P contro NPEdit
La domanda è se, per tutti i problemi per i quali un lalgoritmo può verificare rapidamente una data soluzione (cioè, in tempo polinomiale), un algoritmo può anche trovare quella soluzione rapidamente. Poiché il primo descrive la classe di problemi denominata NP, mentre il secondo descrive P, la domanda equivale a chiedere se tutti i problemi in NP siano anche in P. Questa è generalmente considerata una delle domande aperte più importanti in matematica e informatica teorica poiché ha conseguenze di vasta portata su altri problemi in matematica e in biologia, filosofia e crittografia (vedere P contro conseguenze della prova del problema NP). Un esempio comune di un problema NP non noto per essere in P è il problema di soddisfacibilità booleano.
La maggior parte dei matematici e informatici si aspetta che P ≠ NP; tuttavia, rimane non dimostrato.
Laffermazione ufficiale del problema è stata data da Stephen Cook.
Congettura di Hodge Modifica
La congettura di Hodge è che per le varietà algebriche proiettive, i cicli di Hodge sono combinazioni lineari razionali di cicli algebrici.
Laffermazione ufficiale del problema è stata data da Pierre Deligne.
Riemann hypothesisEdit
Lipotesi di Riemann è che tutti gli zeri non banali della continuazione analitica della funzione zeta di Riemann abbiano una parte reale di 1/2. Una prova o una confutazione di ciò avrebbe implicazioni di vasta portata nella teoria dei numeri, specialmente per la distribuzione dei numeri primi. Questo era lottavo problema di Hilbert, ed è ancora considerato un importante problema aperto un secolo dopo.
La dichiarazione ufficiale del problema fu data da Enrico Bombieri.
Esistenza di Yang – Mills e divario di massa Modifica
In fisica, la teoria classica di Yang-Mills è una generalizzazione della teoria di Maxwell dellelettromagnetismo in cui il campo cromo-elettromagnetico esso stesso trasporta la carica. Come teoria classica dei campi, ha soluzioni che viaggiano alla velocità della luce in modo che la sua versione quantistica dovrebbe descrivere particelle prive di massa (gluoni). Tuttavia, il fenomeno postulato del confinamento del colore consente solo stati legati di gluoni, formando particelle massicce . Questo è il divario di massa. Un altro aspetto del confinamento è la libertà asintotica che rende concepibile che la teoria quantistica di Yang-Mills esista senza restrizione alle scale di bassa energia. Il problema è stabilire rigorosamente lesistenza della teoria quantistica di Yang-Mills e un divario di massa.
La dichiarazione ufficiale del problema è stata data da Arthur Jaffe e Edward Witten.
Esistenza e fluidità di Navier – Stokes Modifica
Le equazioni di Navier – Stokes descrivono il moto dei fluidi e sono uno dei pilastri della meccanica dei fluidi. Tuttavia, la comprensione teorica delle loro soluzioni è incompleta. In particolare, le soluzioni delle equazioni di Navier-Stokes includono spesso la turbolenza, la cui soluzione generale rimane uno dei maggiori problemi irrisolti in fisica, nonostante la sua immensa importanza nella scienza e nellingegneria.
Anche le proprietà di base del le soluzioni per Navier – Stokes non sono mai state provate. Per il sistema di equazioni tridimensionale, e date alcune condizioni iniziali, i matematici non hanno ancora dimostrato che esistono sempre soluzioni regolari per tutti i tempi. Questo è chiamato il problema di esistenza e scorrevolezza di Navier – Stokes.
Il problema è fare progressi verso una teoria matematica che fornirà informazioni su queste equazioni, dimostrando che esistono soluzioni lisce e definite a livello globale che soddisfano determinati condizioni, o che non sempre esistono e le equazioni si rompono.
Laffermazione ufficiale del problema è stata data da Charles Fefferman.
Congettura di Birch e Swinnerton-DyerModifica
La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer si occupa di alcuni tipi di equazioni: quelle che definiscono le curve ellittiche sui numeri razionali. La congettura è che ci sia un modo semplice per dire se tali equazioni hanno un numero finito o infinito di soluzioni razionali. Il decimo problema di Hilbert trattava un tipo più generale di equazione, e in quel caso è stato dimostrato che non cè modo di decidere se una data equazione ha anche qualche soluzione.
Laffermazione ufficiale del problema è stato fornito da Andrew Wiles.