合計

以下の式には、有限の合計が含まれます。三角関数または他の超越関数を含む式の無限の総和または有限の総和については、数学シリーズのリストを参照してください。

一般的なアイデンティティ編集

∑ n =stC⋅f（n）= C⋅∑ n = stf（n）{\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} C \ cdot f（n）= C \ cdot \ sum _ {n = s} ^ {t} f（n）\ quad} （分布）∑ n = stf（n）±∑ n = stg（n）= ∑ n = st（f（n）±g（n））{\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f （n）\ pm \ sum _ {n = s} ^ {t} g（n）= \ sum _ {n = s} ^ {t} \ left（f（n）\ pm g（n）\ right） \ quad}（可換性と関連性）∑ n = stf（n）= ∑ n = s + pt + pf（n − p）{\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f（n）= \合計_ {n = s + p} ^ {t + p} f（np）\ quad}（インデックスシフト）∑n∈B f（n）= ∑m∈A f（σ（m））、{\ displaystyle \ sum _ {n \ in B} f（n）= \ sum _ {m \ in A} f（\ sigma（m））、\ quad}有限の集合Aから集合Bへの偏位σ（インデックス変化する）;これにより、前述の式が一般化されます。 ∑ n = stf（n）= ∑ n = sjf（n）+ ∑ n = j + 1 tf（n）{\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f（n）= \ sum _ { n = s} ^ {j} f（n）+ \ sum _ {n = j + 1} ^ {t} f（n）\ quad}（連想性を使用して合計を分割）∑ n = abf（n）= ∑ n = 0 bf（n）− ∑ n = 0 a − 1 f（n）{\ displaystyle \ sum _ {n = a} ^ {b} f（n）= \ sum _ {n = 0} ^ { b} f（n）-\ sum _ {n = 0} ^ {a-1} f（n）\ quad}（前の式の変形）∑ n = stf（n）= ∑ n = 0 t − sf（t − n）{\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f（n）= \ sum _ {n = 0} ^ {ts} f（tn）\ quad}（最後までの最初の項は、最後から最初までの合計に等しい）∑ n = 0 tf（n）= ∑ n = 0 tf（t − n）{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {t} f（n）= \ sum _ {n = 0} ^ {t} f（tn）\ quad}（上記の式の特定のケース）∑ i = k 0 k 1 ∑ j = l 0 l 1 ai、j = ∑ j = l 0 l 1 ∑ i = k 0 k 1 ai、j {\ displaystyle \ sum _ {i = k_ {0}} ^ {k_ {1}} \ sum _ {j = l_ { 0}} ^ {l_ {1}} a_ {i、j} = \ sum _ {j = l_ {0}} ^ {l_ {1}} \ sum _ {i = k_ {0}} ^ {k_ { 1}} a_ {i、j} \ quad}（可換性と連想性、再び）∑k≤j≤i≤nai、j = ∑ i = kn ∑ j = kiai、j = ∑ j = kn ∑ i = jnai、j = ∑ j = 0 n − k ∑ i = kn − jai + j、i {\ displaystyle \ sum _ {k \ leq j \ leq i \ leq n} a_ {i、j} = \ sum _ {i = k} ^ {n} \ sum _ {j = k} ^ {i} a_ {i、j} = \ sum _ {j = k} ^ {n} \ sum _ {i = j} ^ {n} a_ {i、j} = \ sum _ {j = 0} ^ {nk} \ sum _ {i = k} ^ {nj} a_ {i + j、i} \ quad}（可換性と連想性の別のアプリケーション）∑ n = 2 s 2 t + 1 f（n）= ∑ n = stf（2 n）+ ∑ n = stf（2 n + 1）{ \ displaystyle \ sum _ {n = 2s} ^ {2t + 1} f（n）= \ sum _ {n = s} ^ {t} f（2n）+ \ sum _ {n = s} ^ {t} f（2n + 1）\ quad}（偶数のインデックスの場合、合計を奇数と偶数の部分に分割）∑ n = 2 s + 1 2 tf（n）= ∑ n = s + 1 tf（2 n）+ ∑ n = s + 1 tf（2 n − 1）{\ displaystyle \ sum _ {n = 2s + 1} ^ {2t} f（n）= \ sum _ {n = s + 1} ^ {t} f（ 2n）+ \ sum _ {n = s + 1} ^ {t} f（2n-1）\ quad}（奇数のインデックスの場合、合計を奇数と偶数の部分に分割）（∑ i = 0 nai）（∑ j = 0 nbj）= ∑ i = 0 n ∑ j = 0 naibj {\ displaystyle \ left（\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} \ right）\ left（\ sum _ {j = 0} ^ {n} b_ {j} \ right）= \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sum _ {j = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {j} \ quad}（配布utivity）∑ i = sm ∑ j = tnaicj =（∑ i = smai）（∑ j = tncj）{\ displaystyle \ sum _ {i = s} ^ {m} \ sum _ {j = t} ^ {n} {a_ {i}} {c_ {j}} = \ left（\ sum _ {i = s} ^ {m} a_ {i} \ right）\ left（\ sum _ {j = t} ^ {n} c_ {j} \ right）\ quad}（分布により因数分解が可能）∑ n = stlogb⁡f（n）= logb⁡∏n = stf（n）{\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ { t} \ log _ {b} f（n）= \ log _ {b} \ prod _ {n = s} ^ {t} f（n）\ quad}（製品の対数は対数の合計です因子の）C ∑ n = stf（n）= ∏ n = st C f（n）{\ displaystyle C ^ {\ sum \ limits _ {n = s} ^ {t} f（n）} = \ prod _ {n = s} ^ {t} C ^ {f（n）} \ quad}（合計の指数は被加数の指数の積です）

算術進行の累乗と対数編集

∑ i = 1 nc = nc {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} c = nc \ quad} iに依存しないすべてのcについて∑ i = 0 ni = ∑ i = 1 ni = n （n + 1）2 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i = \ sum _ {i = 1} ^ {n} i = {\ frac {n（n + 1）} {2 }} \ qquad}（nfiで構成される最も単純な対数進行の合計最初の自然数。）：52∑ i = 1 n（2 i − 1）= n 2 {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n}（2i-1）= n ^ {2} \ qquad} （最初の奇数の自然数の合計）∑ i = 0 n 2 i = n（n + 1）{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} 2i = n（n + 1）\ qquad}（合計最初の偶数の自然数）∑ i =1nlog⁡i=log⁡n！ {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ log i = \ log n！\ qquad}（対数の合計は積の対数です）∑ i = 0 ni 2 = ∑ i = 1 ni 2 = n（n + 1）（2 n + 1）6 = n 3 3 + n 2 2 + n 6 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} = {\ frac {n（n + 1）（2n + 1）} {6}} = {\ frac {n ^ {3}} {3}} + {\ frac {n ^ {2}} {2}} + {\ frac {n} {6}} \ qquad}（最初の正方形の合計。正方形のピラミッド数を参照してください。）：52 ∑ i = 0 ni 3 =（∑ i = 0 ni）2 =（n（n + 1）2）2 = n 4 4 + n 3 2 + n 2 4 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {3} = \ left（\ sum _ {i = 0} ^ {n} i \ right）^ {2} = \ left（{\ frac {n（n + 1）} {2}} \ right）^ {2} = {\ frac {n ^ {4}} {4}} + {\ frac {n ^ {3}} {2}} + {\ frac {n ^ {2 }} {4}} \ qquad}（Nicomachusの定理）：52

より一般的には、Faulhaberの式があります

∑ k = 1 nkp = np + 1 p + 1 + 1 2 np + ∑ k = 2 p（pk）B kp − k + 1 np − k + 1、{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} + {\ frac {1} {2}} n ^ {p} + \ sum _ {k = 2} ^ {p} {\ binom {p} {k}} {\ frac {B_ {k}} {p-k + 1}} \、n ^ {p-k + 1}、}

ここで、B k {\ displaystyle B_ {k}}はベルヌーイ数を示し、（pk ）{\ displaystyle {\ binom {p} {k}}}は二項係数です。

exponentsEditの合計インデックス

以下の合計では、aはとは異なると想定されています。 1。

∑ i = 0 n − 1 ai = 1 − an 1 − a {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a ^ {i} = {\ frac {1- a ^ {n}} {1-a}}}（幾何学的進行の合計）∑ i = 0 n − 1 1 2 i = 2 − 1 2 n − 1 {\ displayst yle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {\ frac {1} {2 ^ {i}}} = 2-{\ frac {1} {2 ^ {n-1}}}}（ a = 1/2の特殊なケース）∑ i = 0 n − 1 iai = a − nan +（n − 1）a + 1（1 − a）2 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n -1} ia ^ {i} = {\ frac {a-na ^ {n} +（n-1）a ^ {n + 1}} {（1-a）^ {2}}}}（回幾何学的進行のaに関する導関数）∑ i = 0 n − 1（b + id）ai = b ∑ i = 0 n − 1 ai + d ∑ i = 0 n − 1 iai = b（1 − an 1 − a）+ d（a − nan +（n − 1）a + 1（1 − a）2）= b（1 − an）−（n − 1）dan 1 − a + da（1 − an − 1）（1 − a）2 {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ left（b + id \ right）a ^ {i} & = b \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a ^ {i} + d \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} ia ^ {i} \ \ & = b \ left（{\ frac {1-a ^ {n}} {1-a}} \ right）+ d \ left（{\ frac {a- na ^ {n} +（n-1）a ^ {n + 1}} {（1-a）^ {2}}} \ right）\\ & = { \ frac {b（1-a ^ {n}）-（n-1）da ^ {n}} {1-a}} + {\ frac {da（1-a ^ {n-1}）} { （1-a）^ {2}}} \ end {aligned}}}（算術幾何学的シーケンスの合計）

二項係数と因数分解alsEdit

二項係数を含む非常に多くの合計IDが存在します（具体的な数学の章全体は基本的な手法のみに専念しています） 。最も基本的なもののいくつかは次のとおりです。

二項定理を含む編集

∑ i = 0 n（ni）a − ibi =（a + b）n、{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ choice i} a ^ {ni} b ^ {i} =（a + b）^ {n}、}二項定理∑ i = 0 n（ni）= 2 n、{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ choice i} = 2 ^ {n}、} a = b = 1 ∑ i = 0 n（ni）pi（ 1 − p）n − i = 1 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ choice i} p ^ {i}（1-p）^ {ni} = 1}、特別p = a = 1 – bの場合、これは0≤p≤1の場合、{\ displaystyle 0 \ leq p \ leq 1、}は二項分布の合計を表します∑ i = 0 ni（ni）= n（2 n − 1）、{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i {n \ choice i} = n（2 ^ {n-1}）、} a = b = 1での値二項定理のaに関する導関数∑ i = 0 n（ni）i + 1 = 2 n + 1 − 1 n + 1、{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac { n \ choice i} {i + 1}} = {\ frac {2 ^ {n + 1} -1} {n + 1}}、}のaに関するアンチデリバティブのa = b = 1での値二項定理

を含む順列番号編集

次の合計では、n P k {\ displaystyle {} _ {n} P_ {k}}はnのk順列の数です。

∑ i = 0 ni P k（ni）= n P k（2 n − k）{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {} _ {i} P_ {k} {n \ choice i} = {} _ {n} P_ {k}（2 ^ {nk}）} ∑ i = 1 ni + k P k + 1 = ∑ i = 1 n ∏ j = 0 k（i + j）=（n + k + 1） ！！ （n − 1）！ （k + 2）{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {} _ {i + k} P_ {k + 1} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ prod _ {j = 0} ^ {k}（i + j）= {\ frac {（n + k + 1）！} {（n-1）！（k + 2）}}} ∑ i = 0 ni！ ⋅（n i）= ∑ i = 0 n n P i =⌊n！ ⋅e⌋、n∈Z+ {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i！\ cdot {n \ choice i} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {} _ { n} P_ {i} = \ lfloor n！\ cdot e \ rfloor、\ quad n \ in \ mathbb {Z} ^ {+}}、ここで、⌊x⌋{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}は床を示します関数。

その他編集

∑ k = 0 m（n + kn）=（n + m + 1 n + 1）{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {m} \ left（{\ begin {array} {c} n + k \\ n \\\ end {array}} \ right）= \ left（{\ begin {array} {c} n + m + 1 \\ n + 1 \\\ end {array}} \ right）} ∑ i = kn（ik）=（n + 1 k + 1）{\ displaystyle \ sum _ {i = k} ^ {n} {i \ choice k} = {n + 1 \ choice k + 1}} ∑ i =0ni⋅i！ =（n + 1）！ − 1 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i \ cdot i！=（n + 1）！-1} ∑ i = 0 n（m + i − 1 i）=（m + nn ）{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {m + i-1 \ choice i} = {m + n \ choice n}} ∑ i = 0 n（ni）2 =（2 nn） {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ choice i} ^ {2} = {2n \ choice n}} ∑ i = 0 n 1 i！ =⌊n！ e⌋n！ {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {1} {i！}} = {\ frac {\ lfloor n！\; e \ rfloor} {n！}}}

調和数編集

∑ i = 1 n 1 i = H n {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i}} = H_ {n}}（つまりn番目の調和数）∑ i = 1 n 1 ik = H nk {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i ^ {k}}} = H_ {n} ^ {k}}（つまり、一般化された調和数）