PY (z) = ∑ i = 0 ∞ P (Y = i) zi = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle P_ {Y} (z) = \ sum \ limits _ {i = 0} ^ {\ infty} P (Y = i) z ^ {i} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)} X ∼ DCP (λ α 1 , λ α r,…) {\ displaystyle X \ sim {\ text {DCP}} (\ lambda {\ alpha _ {1}}, \ lambda {\ alpha _ {r}}, \ ldots)}
La caratterizzazione di Feller della distribuzione di Poisson composta afferma che un valore intero non negativo rv X {\ displaystyle X} è infinitamente divisibile se e solo se la sua distribuzione è una distribuzione di Poisson composta discreta. Si può dimostrare che la distribuzione binomiale negativa è discreto infinitamente divisibile, cioè, se X ha una distribuzione binomiale negativa, allora per ogni intero positivo n, esistono variabili casuali iid discrete X1, …, Xn la cui somma ha la stessa distribuzione di X. La distribuzione geometrica dello spostamento è discreta distribuzione di Poisson composta si nce è un caso banale di distribuzione binomiale negativa.
Questa distribuzione può modellare gli arrivi in batch (come in una coda di massa). La distribuzione di Poisson composta discreta è anche ampiamente utilizzata nella scienza attuariale per modellare la distribuzione dellimporto totale della richiesta.
Quando alcuni α k {\ displaystyle \ alpha _ {k}} non sono negativi, è la distribuzione di Poisson discreta pseudo-composta. Definiamo che qualsiasi variabile casuale discreta Y {\ displaystyle Y} soddisfa la caratterizzazione della funzione generatrice di probabilità
GY (z) = ∑ n = 0 ∞ P (Y = n) zn = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle G_ {Y} (z) = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} P (Y = n) z ^ { n} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)}