただし、孤立したシステム、つまりエネルギーが出入りできないシステムの総エネルギーは、それが測定される参照フレーム内で時間の経過とともに変化しません。したがって、ロケットエンジンによって運動エネルギーに変換される化学エネルギーは、選択された基準座標系に応じて、ロケット船とその排気流の間で異なる方法で分割されます。これはオーベルト効果と呼ばれます。ただし、運動エネルギー、燃料化学エネルギー、熱などを含むシステムの総エネルギーは、参照フレームの選択に関係なく、時間の経過とともに保存されます。ただし、異なる参照フレームで移動する異なる観測者は、この保存されたエネルギーの値に同意しません。
このようなシステムの運動エネルギーは、参照フレームの選択によって異なります。つまり、そのエネルギーの最小値を与える参照フレームです。は運動量フレームの中心、つまりシステムの総運動量がゼロである参照フレームです。この最小運動エネルギーは、システム全体の不変質量に寄与します。
微分
微小時間間隔dtの間に質量mの粒子を加速する際に行われる仕事は、次の式で与えられます。力Fと微小変位dxのドット積
F⋅dx=F⋅vdt=dpdt⋅vdt=v⋅dp=v⋅d（mv）、{\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d（m \ mathbf {v}）\ ,,}
ここで、関係p = mvとニュートンの第2法則の有効性を仮定しています。（ただし、以下の特別な相対論的導出も参照してください。）
積則を適用すると、次のことがわかります。
d（v⋅v）=（dv）⋅v+v⋅（dv）= 2 （v⋅dv）。{\ displaystyle d（\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}）=（d \ mathbf {v}）\ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot（d \ mathbf {v}）= 2（\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}）。}
したがって、（短所を想定） dm = 0）となるように質量をタントすると、次のようになります。
v⋅d（m v）= m 2 d（v⋅v）= m 2 d v 2 = d（m v 2 2）。 {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d（m \ mathbf {v}）= {\ frac {m} {2}} d（\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}）= {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ left（{\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right）。}
これは全微分であるため（つまり、粒子がどのように到達したかではなく、最終状態にのみ依存します）、それを統合して結果を運動エネルギーと呼ぶことができます。オブジェクトが時間0で静止していると仮定すると、オブジェクトを静止状態から速度vに移動する力によって行われる仕事は、その逆を行うために必要な仕事に等しいため、時間0から時間tまで積分します。
E k =∫0tF⋅dx=∫0tv⋅d（mv）=∫0td（mv 2 2）= mv 22。 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d（m \ mathbf {v}）= \ int _ {0} ^ {t} d \ left（{\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right）= {\ frac {mv ^ {2}} {2}}。}
この方程式は、運動エネルギー（Ek）が、物体の速度（v）と物体の微小変化のドット積の積分に等しいことを示しています。 ” s運動量（p）。静止している（静止している）とき、物体は運動エネルギーなしで開始すると想定されます。
回転する物体
剛体Qが回転している場合質量の中心を通る任意の線は、回転運動エネルギー（E r {\ displaystyle E _ {\ text {r}} \、}）を持ちます。これは、単にその可動部分の運動エネルギーの合計であり、したがって、 ：
E r =∫Qv2dm 2 =∫Q（rω）2 dm 2 =ω22∫Qr2dm =ω22I=12Iω2{\ displaystyle E _ {\ text {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {（r \ omega）^ {2} dm} { 2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} I = {\ frac {1 } {2}} I \ omega ^ {2}}
ここで：
（この方程式では、慣性モーメントは重心を通る軸を中心にとらなければならず、回転はωで測定されます。その軸の周りにある必要があります。より一般的な方程式は、オブジェクトがその偏心形状のためにぐらつく可能性があるシステムに存在します。
システムの運動エネルギー
物体のシステムは、システム内の物体の相対運動。たとえば、太陽系では、惑星と小惑星が太陽の周りを回っています。ガスのタンクでは、分子はすべての方向に移動しています。システムの運動エネルギーは、システムに含まれる物体の運動エネルギーの合計です。
静止している（つまり、物体の運動中心に対応するように参照フレームが選択されている）巨視的な物体。 ）は、分子レベルまたは原子レベルでさまざまな種類の内部エネルギーを持っている可能性があります。これは、分子の並進、回転、振動、電子の並進とスピン、核スピンにより、運動エネルギーと見なすことができます。これらはすべて、身体に寄与します。相対性の特別な理論によって提供される質量。巨視的な物体の動きを議論するとき、言及される運動エネルギーは通常、巨視的な動きのみの運動エネルギーです。ただし、すべてのタイプのすべての内部エネルギーは、物体の質量、慣性、および総エネルギーに寄与します。
流体ダイナミクス
流体ダイナミクスでは、各ポイントでの単位体積あたりの運動エネルギー非圧縮性の流体の流れ場は、その点での動的圧力と呼ばれます。
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ { 2}}
Vで割ると、体積の単位：
E k V = 1 2 m V v 2 q =12ρv2{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {E_ {\ text {k}}} {V}} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q & = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ end {aligned}}}
where q {\ displaystyle q}は動的圧力、ρは非圧縮性流体の密度です。
参照フレーム
速度、したがって単一オブジェクトの運動エネルギーはフレームに依存します（相対）：適切な慣性参照フレームを選択することにより、負でない値をとることができます。たとえば、観測者を通過する弾丸は、運動エネルギーを持っています。このオブザーバーの会議フレーム。同じ弾丸は、弾丸と同じ速度で移動する観測者に対して静止しているため、運動エネルギーはゼロです。対照的に、すべてのオブジェクトの速度が同じでない限り、慣性座標系を適切に選択しても、オブジェクトのシステムの総運動エネルギーをゼロに減らすことはできません。それ以外の場合、すべてのオブジェクトが静止している慣性座標系を選択できないため、総運動エネルギーの最小値はゼロ以外になります。この最小運動エネルギーは、参照フレームに依存しないシステムの不変質量に寄与します。
システムの総運動エネルギーは、慣性座標系に依存します。これは、合計の合計です。運動量中心系の運動エネルギーと、総質量が運動量中心に集中した場合の運動エネルギー。
これは簡単に示すことができます。letV{\ displaystyle \ textstyle \ mathbf { V}}は、フレームk内の質量中心フレームiの相対速度です。
v 2 =（vi + V）2 =（vi + V）⋅（vi + V）=vi⋅vi+2vi⋅V+V⋅V= vi 2 +2vi⋅V+ V 2 、{\ displaystyle v ^ {2} = \ left（v_ {i} + V \ right）^ {2} = \ left（\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right）\ cdot \ left（\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right）= \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} + 2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2}、}
次に、
E k =∫v22dm =∫vi22dm +V⋅∫vidm+V22∫dm。 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ intdm。} E k = E i + MV 22。 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}。}
したがって、システムの運動エネルギーは、運動量中心系に対して最低です。フレーム、つまり、重心が静止している座標系（重心フレームまたはその他の運動量中心フレーム）。異なる基準系では、重心の速度で移動する総質量に対応する追加の運動エネルギーがあります。運動量フレームの中心にあるシステムの運動エネルギーは不変の量です（すべての観測者はそれが同じであると見なします）。
システムの回転
便利な場合があります。体の総運動エネルギーを、体の質量中心の並進運動エネルギーと質量中心の周りの回転エネルギー（回転エネルギー）の合計に分割するには：
E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \、}
ここで：
Ekは総運動エネルギーEtは並進運動エネルギーErは静止フレームの回転エネルギーまたは角運動エネルギー
したがって、飛行中のテニスボールの運動エネルギーは、その回転による運動エネルギーに、その並進による運動エネルギーを加えたものです。