Applicata a un poligono, una diagonale è un segmento di linea che unisce due vertici non consecutivi. Pertanto, un quadrilatero ha due diagonali, che uniscono coppie opposte di vertici. Per ogni poligono convesso, tutte le diagonali sono allinterno del poligono, ma per i poligoni rientranti, alcune diagonali sono esterne al poligono.
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| Lati | Diagonali | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| 35 | 560 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 36 | 594 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 37 | 629 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 38 | 665 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 39 | 702 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 40 | 740 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 41 | 779 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 42 | 819 |
Regioni formate da diagonali Modifica
In un poligono convesso , se non ci sono tre diagonali simultanee in un singolo punto allinterno, il numero di regioni in cui le diagonali dividono linterno è dato da
(n 4) + (n – 1 2) = (n – 1) (n – 2) (n 2 – 3 n + 12) 24. {\ displaystyle {\ binom {n} {4}} + {\ binom {n-1} {2}} = {\ frac {(n-1) (n-2) (n ^ {2} -3n + 12)} {24}}.}
Per n-gons con n = 3, 4, … il numero di regioni è
1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 …
Questa è la sequenza OEIS A006522.
Intersezioni di diagonaliModifica
Se non ci sono tre diagonali di un poligono convesso simultanee in un punto allinterno, il numero di le intersezioni delle diagonali sono date da (n 4) {\ displaystyle {\ binom {n} {4}}}. Ciò vale, ad esempio, per qualsiasi poligono regolare con un numero dispari di lati. La formula deriva dal fatto che ogni intersezione è determinata univocamente dai quattro punti finali delle due diagonali intersecanti: il numero di intersezioni è quindi il numero di combinazioni degli n vertici quattro alla volta.
Poligoni regolari
Un triangolo non ha diagonali.
Un esagono regolare ha nove diagonali: le sei più corte sono uguali in lunghezza; i tre più lunghi sono uguali in lunghezza e si intersecano al centro dellesagono. Il rapporto tra una diagonale lunga e un lato è 2 e il rapporto tra una diagonale corta e un lato è 3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}.
Un ettagono regolare ha 14 diagonali. I sette più corti sono uguali tra loro e i sette più lunghi sono uguali tra loro. Il reciproco del lato è uguale alla somma dei reciproci di una diagonale corta e lunga.
In qualsiasi n-gon regolare con n pari, le diagonali lunghe si intersecano tutte al centro del poligono.