PY（z）= ∑ i =0∞P（Y = i）zi =exp（∑ k =1∞αkλ（zk − 1））、（| z | ≤1）{\ displaystyle P_ {Y}（z）= \ sum \ limits _ {i = 0} ^ {\ infty} P（Y = i）z ^ {i} = \ exp \ left（\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda（z ^ {k} -1）\ right）、\ quad（| z | \ leq 1）} X〜DCP（λα1 、λαr、…）{\ displaystyle X \ sim {\ text {DCP}}（\ lambda {\ alpha _ {1}}、\ lambda {\ alpha _ {r}}、\ ldots）}
複合ポアソン分布のフェラーの特性は、非負の整数値rv X {\ displaystyle X}は、その分布が離散複合ポアソン分布である場合に限り、無限に分割可能であると述べています。負の二項分布は次のようになります。離散無限分割可能、つまり、Xが負の二項分布を持っている場合、任意の正の整数nに対して、合計がXと同じ分布を持つ離散iidランダム変数X1、…、Xnが存在します。シフト幾何分布は離散です。複合ポアソン分布si負の二項分布の些細なケースであるため。
この分布は、バッチ到着をモデル化できます（バルクキューなど）。離散複合ポアソン分布は、保険数理において、総請求額の分布をモデル化するためにも広く使用されています。
一部のαk{\ displaystyle \ alpha _ {k}}が負でない場合、次のようになります。離散疑似複合ポアソン分布。確率生成関数の特性を満足する離散ランダム変数Y {\ displaystyleY}を定義します
GY（z）= ∑ n =0∞P（Y = n）zn =exp（∑ k =1∞αk λ（zk − 1））、（| z |≤1）{\ displaystyle G_ {Y}（z）= \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} P（Y = n）z ^ { n} = \ exp \ left（\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda（z ^ {k} -1）\ right）、\ quad（| z | \ leq 1）}