Viscosità

In generale, la viscosità di un sistema dipende in dettaglio da come interagiscono le molecole che costituiscono il sistema. Non esistono espressioni semplici ma corrette per la viscosità di un fluido. Le espressioni esatte più semplici sono le relazioni Green-Kubo per la viscosità di taglio lineare o le espressioni della funzione di correlazione temporale transitoria derivate da Evans e Morriss nel 1988. Sebbene queste espressioni siano esatte, calcolare la viscosità di un fluido denso utilizzando queste relazioni attualmente richiede uso di simulazioni al computer di dinamica molecolare. Daltra parte, si possono fare molti più progressi per un gas diluito. Anche ipotesi elementari su come le molecole di gas si muovono e interagiscono portano a una comprensione di base delle origini molecolari della viscosità. Trattamenti più sofisticati possono essere costruiti sistematicamente a grana grossa delle equazioni del moto delle molecole di gas. Un esempio di tale trattamento è la teoria di Chapman – Enskog, che ricava le espressioni per la viscosità di un gas diluito dallequazione di Boltzmann.

Il trasporto del momento nei gas è generalmente mediato da collisioni molecolari discrete e nei liquidi da forze attrattive che legano le molecole vicine. Per questo motivo, le viscosità dinamiche dei liquidi sono tipicamente molto più grandi di quelle dei gas.

Gas puriEdit

Viscosità in i gas derivano principalmente dalla diffusione molecolare che trasporta la quantità di moto tra gli strati di flusso. Un calcolo elementare per un gas diluito a temperatura T {\ displaystyle T} e densità ρ {\ displaystyle \ rho} fornisce

μ = α ρ λ 2 k BT π m, {\ displaystyle \ mu = \ alpha \ rho \ lambda {\ sqrt {\ frac {2k _ {\ text {B}} T} {\ pi m}}},}

dove k B {\ displaystyle k _ {\ text {B}}} è la costante di Boltzmann , m {\ displaystyle m} la massa molecolare e α {\ displaystyle \ alpha} una costante numerica nellordine di 1 {\ displaystyle 1}. La quantità λ {\ displaystyle \ lambda}, il percorso libero medio, misura la distanza media percorsa da una molecola tra le collisioni. Anche senza la conoscenza a priori di α {\ displaystyle \ alpha}, questa espressione ha implicazioni interessanti. In particolare, poiché λ {\ displaystyle \ lambda} è tipicamente inversamente proporzionale alla densità e aumenta con la temperatura, μ {\ displaystyle \ mu} stesso dovrebbe aumentare con la temperatura ed essere indipendente dalla densità a temperatura fissa. In effetti, entrambe queste previsioni persistono in trattamenti più sofisticati e descrivono accuratamente le osservazioni sperimentali. Nota che questo comportamento va contro la comune intuizione riguardo ai liquidi, per i quali la viscosità tipicamente diminuisce con la temperatura.

Per sfere elastiche rigide di diametro σ {\ displaystyle \ sigma}, λ {\ displaystyle \ lambda} può essere calcolato, dando

μ = α π 3/2 k B m T σ 2. {\ displaystyle \ mu = {\ frac {\ alpha} {\ pi ^ {3/2}}} {\ frac {\ sqrt {k _ {\ text {B}} mT}} {\ sigma ^ {2}} }.}

In questo caso λ {\ displaystyle \ lambda} è indipendente dalla temperatura, quindi μ ∝ T 1/2 {\ displaystyle \ mu \ propto T ^ {1/2}}. Per modelli molecolari più complicati, tuttavia, λ {\ displaystyle \ lambda} dipende dalla temperatura in un modo non banale, e semplici argomenti cinetici usati qui sono inadeguati. Più fondamentalmente, la nozione di un percorso libero medio diventa imprecisa per le particelle che interagiscono su un intervallo finito, il che limita lutilità del concetto per descrivere i gas del mondo reale.

Teoria di Chapman – EnskogModifica

Una tecnica sviluppata da Sydney Chapman e David Enskog allinizio del 1900 consente un calcolo più raffinato di μ {\ displaystyle \ mu}. Si basa sullequazione di Boltzmann, che fornisce una descrizione statistica sistematica di un gas diluito in termini di interazioni intermolecolari. In quanto tale, la loro tecnica consente un calcolo accurato di μ {\ displaystyle \ mu} per modelli molecolari più realistici, come quelli che incorporano attrazione intermolecolare piuttosto che solo repulsione hard-core.

Si scopre che un più realistico la modellazione delle interazioni è essenziale per una previsione accurata della dipendenza dalla temperatura di μ {\ displaystyle \ mu}, che secondo gli esperimenti aumenta più rapidamente rispetto alla tendenza T 1/2 {\ displaystyle T ^ {1/2}} prevista per le sfere elastiche rigide . Infatti, lanalisi di Chapman – Enskog mostra che la dipendenza dalla temperatura prevista può essere regolata variando i parametri in vari modelli molecolari. Un semplice esempio è il modello Sutherland, che descrive sfere elastiche rigide con debole attrazione reciproca.In tal caso, la forza di attrazione può essere trattata in modo perturbativo, il che porta a unespressione particolarmente semplice per μ {\ displaystyle \ mu}:

μ = 5 16 σ 2 (k B m T π) 1/2 ( 1 + ST) – 1, {\ displaystyle \ mu = {\ frac {5} {16 \ sigma ^ {2}}} \ left ({\ frac {k _ {\ text {B}} mT} {\ pi} } \ right) ^ {1/2} \ left (1 + {\ frac {S} {T}} \ right) ^ {- 1},}

dove S {\ displaystyle S} è indipendente dalla temperatura, essendo determinato solo dai parametri dellattrazione intermolecolare. Per connettersi con lesperimento, è conveniente riscrivere come

μ = μ 0 (TT 0) 3/2 T 0 + ST + S, {\ displaystyle \ mu = \ mu _ {0} \ left ({\ frac {T} {T_ {0}}} \ right) ^ {3/2} {\ frac {T_ {0} + S} {T + S}},}

dove μ 0 {\ displaystyle \ mu _ {0}} è la viscosità alla temperatura T 0 {\ displaystyle T_ {0}}. Se μ {\ displaystyle \ mu} è noto dagli esperimenti a T = T 0 {\ displaystyle T = T_ {0}} e almeno unaltra temperatura, è possibile calcolare S {\ displaystyle S}. Risulta che le espressioni per μ {\ displaystyle \ mu} ottenute in questo modo sono accurate per un numero di gas in un intervallo di temperature considerevole. Daltra parte, Chapman & Cowling 1970 sostiene che questo successo non implica che le molecole interagiscano effettivamente secondo il modello di Sutherland. Piuttosto, interpretano la previsione per μ {\ displaystyle \ mu} come una semplice interpolazione che è valida per alcuni gas su intervalli di temperatura fissi, ma per il resto non fornisce un quadro delle interazioni intermolecolari che è fondamentalmente corretto e generale. Modelli leggermente più sofisticati, come il potenziale di Lennard-Jones, possono fornire unimmagine migliore, ma solo a costo di una dipendenza più opaca dalla temperatura. In alcuni sistemi deve essere abbandonata anche lipotesi di simmetria sferica, come nel caso dei vapori con molecole altamente polari come H2O.

Bulk viscosityEdit

Nel quadro cinetico-molecolare, una viscosità bulk diversa da zero si verifica nei gas ogni volta che ci sono tempi di rilassamento non trascurabili che governano lo scambio di energia tra lenergia traslazionale delle molecole e la loro energia interna, ad es. rotazionale e vibrazionale. In quanto tale, la viscosità di massa è 0 {\ displaystyle 0} per un gas ideale monoatomico, in cui lenergia interna delle molecole è trascurabile, ma è diversa da zero per un gas come lanidride carbonica, le cui molecole possiedono energia sia rotazionale che vibrazionale.

Liquidi puriEdit

A differenza dei gas, non esiste un quadro semplice ma accurato dellorigine molecolare della viscosità nei liquidi.

Al livello più semplice di descrizione, il movimento relativo degli strati adiacenti in un liquido è contrastato principalmente da forze molecolari attraenti che agiscono attraverso lo strato di rimbalzo dary. In questa immagine, ci si aspetta (correttamente) che la viscosità diminuisca con laumentare della temperatura. Questo perché laumento della temperatura aumenta il movimento termico casuale delle molecole, il che rende più facile per loro superare le loro interazioni attraenti.

Basandosi su questa visualizzazione, una semplice teoria può essere costruita in analogia con la struttura discreta di un solido: i gruppi di molecole in un liquido sono visualizzati come formare “gabbie” che circondano e racchiudono singole molecole. Queste gabbie possono essere occupate o non occupate e unattrazione molecolare più forte corrisponde a gabbie più forti. A causa del movimento termico casuale, una molecola “salta” tra le gabbie ad una velocità che varia inversamente alla forza delle attrazioni molecolari. In equilibrio questi “salti” non sono influenzati in nessuna direzione. Daltra parte, affinché due strati adiacenti si muovano luno rispetto allaltro, il “luppolo” deve essere influenzato nella direzione del movimento relativo. La forza richiesta per sostenere questo movimento diretto può essere stimata per una data velocità di taglio, portando a

dove NA {\ displaystyle N_ {A}} è la costante di Avogadro, h {\ displaystyle h} è la costante di Planck, V {\ displaystyle V} è il volume di una mole di liquido e T b {\ displaystyle T_ {b}} è il normale punto di ebollizione. Questo risultato ha la stessa forma della relazione empirica diffusa e accurata

dove A {\ displaystyle A} e B {\ displaystyle B } sono costanti adattate dai dati. Daltra parte, diversi autori esprimono cautela rispetto a questo modello: si possono riscontrare errori fino al 30% utilizzando lequazione (1), rispetto allequazione di adattamento (2) ai dati sperimentali. Fondamentalmente, le ipotesi fisiche alla base dellequazione (1) sono state criticate. È stato anche affermato che la dipendenza esponenziale nellequazione (1) non descrive necessariamente le osservazioni sperimentali in modo più accurato rispetto alle espressioni più semplici e non esponenziali.

Alla luce di queste carenze, lo sviluppo di un il modello è una questione di interesse pratico: previa semplicità a favore della precisione, è possibile scrivere espressioni rigorose per la viscosità a partire dalle equazioni fondamentali del moto delle molecole. Un classico esempio di questo approccio è la teoria di Irving-Kirkwood. Daltra parte, tali espressioni sono date come medie su funzioni di correlazione multiparticella e sono quindi difficili da applicare nella pratica.

In generale, le espressioni derivate empiricamente (basate su misurazioni di viscosità esistenti) sembrano essere le uniche coerentemente affidabili mezzi per calcolare la viscosità nei liquidi.

Miscele e misceleEdit

Miscele gassoseModifica

Lo stesso molecolare -Il quadro cinetico di un gas monocomponente può essere applicato anche a una miscela gassosa. Ad esempio, nellapproccio di Chapman – Enskog la viscosità μ mix {\ displaystyle \ mu _ {\ text {mix}}} di una miscela binaria di gas può essere scritta in termini di viscosità dei singoli componenti μ 1, 2 {\ displaystyle \ mu _ {1,2}}, le rispettive frazioni di volume e le interazioni intermolecolari. Per quanto riguarda il gas monocomponente, la dipendenza di μ mix {\ displaystyle \ mu _ {\ text {mix}}} dai parametri delle interazioni intermolecolari entra attraverso vari integrali collisionali che possono non essere esprimibili in termini di funzioni elementari. Per ottenere espressioni utilizzabili per μ mix {\ displaystyle \ mu _ {\ text {mix}}} che corrispondono ragionevolmente ai dati sperimentali, gli integrali collisionali in genere devono essere valutati utilizzando una combinazione di calcolo analitico e adattamento empirico. Un esempio di tale procedura è lapproccio di Sutherland per il gas monocomponente, discusso sopra.

Miscele di liquidiModifica

Per quanto riguarda i liquidi puri, la viscosità di una miscela di liquidi è difficile da prevedere dai principi molecolari. Un metodo consiste nellestendere la teoria della “gabbia” molecolare presentata sopra per un liquido puro. Questo può essere fatto con diversi livelli di sofisticazione. Unutile espressione risultante da tale analisi è lequazione di Lederer – Roegiers per una miscela binaria:

ln ⁡ μ miscela = x 1 x 1 + α x 2 ln ⁡ μ 1 + α x 2 x 1 + α x 2 ln ⁡ μ 2, {\ displaystyle \ ln \ mu _ {\ text {blend}} = {\ frac {x_ {1}} {x_ {1} + \ alpha x_ {2}}} \ ln \ mu _ { 1} + {\ frac {\ alpha x_ {2}} {x_ {1} + \ alpha x_ {2}}} \ ln \ mu _ {2},}

Poiché la miscelazione è un processo importante nella lubrificazione e le industrie petrolifere, esistono una varietà di equazioni empiriche e di proprietà per prevedere la viscosità di una miscela, oltre a quelle derivanti direttamente dalla teoria molecolare.

Soluzioni e sospensioniModifica

Soluzioni acquoseModifica

A seconda del soluto e lintervallo di concentrazione, una soluzione elettrolitica acquosa può avere una viscosità maggiore o minore rispetto allacqua pura alla stessa temperatura e pressione. Ad esempio, una soluzione salina al 20% (cloruro di sodio) ha una viscosità superiore a 1,5 volte quella dellacqua pura, mentre una soluzione di ioduro di potassio al 20% ha una viscosità circa 0,91 volte quella dellacqua pura.

Un modello idealizzato di soluzioni elettrolitiche diluite portano alla seguente previsione per la viscosità μ s {\ displaystyle \ mu _ {s}} di una soluzione:

μ s μ 0 = 1 + A c, {\ displaystyle {\ frac {\ mu _ {s}} {\ mu _ {0}}} = 1 + A {\ sqrt {c}},}

dove μ 0 {\ displaystyle \ mu _ {0}} è la viscosità del solvente, c {\ displaystyle c} è la concentrazione e A {\ displaystyle A} è una costante positiva che dipende dalle proprietà del solvente e del soluto. Tuttavia, questa espressione è valida solo per soluzioni molto diluite, con c {\ displaystyle c} inferiore a 0,1 mol / L. Per concentrazioni più elevate, sono necessari termini aggiuntivi che tengono conto di correlazioni molecolari di ordine superiore:

μ s μ 0 = 1 + A c + B c + C c 2, {\ displaystyle {\ frac {\ mu _ {s }} {\ mu _ {0}}} = 1 + A {\ sqrt {c}} + Bc + Cc ^ {2},}

dove B {\ displaystyle B} e C {\ displaystyle C} sono adattarsi dai dati. In particolare, un valore negativo di B {\ displaystyle B} è in grado di spiegare la diminuzione della viscosità osservata in alcune soluzioni. Di seguito sono riportati i valori stimati di queste costanti per cloruro di sodio e ioduro di potassio a temperatura di 25 ° C (mol = mole, L = litro).

Sospensioni Modifica

In sospensione di particelle solide (es. sfere di dimensioni micron sospese in olio), una viscosità effettiva μ eff {\ displaystyle \ mu _ {\ text {eff}}} può essere definita in termini di componenti di sollecitazione e deformazione che sono mediati su un volume grande rispetto distanza tra le particelle sospese, ma piccola rispetto alle dimensioni macroscopiche. Tali sospensioni mostrano generalmente un comportamento non newtoniano. Tuttavia, per i sistemi diluiti in flussi stabili, il comportamento è newtoniano e le espressioni per μ eff {\ displaystyle \ mu _ {\ text {eff}}} possono essere derivate direttamente dalla dinamica delle particelle. In un sistema molto diluito, con frazione di volume ϕ ≲ 0,02 {\ displaystyle \ phi \ lesssim 0,02}, le interazioni tra le particelle sospese possono essere ignorate. In tal caso si può calcolare in modo esplicito il campo di flusso attorno a ciascuna particella in modo indipendente e combinare i risultati per ottenere μ eff {\ displaystyle \ mu _ {\ text {eff}}}. Per le sfere, si ottiene lequazione di Einstein:

μ eff = μ 0 (1 + 5 2 ϕ), {\ displaystyle \ mu _ {\ text {eff}} = \ mu _ {0} \ left ( 1 + {\ frac {5} {2}} \ phi \ right),}

dove μ 0 {\ displaystyle \ mu _ {0}} è la viscosità del liquido di sospensione. La dipendenza lineare da ϕ {\ displaystyle \ phi} è una diretta conseguenza del trascurare le interazioni tra le particelle; in generale, uno avrà

μ eff = μ 0 (1 + B ϕ), {\ displaystyle \ mu _ {\ text {eff}} = \ mu _ {0} \ left (1 + B \ phi \ right),}

dove il coefficiente B {\ displaystyle B} può dipendere dalla forma delle particelle (ad es. sfere, bacchette, dischi). La determinazione sperimentale del valore preciso di B {\ displaystyle B} è tuttavia difficile: anche la previsione B = 5/2 {\ displaystyle B = 5/2} per le sfere non è stata validata in modo definitivo, con vari esperimenti che hanno trovato valori nel intervallo 1,5 ≲ B ≲ 5 {\ displaystyle 1.5 \ lesssim B \ lesssim 5}. Questa carenza è stata attribuita alla difficoltà nel controllare le condizioni sperimentali.

μ eff = μ 0 (1 + B ϕ + B 1 ϕ 2), {\ displaystyle \ mu _ {\ text {eff}} = \ mu _ {0} \ left (1 + B \ phi + B_ {1} \ phi ^ {2} \ right),}

e il coefficiente B 1 {\ displaystyle B_ {1}} è adatto da dati sperimentali o approssimato dalla teoria microscopica. In generale, tuttavia, si dovrebbe essere cauti nellapplicare formule così semplici poiché il comportamento non newtoniano appare in sospensioni dense (ϕ ≳ 0.25 {\ displaystyle \ phi \ gtrsim 0.25} per le sfere), o in sospensioni di particelle allungate o flessibili.

Esiste una distinzione tra una sospensione di particelle solide, descritta sopra, e unemulsione. Questultimo è una sospensione di minuscole goccioline, che a loro volta possono mostrare circolazione interna. La presenza di circolazione interna può ridurre notevolmente la viscosità effettiva osservata e devono essere utilizzati diversi modelli teorici o semi-empirici.

Materiali amorfiModifica

μ = A e Q / (RT), {\ displaystyle \ mu = Ae ^ {Q / (RT)},}

dove Q è unenergia di attivazione rilevante, data in termini di parametri molecolari; T è la temperatura; R è la costante molare dei gas; e A è approssimativamente una costante.Lenergia di attivazione Q assume un valore diverso a seconda che si consideri il limite di alta o bassa temperatura: passa da un valore alto QH alle basse temperature (allo stato vetroso) ad un valore basso QL alle alte temperature (allo stato liquido ).

Per le temperature intermedie, Q {\ displaystyle Q} varia in modo non banale con la temperatura e la semplice forma di Arrhenius fallisce. Daltra parte, lequazione a due esponenziali

μ = AT exp ⁡ (BRT), {\ displaystyle \ mu = AT \ exp \ left ({\ frac {B} {RT}} \ right) \ left ,}

dove A {\ displaystyle A}, B {\ displaystyle B}, C {\ displaystyle C}, D {\ displaystyle D} sono tutte costanti, fornisce un buon adattamento ai dati sperimentali sullintero intervallo di temperature , riducendo allo stesso tempo alla corretta forma di Arrhenius nei limiti di bassa e alta temperatura. Oltre ad essere un comodo adattamento ai dati, lespressione può anche essere derivata da vari modelli teorici di materiali amorfi a livello atomico.

Unequazione a due esponenziali per la viscosità può essere derivata allinterno del modello di spinta di Dyre di liquidi super raffreddati, dove la barriera energetica di Arrhenius è identificata con il modulo di taglio ad alta frequenza moltiplicato per un volume di spinta caratteristico. Dopo aver specificato la dipendenza dalla temperatura del modulo di taglio tramite espansione termica e tramite la parte repulsiva del potenziale intermolecolare, viene recuperata unaltra equazione a due esponenziali:

μ = exp ⁡ {V c CG k BT exp ⁡} {\ displaystyle \ mu = \ exp {\ left \ {{\ frac {V_ {c} C_ {G}} {k_ {B} T}} \ exp {\ left} \ right \}}}

dove CG {\ displaystyle C_ {G}} indica il modulo di taglio ad alta frequenza del materiale valutato a una temperatura uguale alla temperatura di transizione vetrosa T g {\ displaystyle T_ {g}}, V c {\ displaystyle V_ {c}} è -chiamato volume di spinta, cioè è il volume caratteristico del gruppo di atomi coinvolti nellevento di spinta mediante il quale un atomo / molecola fuoriesce dalla gabbia dei vicini più prossimi, tipicamente dellordine del volume occupato da pochi atomi. Inoltre, α T {\ displaystyle \ alpha _ {T}} è il coefficiente di dilatazione termica del materiale, λ {\ displaystyle \ lambda} è un parametro che misura la pendenza della salita della legge di potenza del fianco ascendente del primo picco della funzione di distribuzione radiale, ed è quantitativamente correlato alla parte repulsiva del potenziale interatomico. Infine, k B {\ displaystyle k_ {B}} denota la costante di Boltzmann.

Eddy viscosityEdit

Nello studio della turbolenza nei fluidi, una strategia pratica comune è ignorare il piccolo -scalare vortici (o vortici) nel moto e calcolare un movimento su larga scala con una viscosità effettiva, chiamata “viscosità parassita”, che caratterizza il trasporto e la dissipazione di energia nel flusso su scala minore (vedi simulazione di grande vortice) . A differenza della viscosità del fluido stesso, che deve essere positiva secondo la seconda legge della termodinamica, la viscosità parassita può essere negativa.