Energia cinetica di corpi rigidi
Nella meccanica classica, lenergia cinetica di un oggetto puntuale (un oggetto così piccolo che si può presumere che la sua massa esista punto), o un corpo rigido non rotante dipende dalla massa del corpo e dalla sua velocità. Lenergia cinetica è uguale alla metà del prodotto della massa per il quadrato della velocità. In forma di formula:
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
dove m {\ displaystyle m} è la massa e v {\ displaystyle v} è la velocità (o la velocità) del corpo. Nelle unità SI, la massa viene misurata in chilogrammi, la velocità in metri al secondo e lenergia cinetica risultante è in joule.
Ad esempio, si calcola lenergia cinetica di una massa di 80 kg (circa 180 libbre ) viaggiando a 18 metri al secondo (circa 40 mph, o 65 km / h) come
E k = 1 2 ⋅ 80 kg ⋅ (18 m / s) 2 = 12, 960 J = 12,96 kJ {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ left (18 \, {\ text {m / s}} \ right ) ^ {2} = 12,960 \, {\ text {J}} = 12,96 \, {\ text {kJ}}}
Quando una persona lancia una palla, la persona ci lavora per dargli velocità mentre lascia la mano. La palla in movimento può quindi colpire qualcosa e spingerlo, lavorando su ciò che colpisce. Lenergia cinetica di un oggetto in movimento è uguale al lavoro richiesto per portarlo da quiete a quella velocità, o il lavoro che loggetto può fare mentre viene portato a riposo: forza netta × spostamento = energia cinetica, cioè
F s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
Poiché lenergia cinetica aumenta con il quadrato della velocità, un oggetto che raddoppia la sua velocità ha quattro volte quanta energia cinetica. Ad esempio, unauto che viaggia a una velocità doppia rispetto a unaltra richiede quattro volte la distanza per fermarsi, assumendo una forza frenante costante. Come conseguenza di questa quadruplicazione, è necessario quattro volte il lavoro per raddoppiare la velocità.
Lenergia cinetica di un oggetto è correlata al suo momento dallequazione:
E k = p 2 2 m {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}
dove:
p {\ displaystyle p \;} è lo slancio m {\ displaystyle m \;} è la massa del corpo
Per lenergia cinetica traslazionale, ovvero lenergia cinetica associata al moto rettilineo, di un corpo rigido con massa costante m {\ displaystyle m \;}, il cui centro di massa è muovendosi in linea retta con velocità v {\ displaystyle v \;}, come visto sopra è uguale a
E t = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1 } {2}} mv ^ {2}}
dove:
m {\ displaystyle m \;} è la massa del corpo v {\ displaystyle v \;} è la velocità del centro di massa del corpo.
Lenergia cinetica di qualsiasi entità dipende dal sistema di riferimento in cui viene misurata. Tuttavia lenergia totale di un sistema isolato, cioè quello in cui lenergia non può né entrare né uscire, non cambia nel tempo nel quadro di riferimento in cui viene misurata. Pertanto, lenergia chimica convertita in energia cinetica da un motore a razzo viene divisa in modo diverso tra lastronave e il suo flusso di scarico a seconda del sistema di riferimento scelto. Questo è chiamato effetto Oberth. Ma lenergia totale del sistema, inclusa lenergia cinetica, lenergia chimica del combustibile, il calore, ecc., Viene conservata nel tempo, indipendentemente dalla scelta del sistema di riferimento. Diversi osservatori che si muovono con differenti sistemi di riferimento sarebbero tuttavia in disaccordo sul valore di questa energia conservata.
Lenergia cinetica di tali sistemi dipende dalla scelta del sistema di riferimento: il sistema di riferimento che fornisce il valore minimo di quellenergia è il centro del frame di quantità di moto, cioè il sistema di riferimento in cui la quantità di moto totale del sistema è zero. Questa energia cinetica minima contribuisce alla massa invariante del sistema nel suo insieme.
Derivazione
Il lavoro svolto nellaccelerare una particella con massa m durante lintervallo di tempo infinitesimale dt è dato da il prodotto scalare della forza F e dello spostamento infinitesimale dx
F ⋅ dx = F ⋅ vdt = dpdt ⋅ vdt = v ⋅ dp = v ⋅ d (mv), {\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \ ,,}
dove abbiamo assunto la relazione p = mv e la validità della seconda legge di Newton. ( Tuttavia, vedi anche la derivazione relativistica speciale di seguito.)
Applicando la regola del prodotto vediamo che:
d (v ⋅ v) = (dv) ⋅ v + v ⋅ (dv) = 2 (v ⋅ dv). {\ displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}
Pertanto, (assumendo cons massa tant in modo che dm = 0), abbiamo,
v ⋅ d (m v) = m 2 d (v ⋅ v) = m 2 d v 2 = d (m v 2 2). {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right).}
Poiché questo è un differenziale totale (cioè dipende solo dallo stato finale, non da come la particella è arrivata lì), possiamo integrarlo e chiamare il risultato energia cinetica. Supponendo che loggetto fosse a riposo al tempo 0, integriamo dal tempo 0 al tempo t perché il lavoro svolto dalla forza per portare loggetto da quiete alla velocità v è uguale al lavoro necessario per fare il contrario:
E k = ∫ 0 t F ⋅ dx = ∫ 0 tv ⋅ d (mv) = ∫ 0 td (mv 2 2) = mv 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ sinistra ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.}
Questa equazione afferma che lenergia cinetica (Ek) è uguale allintegrale del prodotto scalare della velocità (v) di un corpo e del cambiamento infinitesimale del corpo ” s momentum (p). Si presume che il corpo inizi senza energia cinetica quando è a riposo (immobile).
Corpi rotanti
Se un corpo rigido Q sta ruotando intorno qualsiasi linea passante per il centro di massa ha allora lenergia cinetica rotazionale (E r {\ displaystyle E _ {\ text {r}} \,}) che è semplicemente la somma delle energie cinetiche delle sue parti mobili, ed è quindi data da :
E r = ∫ Q v 2 dm 2 = ∫ Q (r ω) 2 dm 2 = ω 2 2 ∫ Q r 2 dm = ω 2 2 I = 1 2 I ω 2 {\ displaystyle E _ {\ text {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} { 2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} I = {\ frac {1 } {2}} I \ omega ^ {2}}
dove:
(In questa equazione il momento di inerzia deve essere preso attorno ad un asse passante per il centro di massa e la rotazione misurata da ω deve essere attorno a quellasse; esistono equazioni più generali per i sistemi in cui loggetto è soggetto a oscillazione a causa della sua forma eccentrica).
Energia cinetica dei sistemi
Un sistema di corpi può avere energia cinetica interna dovuta alla moto relativo dei corpi nel sistema. Ad esempio, nel Sistema Solare i pianeti e i planetoidi orbitano attorno al Sole. In un serbatoio di gas, le molecole si muovono in tutte le direzioni. Lenergia cinetica del sistema è la somma delle energie cinetiche dei corpi che contiene.
Un corpo macroscopico che è stazionario (cioè è stato scelto un sistema di riferimento per corrispondere al centro della quantità di moto del corpo ) possono avere vari tipi di energia interna a livello molecolare o atomico, che può essere considerata come energia cinetica, a causa della traslazione molecolare, rotazione e vibrazione, traslazione elettronica e spin e spin nucleare. Tutti questi contribuiscono al corpo “s massa, come previsto dalla teoria della relatività speciale. Quando si parla di movimenti di un corpo macroscopico, lenergia cinetica a cui si fa riferimento è solitamente quella del solo movimento macroscopico. Tuttavia, tutte le energie interne di tutti i tipi contribuiscono alla massa, allinerzia e allenergia totale del corpo.
Dinamica dei fluidi
Nella dinamica dei fluidi, lenergia cinetica per unità di volume in ogni punto un campo di flusso di fluido incomprimibile è chiamato pressione dinamica in quel punto.
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ { 2}}
Dividendo per V, lunità di volume:
E k V = 1 2 m V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {E_ {\ text {k}}} {V}} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q & = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ end {align}}}
dove q {\ displaystyle q} è la pressione dinamica e ρ è la densità del fluido incomprimibile.
Sistema di riferimento
La velocità, e quindi lenergia cinetica di un singolo oggetto, dipende dal frame (relativo ): può assumere qualsiasi valore non negativo, scegliendo un adeguato sistema di riferimento inerziale. Ad esempio, un proiettile che passa davanti a un osservatore ha energia cinetica nel ference frame di questo osservatore. Lo stesso proiettile è fermo per un osservatore che si muove con la stessa velocità del proiettile, e quindi ha zero energia cinetica. Al contrario, lenergia cinetica totale di un sistema di oggetti non può essere ridotta a zero da unopportuna scelta del sistema di riferimento inerziale, a meno che tutti gli oggetti non abbiano la stessa velocità. In ogni altro caso, lenergia cinetica totale ha un minimo diverso da zero, in quanto non è possibile scegliere alcun sistema di riferimento inerziale in cui tutti gli oggetti siano stazionari. Questa energia cinetica minima contribuisce alla massa invariante del sistema, che è indipendente dal sistema di riferimento.
Lenergia cinetica totale di un sistema dipende dal sistema di riferimento inerziale: è la somma del totale lenergia cinetica in un frame del centro della quantità di moto e lenergia cinetica che la massa totale avrebbe se fosse concentrata nel centro di massa.
Questo può essere semplicemente mostrato: sia V {\ displaystyle \ textstyle \ mathbf { V}} è la velocità relativa del centro di massa frame i nel frame k.Poiché
v 2 = (vi + V) 2 = (vi + V) ⋅ (vi + V) = vi ⋅ vi + 2 vi ⋅ V + V ⋅ V = vi 2 + 2 vi ⋅ V + V 2 , {\ displaystyle v ^ {2} = \ sinistra (v_ {i} + V \ destra) ^ {2} = \ sinistra (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ destra) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}
Quindi,
E k = ∫ v 2 2 dm = ∫ vi 2 2 dm + V ⋅ ∫ vidm + V 2 2 ∫ dm. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.} E k = E i + MV 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}
Quindi lenergia cinetica di un sistema è più bassa rispetto al centro di riferimento della quantità di moto fotogrammi, cioè sistemi di riferimento in cui il centro di massa è stazionario (o il centro di massa o qualsiasi altro centro di momento). In ogni diverso sistema di riferimento, cè unenergia cinetica aggiuntiva corrispondente alla massa totale che si muove alla velocità del centro di massa. Lenergia cinetica del sistema al centro del frame della quantità di moto è una quantità che è invariante (tutti gli osservatori la vedono essere la stessa).
Rotazione nei sistemi
A volte è conveniente per dividere lenergia cinetica totale di un corpo nella somma dellenergia cinetica traslazionale del centro di massa del corpo e dellenergia di rotazione attorno al centro di massa (energia rotazionale):
E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \,}
dove:
Ek è lenergia cinetica totale Et è lenergia cinetica traslazionale Er è lenergia rotazionale o energia cinetica angolare nel telaio di riposo
Quindi lenergia cinetica di una pallina da tennis in volo è lenergia cinetica dovuta alla sua rotazione, più lenergia cinetica dovuta alla sua traslazione.