Distribuzione esponenziale

Media, varianza, momenti e medianEdit

Il valore medio o atteso di una variabile casuale distribuita esponenzialmente X con parametro di velocità λ è dato da

E ⁡ = 1 λ. {\ displaystyle \ operatorname {E} = {\ frac {1} {\ lambda}}.}

Alla luce degli esempi forniti di seguito, questo ha senso: se ricevi chiamate telefoniche a una frequenza media di 2 allora , quindi puoi aspettarti di aspettare mezzora per ogni chiamata.

La varianza di X è data da

Var ⁡ = 1 λ 2, {\ displaystyle \ operatorname {Var} = {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}},}

quindi la deviazione standard è uguale alla media.

I momenti di X, per n ∈ N {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}} sono dati da

E ⁡ = n! λ n. {\ displaystyle \ operatorname {E} \ left = {\ frac {n!} {\ lambda ^ {n}}}.}

I momenti centrali di X, per n ∈ N {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}} sono dati da

μ n =! n λ n = n! λ n ∑ k = 0 n (- 1) k k! . {\ displaystyle \ mu _ {n} = {\ frac {! n} {\ lambda ^ {n}}} = {\ frac {n!} {\ lambda ^ {n}}} \ sum _ {k = 0 } ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}}.}

dove! n è il sottofattoriale di n

La mediana di X è data da

m ⁡ = ln ⁡ (2) λ < E ⁡, {\ displaystyle \ operatorname {m} = {\ frac {\ ln (2)} {\ lambda }} < \ operatorname {E},}

dove ln si riferisce al logaritmo naturale. Quindi la differenza assoluta tra la media e la mediana è

| E ⁡ – m ⁡ | = 1 – ln ⁡ (2) λ < 1 λ = σ ⁡, {\ displaystyle \ left | \ operatorname {E} \ left- \ operatorname {m} \ left \ right | = {\ frac {1- \ ln (2)} {\ lambda}} < {\ frac {1} {\ lambda}} = \ operatorname {\ sigma}, }

in conformità con la disuguaglianza media-mediana.

MemorylessnessEdit

Una variabile casuale distribuita esponenzialmente T obbedisce alla relazione

Pr (T > s + t ∣ T > s) = Pr (T > t), ∀ s, t ≥ 0 . {\ displaystyle \ Pr \ left (T > s + t \ mid T > s \ right) = \ Pr (T > t), \ qquad \ forall s, t \ geq 0.}

Questo può essere visto considerando la funzione di distribuzione cumulativa complementare:

Pr (T > s + t ∣ T > s) = Pr (T > s + t ∩ T > s) Pr (T > s) = Pr (T s + t) Pr (T > s) = e – λ (s + t) e – λ s = e – λ t = Pr (T > t). {\ displaystyle {\ begin {align} \ Pr \ left (T > s + t \ mid T > s \ right) & = {\ frac {\ Pr \ left (T > s + t \ cap T > s \ right)} {\ Pr \ left (T > s \ right)}} \\ & = {\ frac {\ Pr \ left (T > s + t \ right)} {\ Pr \ left (T > s \ right)} } \\ & = {\ frac {e ^ {- \ lambda (s + t)}} {e ^ {- \ lambda s}}} \\ & = e ^ {- \ lambda t} \\ & = \ Pr (T > t) . \ end {allineato}}}

Quando T è interpretato come il tempo di attesa perché un evento si verifichi rispetto a un certo tempo iniziale, questa relazione implica che, se T è condizionato dalla mancata osservazione dellevento in un certo periodo iniziale di tempo s, la distribuzione del tempo di attesa rimanente è la stessa della distribuzione incondizionata originale. Ad esempio, se un evento non si è verificato dopo 30 secondi, la probabilità condizionale che occorra almeno altri 10 secondi è uguale alla probabilità incondizionata di osservare levento più di 10 secondi dopo lora iniziale.

La distribuzione esponenziale e la distribuzione geometrica sono le uniche distribuzioni di probabilità senza memoria.

La distribuzione esponenziale è di conseguenza anche necessariamente lunica distribuzione di probabilità continua che ha un tasso di errore costante.

QuantilesEdit

La funzione quantile (funzione di distribuzione cumulativa inversa) per Exp (λ) è

F – 1 (p; λ) = – ln ⁡ (1 – p ) λ, 0 ≤ p < 1 {\ displaystyle F ^ {- 1} (p; \ lambda) = {\ frac {- \ ln (1-p)} {\ lambda}}, \ qquad 0 \ leq p < 1}

I quartili sono quindi:

• primo quartile: ln (4/3 ) / λ
• mediana: ln (2) / λ
• terzo quartile: ln (4) / λ

E di conseguenza il lintervallo interquartile è ln (3) / λ.

Divergenza Kullback – Leibler Modifica

Δ (λ 0 ∥ λ) = E λ 0 (log ⁡ p λ 0 (x) p λ (x)) = E λ 0 (log ⁡ λ 0 e – λ 0 x λ e – λ x) = log ⁡ (λ 0) – log ⁡ (λ) – (λ 0 – λ) E λ 0 (x) = log ⁡ (λ 0) – log ⁡ (λ) + λ λ 0 – 1. {\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta (\ lambda _ {0} \ parallel \ lambda) & = \ mathbb {E} _ { \ lambda _ {0}} \ left (\ log {\ frac {p _ {\ lambda _ {0}} (x)} {p _ {\ lambda} (x)}} \ right) \\ & = \ mathbb {E} _ {\ lambda _ {0}} \ left (\ log {\ frac {\ lambda _ {0} e ^ {- \ lambda _ {0} x}} {\ lambda e ^ {- \ lambda x}}} \ right) \\ & = \ log (\ lambda _ {0}) – \ log (\ lambda) – ( \ lambda _ {0} – \ lambda) E _ {\ lambda _ {0}} (x) \\ & = \ log (\ lambda _ {0}) – \ log (\ lambda) + {\ frac {\ lambda} {\ lambda _ {0}}} – 1. \ end {align}}}

Massima distribuzione di entropiaEdit

Tra tutte le distribuzioni di probabilità continue con il supporto è fisso.

Distribuzione del minimo di variabili casuali esponenzialiEdit

Sia X1,. .., Xn essere variabili casuali distribuite esponenzialmente indipendenti con parametri di velocità λ1, …, λn. Quindi

min {X 1,…, X n} {\ displaystyle \ min \ left \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \ right \}}

è anche distribuito esponenzialmente, con parametro

λ = λ 1 + ⋯ + λ n. {\ displaystyle \ lambda = \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}.}

Questo può essere visto considerando la funzione di distribuzione cumulativa complementare:

Pr (min {X 1, …, X n} > x) = Pr (X 1 > x,…, X n > x) = ∏ i = 1 n Pr (X i > x) = ∏ i = 1 n exp ⁡ (- x λ i) = exp ⁡ (- x ∑ i = 1 n λ i). {\ displaystyle {\ begin {align} & \ Pr \ left (\ min \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \} > x \ right) \\ = {} & \ Pr \ left (X_ {1} > x, \ dotsc, X_ {n} > x \ right) \\ = {} & \ prod _ {i = 1} ^ { n} \ Pr \ left (X_ {i} > x \ right) \\ = {} & \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ exp \ left (-x \ lambda _ {i} \ right) = \ exp \ left (-x \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} \ right ). \ end {align}}}

Lindice della variabile che raggiunge il minimo è distribuito secondo la distribuzione categoriale

Pr (k ∣ X k = min {X 1,…, X n}) = λ k λ 1 + ⋯ + λ n. {\ displaystyle \ Pr \ left (k \ mid X_ {k} = \ min \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \} \ right) = {\ frac {\ lambda _ {k}} { \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}}}.}

Una dimostrazione è la seguente:

Sia I = argmin i ∈ {1, ⋯, n} ⁡ {X 1 ,…, X n} {\ displaystyle {\ text {Let}} I = \ operatorname {argmin} _ {i \ in \ {1, \ dotsb, n \}} \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \}} quindi Pr (I = k) = ∫ 0 ∞ Pr (X k = x) Pr (X i ≠ k > x) dx = ∫ 0 ∞ λ ke – λ kx (∏ i = 1, i ≠ kne – λ ix) dx = λ k ∫ 0 ∞ e – (λ 1 + ⋯ + λ n) xdx = λ k λ 1 + ⋯ + λ n. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {then}} \ Pr (I = k) & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ Pr ( X_ {k} = x) \ Pr (X_ {i \ neq k} > x) dx \\ & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ lambda _ {k} e ^ {- \ lambda _ {k} x} \ left (\ prod _ {i = 1, i \ neq k} ^ {n} e ^ {- \ lambda _ {i} x} \ right) dx \\ & = \ lambda _ {k} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ left (\ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n} \ right) x} dx \\ & = {\ frac {\ lambda _ {k}} { \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}}}. \ end {align}}}

Nota che

max {X 1,…, X n} {\ displaystyle \ max \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \}}

non è distribuito esponenzialmente.

Momenti congiunti di iid statistiche ordine esponenziale Modifica

E ⁡ = ∑ k = 0 j – 1 1 (n – k) λ E ⁡ + E ⁡ = ∑ k = 0 j – 1 1 (n – k) λ ∑ k = 0 i – 1 1 (n – k) λ + ∑ k = 0 i – 1 1 ((n – k) λ) 2 + (∑ k = 0 i – 1 1 (n – k) λ) 2. {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {E} \ left & = \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} { (nk) \ lambda}} \ operatorname {E} \ left + \ operatorname {E} \ left \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} {(nk) \ lambda}} \ sum _ {k = 0} ^ {i-1} {\ frac {1} {(nk) \ lambda}} + \ sum _ {k = 0 } ^ {i-1} {\ frac {1} {((nk) \ lambda) ^ {2}}} + \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {i-1} {\ frac {1 } {(nk) \ lambda}} \ right) ^ {2}. \ end {align}}}

Questo può essere visto invocando la legge dellaspettativa totale e la proprietà senza memoria:

E ⁡ = ∫ 0 ∞ E ⁡ f X (i) (x) dx = ∫ x = 0 ∞ x E ⁡ f X (i) (x) dx (poiché X (i) = x ⟹ X (j) ≥ x) = ∫ x = 0 ∞ x + x] f X (i) (x) dx (dalla proprietà senza memoria) = ∑ k = 0 j – 1 1 (n – k) λ E ⁡ + E ⁡.{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {E} \ left & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {E} \ leftf_ {X_ { (i)}} (x) \, dx \\ & = \ int _ {x = 0} ^ {\ infty} x \ operatorname {E} \ leftf_ {X_ { (i)}} (x) \, dx & & \ left ({\ textrm {since}} ~ X _ {(i )} = x \ implica X _ {(j)} \ geq x \ right) \\ & = \ int _ {x = 0} ^ {\ infty} x \ left + x \ right] f_ {X _ {(i)}} (x) \, dx & & \ left ({\ text { dalla proprietà senza memoria}} \ right) \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} {(nk) \ lambda }} \ nomeoperatore {E} \ sinistra + \ nomeoperatore {E} \ sinistra. \ end {allineato}}}

Somma di due variabili casuali esponenziali indipendenti Modifica

f Z (z) = ∫ – ∞ ∞ f X 1 (x 1) f X 2 (z – x 1) dx 1 = ∫ 0 z λ 1 e – λ 1 x 1 λ 2 e – λ 2 (z – x 1) dx 1 = λ 1 λ 2 e – λ 2 z ∫ 0 ze (λ 2 – λ 1) x 1 dx 1 = {λ 1 λ 2 λ 2 – λ 1 (e – λ 1 z – e – λ 2 z) se λ 1 ≠ λ 2 λ 2 ze – λ z se λ 1 = λ 2 = λ. {\ displaystyle {\ begin {align} f_ {Z} (z) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X_ {1}} ( x_ {1}) f_ {X_ {2}} (z-x_ {1}) \, dx_ {1} \\ & = \ int _ {0} ^ {z } \ lambda _ {1} e ^ {- \ lambda _ {1} x_ {1}} \ lambda _ {2} e ^ {- \ lambda _ {2} (z-x_ {1})} \, dx_ {1} \\ & = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} e ^ {- \ lambda _ {2} z} \ int _ {0} ^ { z} e ^ {(\ lambda _ {2} – \ lambda _ {1}) x_ {1}} \, dx_ {1} \\ & = {\ begin { case} {\ dfrac {\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}} {\ lambda _ {2} – \ lambda _ {1}}} \ left (e ^ {- \ lambda _ {1} z} -e ^ {- \ lambda _ {2} z} \ right) & {\ text {if}} \ lambda _ {1} \ neq \ lambda _ {2} \ \\ lambda ^ {2} ze ^ {- \ lambda z} & {\ text {if}} \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2} = \ lambda . \ end {casi}} \ end {allineato}}} H (Z) = 1 + γ + ln ⁡ (λ 1 – λ 2 λ 1 λ 2) + ψ (λ 1 λ 1 – λ 2), {\ displaystyle {\ begin {align} H (Z) & = 1 + \ gamma + \ ln \ left ({\ frac {\ lambda _ {1} – \ lambda _ {2 }} {\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}} \ right) + \ psi \ left ({\ frac {\ lambda _ {1}} {\ l ambda _ {1} – \ lambda _ {2}}} \ right), \ end {align}}}

dove γ {\ displaystyle \ gamma} è la costante di Eulero-Mascheroni e ψ (⋅) {\ displaystyle \ psi (\ cdot)} è la funzione digamma.

Nel caso di parametri di velocità uguale, il risultato è una distribuzione di Erlang con forma 2 e parametro λ, {\ displaystyle \ lambda,} che in turn è un caso speciale di distribuzione gamma.