Processo adiabatico (Italiano)

Lequazione matematica per un gas ideale che subisce un reversibile (cioè, no generazione di entropia) il processo adiabatico può essere rappresentato dallequazione del processo politropico

PV γ = costante, {\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}},}

dove P è pressione, V è il volume, e in questo caso n = γ, dove

γ = CPCV = f + 2 f, {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {f + 2} {f}},}

CP è il calore specifico per pressione costante, CV è il calore specifico per volume costante, γ è lindice adiabatico e f è il numero di gradi di libertà (3 per gas monoatomico, 5 per gas biatomico e molecole collineari, ad esempio anidride carbonica).

Per un gas ideale monoatomico, γ = 5/3, e per un gas biatomico (come lazoto e lossigeno, i principali componenti dellaria), γ = 7/5. Si noti che la formula sopra è applicabile solo ai gas ideali classici e non ai gas di Bose – Einstein o Fermi.

Per i processi adiabatici reversibili, è anche vero che

P 1 – γ T γ = costante , {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {\ text {costante}},} VT f 2 = costante, {\ displaystyle VT ^ {\ frac {f} {2}} = {\ text {constant}},}

dove T è una temperatura assoluta. Questo può anche essere scritto come

T V γ – 1 = costante. {\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = {\ text {constant}}.}

Esempio di compressione adiabaticaModifica

La corsa di compressione in un motore a benzina può essere usata come esempio di adiabatica compressione. Le ipotesi del modello sono: il volume non compresso del cilindro è un litro (1 L = 1000 cm3 = 0,001 m3); il gas allinterno è laria costituita solo da azoto molecolare e ossigeno (quindi un gas biatomico con 5 gradi di libertà, e quindi γ = 7/5); il rapporto di compressione del motore è 10: 1 (ovvero, il volume di 1 L di gas non compresso viene ridotto a 0,1 L dal pistone); e il gas non compresso si trova approssimativamente a temperatura e pressione ambiente (una temperatura ambiente calda di ~ 27 ° C, o 300 K, e una pressione di 1 bar = 100 kPa, ovvero la tipica pressione atmosferica a livello del mare).

P 1 V γ = costante 1 = 100.000 Pa × (0,001 m 3) 7 5 {\ displaystyle P_ {1} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {costante} _ {1} = 100 \, 000 ~ {\ text {Pa}} \ times (0,001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}} = 10 5 × 6,31 × 10 – 5 Pa m 21/5 = 6,31 Pa m 21/5, {\ displaystyle = 10 ^ {5} \ times 6.31 \ times 10 ^ {- 5} ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5},}

quindi la nostra costante adiabatica per questo esempio è di circa 6,31 Pa m4.2.

Il gas è ora compresso a un volume di 0,1 L (0,0001 m3) (supporremo che ciò avvenga abbastanza rapidamente da non consentire al calore di entrare o uscire dal gas attraverso le pareti). La costante adiabatica rimane la stessa, ma con la pressione risultante sconosciuta

P 2 V γ = costante 1 = 6,31 Pa m 21/5 = P × (0,0001 m 3) 7 5, {\ displaystyle P_ {2} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {costante} _ {1} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = P \ times (0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}},}

quindi risolvendo per P2:

P 2 = 6,31 Pa m 21/5 (0,0001 m 3) 7 5 = 6,31 Pa m 21/5 2,5 × 10 – 6 m 21/5 = 2,51 × 10 6 Pa, {\ displaystyle P_ {2} = {\ frac {6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text { m}} ^ {21/5}} {(0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}}} = {\ frac {6.31 ~ {\ text { Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5}} {2,5 \ times 10 ^ {- 6} ~ {\ text {m}} ^ {21/5}}} = 2,51 \ times 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}},}

o 25,1 bar. Notare che questo aumento di pressione è più di quanto un semplice rapporto di compressione 10: 1 indicherebbe; questo perché il gas non viene solo compresso, ma il lavoro svolto per comprimere il gas ne aumenta anche lenergia interna, che si manifesta con un innalzamento della temperatura del gas e un ulteriore aumento della pressione superiore a quanto risulterebbe da un semplicistico calcolo di 10 volte la pressione originale.

Possiamo anche calcolare la temperatura del gas compresso nel cilindro del motore, utilizzando la legge dei gas ideali, PV = nRT (n è la quantità di gas in moli e R il gas costante per quel gas). Le nostre condizioni iniziali sono 100 kPa di pressione, 1 L di volume e 300 K di temperatura, la nostra costante sperimentale (nR) è:

PVT = costante 2 = 10 5 Pa × 10 – 3 m 3300 K = 0,333 Pa m 3 K – 1. {\ displaystyle {\ frac {PV} {T}} = \ operatorname {constant} _ {2} = {\ frac {10 ^ {5} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 3} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {300 ~ {\ text {K}}}} = 0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1}.}

Sappiamo che il gas compresso ha V = 0,1 L e P = 2,51 × 106 Pa, quindi possiamo calcolare la temperatura:

T = costante PV 2 = 2,51 × 10 6 Pa × 10 – 4 m 3 0,333 Pa m 3 K – 1 = 753 K. {\ displaystyle T = {\ frac {PV} {\ operatorname {constant} _ {2}}} = {\ frac {2.51 \ times 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 4} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {0.333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1} }} = 753 ~ {\ text {K}}.}

Questa è una temperatura finale di 753 K, o 479 ° C, o 896 ° F, ben al di sopra del punto di accensione di molti combustibili. Questo è il motivo per cui un motore ad alta compressione richiede carburanti appositamente formulati per non autoaccendersi (che causerebbero colpi al motore se azionati in queste condizioni di temperatura e pressione), o che un compressore con un intercooler per fornire un aumento di pressione ma un aumento della temperatura sarebbe vantaggioso. Un motore diesel funziona in condizioni ancora più estreme, con rapporti di compressione di 16: 1 o più tipici, al fine di fornire una temperatura del gas molto elevata, che garantisce laccensione immediata del carburante iniettato.

Adiabatic free espansione di un gasModifica

Per unespansione libera adiabatica di un gas ideale, il gas è contenuto in un contenitore isolato e quindi lasciato espandersi sotto vuoto. Poiché non esiste una pressione esterna contro la quale il gas si espande, il lavoro svolto da o sul sistema è zero. Poiché questo processo non comporta alcun trasferimento di calore o lavoro, la prima legge della termodinamica implica quindi che la variazione netta di energia interna del sistema sia zero. Per un gas ideale, la temperatura rimane costante perché lenergia interna dipende solo dalla temperatura in quel caso. Poiché a temperatura costante, lentropia è proporzionale al volume, lentropia aumenta in questo caso, quindi questo processo è irreversibile.

Derivazione della relazione P – V per riscaldamento e raffreddamento adiabatico Modifica

La definizione di un processo adiabatico è che il trasferimento di calore al sistema è zero, δQ = 0. Quindi, secondo la prima legge della termodinamica,

(1) d U + δ W = δ Q = 0, { \ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad dU + \ delta W = \ delta Q = 0,}

dove dU è il cambiamento nellenergia interna del sistema e δW è il lavoro svolto dal sistema. Qualsiasi lavoro (δW) deve essere svolto a scapito dellenergia interna U, poiché non viene fornito calore δQ dallambiente circostante. Il lavoro pressione-volume δW svolto dal sistema è definito come

(2) δ W = P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad \ delta W = P \, dV.}

Tuttavia, P non rimane costante durante un processo adiabatico ma cambia invece insieme a V.

Si desidera sapere come i valori di dP e dV si relazionano tra loro man mano che il processo adiabatico procede. Per un gas ideale (ricorda la legge dei gas ideali PV = nRT) lenergia interna è data da

(3) U = α n RT = α PV, {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad U = \ alpha nRT = \ alpha PV,}

dove α è il numero di gradi di libertà diviso due, R è la costante universale dei gas en è il numero di moli nel sistema (una costante).

Differenziando lequazione (3) si ottiene

(4) d U = α n R d T = α d (PV) = α (P d V + V d P). {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad dU = \ alpha nR \, dT = \ alpha \, d (PV) = \ alpha (P \, dV + V \, dP).}

Lequazione (4) è spesso espressa come dU = nCV dT perché CV = αR.

Ora sostituisci le equazioni (2) e (4) nellequazione (1) per ottenere

– P d V = α P d V + α V d P, {\ displaystyle -P \, dV = \ alpha P \, dV + \ alpha V \, dP,}

fattorizza −P dV:

– (α + 1 ) P d V = α V d P, {\ displaystyle – (\ alpha +1) P \, dV = \ alpha V \, dP,}

e dividi entrambi i lati per PV:

– (α + 1) d VV = α d PP. {\ displaystyle – (\ alpha +1) {\ frac {dV} {V}} = \ alpha {\ frac {dP} {P}}.}

Dopo aver integrato i lati sinistro e destro da V0 a V e da P0 a P e cambiando i lati rispettivamente,

ln ⁡ (PP 0) = – α + 1 α ln ⁡ (VV 0). {\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = – {\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ ln \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ right).}

Esponenziale su entrambi i lati, sostituisci α + 1 / α con γ, il rapporto di capacità termica

(PP 0) = (VV 0) – γ, { \ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V} {V_ {0}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

ed eliminare il segno negativo per ottenere

(PP 0) = (V 0 V) γ. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V_ {0}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Pertanto,

(PP 0) (VV 0) γ = 1, {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ right) ^ {\ gamma} = 1,}

e

P 0 V 0 γ = PV γ = costante. {\ displaystyle P_ {0} V_ {0} ^ {\ gamma} = PV ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}

Derivazione della relazione P – T per riscaldamento e raffreddamento adiabaticoModifica

Sostituendo la legge dei gas ideali con la precedente, otteniamo

P (n RTP) γ = costante, {\ displaystyle P \ left ({\ frac {nRT} {P}} \ right) ^ {\ gamma } = \ operatorname {constant},}

che semplifica in

P 1 – γ T γ = costante. {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}

Derivazione di formule discrete ed espressioni di lavoroEdit

La variazione dellenergia interna di un sistema , misurato dallo stato 1 allo stato 2, è uguale a

(1) Δ U = α R n T 2 – α R n T 1 = α R n Δ T. {\ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad \ Delta U = \ alpha RnT_ {2} – \ alpha RnT_ {1} = \ alpha Rn \ Delta T.}

Allo stesso tempo, il lavoro svolto dalla pressione-volume cambia come risultato di questo processo, è uguale a

(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P \, dV.}

Poiché richiediamo che il processo sia adiabatico, la seguente equazione deve essere vera

(3) Δ U + W = 0. {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad \ Delta U + W = 0.}

Dalla precedente derivazione,

(4) PV γ = costante = P 1 V 1 γ. {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}} = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma}.}

Riorganizzare (4 ) dà

P = P 1 (V 1 V) γ. {\ displaystyle P = P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Sostituendo questo in (2) si ottiene

W = ∫ V 1 V 2 P 1 (V 1 V) γ d V. {\ displaystyle W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma} \ , dV.}

Integrando otteniamo lespressione per lavoro,

W = P 1 V 1 γ V 2 1 – γ – V 1 1 – γ 1 – γ = P 2 V 2 – P 1 V 1 1 – γ. {\ displaystyle W = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} {\ frac {V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma}} = {\ frac {P_ {2} V_ {2} -P_ {1} V_ {1}} {1- \ gamma}}.}

Sostituendo γ = α + 1 / α nel secondo termine,

W = – α P 1 V 1 γ (V 2 1 – γ – V 1 1 – γ). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} \ sinistra (V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma} \ destra) .}

Riorganizzazione,

W = – α P 1 V 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right).}

Utilizzando la legge dei gas ideali e assumendo una quantità molare costante (come spesso accade nei casi pratici),

W = – α n RT 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right). }

Con la formula continua,

P 2 P 1 = (V 2 V 1) – γ, {\ displaystyle {\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} = \ left ( {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

o

(P 2 P 1) – 1 γ = V 2 V 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}}.}

Sostituendo W nellespressione precedente,

W = – α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ Displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma }} – 1 \ right).}

Sostituendo questa espressione e (1) in (3) si ottiene

α n R (T 2 – T 1) = α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ Displaystyle \ alpha nR (T_ {2} -T_ {1}) = \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ right).}

Semplificando,

T 2 – T 1 = T 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1), {\ displaystyle T_ {2} -T_ {1} = T_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac { \ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ right),} T 2 T 1 – 1 = (P 2 P 1) γ – 1 γ – 1, {\ displaystyle {\ frac {T_ {2}} { T_ {1}}} – 1 = \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1,} T 2 = T 1 (P 2 P 1) γ – 1 γ. {\ displaystyle T_ {2} = T_ {1} \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}. }