基本定義編集
関数fは、他の変数によってインデックス付けされた1つの変数の関数ファミリーとして再解釈できます。
f（x、y ）= fy（x）= x 2 + xy + y2。 {\ displaystyle f（x、y）= f_ {y}（x）= x ^ {2} + xy + y ^ {2}。}
つまり、yのすべての値は、fyで表される関数を定義します。 、これは1つの変数xの関数です。つまり、
f y（x）= x 2 + x y + y2。 {\ displaystyle f_ {y}（x）= x ^ {2} + xy + y ^ {2}。}
このセクションでは、添え字表記fyは、固定値yを条件とする関数を示し、aではありません。偏導関数。
fa（x）= x 2 + ax + a2。 {\ displaystyle f_ {a}（x）= x ^ {2} + ax + a ^ {2}。}
この式では、aは定数であり、変数ではないため、faは1つだけの関数です。実変数、それはxです。したがって、1つの変数の関数の導関数の定義が適用されます。
f a ′（x）= 2 x + a。 {\ displaystyle f_ {a} “（x）= 2x + a。}
上記の手順は、aの任意の選択に対して実行できます。導関数を関数にまとめると、fの変化を表す関数が得られます。 x方向：
∂f∂x（x、y）= 2 x + y。{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}（x、y）= 2x + y。}
これはxに関するfの偏導関数です。ここで∂は偏導関数記号と呼ばれる丸められたdです。文字dと区別するために、∂は「部分的」と発音されることがあります。
一般に、点（a1、…、an）での方向xiのn項関数f（x1、…、xn）の偏導関数は、次のように定義されます。
∂f∂ xi（a 1、…、an）= limh→0f（a 1、…、ai + h、…、a）− f（a 1、…、ai、…、a）h。{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}}（a_ {1}、\ ldots、a_ {n}）= \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f（a_ {1}、 \ ldots、a_ {i} + h、\ ldots、a_ {n}）-f（a_ {1}、\ ldots、a_ {i}、\ dots、a_ {n}）} {h}}。}
上記の微分指数では、xを除くすべての変数私は固定されています。その固定値の選択により、1つの変数の関数が決まります
fa 1、…、ai − 1、ai + 1、…、an（xi）= f（a 1、…、ai − 1、xi、ai + 1、…、a）、{\ displaystyle f_ {a_ {1}、\ ldots、a_ {i-1}、a_ {i + 1}、\ ldots、a_ {n}}（x_ {i}）= f （a_ {1}、\ ldots、a_ {i-1}、x_ {i}、a_ {i + 1}、\ ldots、a_ {n}）、}
そして定義上
dfa 1、…、ai − 1、ai + 1、…、andxi（ai）=∂f∂xi（a 1、…、a）。 {\ displaystyle {\ frac {df_ {a_ {1}、\ ldots、a_ {i-1}、a_ {i + 1}、\ ldots、a_ {n}}} {dx_ {i}}}（a_ { i}）= {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}}（a_ {1}、\ ldots、a_ {n}）。}
つまり、インデックスのさまざまな選択肢上記の例と同じように、1変数関数のファミリー。この式は、偏導関数の計算が1変数導関数の計算に還元されることも示しています。
∇f（a）=（∂f∂x1（a）、…、∂f∂xn（a）） 。 {\ displaystyle \ nabla f（a）= \ left（{\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}}（a）、\ ldots、{\ frac {\ partial f} {\ partial x_ { n}}}（a）\ right）。}
このベクトルは、aでのfの勾配と呼ばれます。 fが定義域内のすべての点で微分可能である場合、勾配は、点aをベクトル∇f（a）に導くベクトル値関数∇fです。その結果、勾配はベクトル場を生成します。
∇= i ^ + j ^ + k ^ {\ displaystyle \ nabla = \ left {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {k}}}}∇= ∑ j = 1 ne ^ j = e ^ 1 + e ^ 2 +…+ e ^ n {\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j} = \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ ldots + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}
正式な定義編集
∂∂xif（ a）= limh→0f（a 1、…、ai − 1、ai + h、ai + 1、…、a）− f（a 1、…、ai、…、a）h = limh→0 f（a + hei）− f（a）h {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} f（\ mathbf {a}）& = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f（a_ {1}、\ ldots、a_ {i-1}、a_ {i} + h、a_ {i + 1 }、\ ldots、a_ {n}）-f（a_ {1}、\ ldots、a_ {i}、\ dots、a_ {n}）} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f（\ mathbf {a} + he_ {i}）-f（\ mathbf {a}）} {h}} \ end {aligned}} }
すべての部分導関数∂f/∂xi（a）が特定の点aに存在する場合でも、機能はそこで連続している必要はありません。ただし、すべての偏導関数がaの近傍に存在し、そこで連続である場合、fはその近傍で完全に微分可能であり、全導関数は連続です。この場合、fはC1関数であると言われます。これは、成分ごとの引数を注意深く使用することにより、ベクトル値関数f：U→R m、{\ displaystyle f：U \ to \ mathbb {R} ^ {m}、}を一般化するために使用できます。
偏導関数∂f∂x{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}}は、Uで定義された別の関数と見なすことができ、再び部分的に区別することができます。すべての混合2次偏導関数が点（または集合）で連続である場合、fはその点（またはその集合）でC2関数と呼ばれます。この場合、偏導関数はクレローの定理によって交換できます。
∂2f∂xi∂xj=∂2f∂xj∂xi。{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {j} \ partial x_ {i}}}。}