Definizione di base Modifica
La funzione f può essere reinterpretata come una famiglia di funzioni di una variabile indicizzata dalle altre variabili:
f (x, y ) = fy (x) = x 2 + xy + y 2. {\ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
In altre parole, ogni valore di y definisce una funzione, denotata fy , che è una funzione di una variabile x. Cioè,
f y (x) = x 2 + x y + y 2. {\ displaystyle f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
In questa sezione la notazione pedice fy denota una funzione contingente a un valore fisso di y, e non a derivata parziale.
fa (x) = x 2 + ax + a 2. {\ Displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}.}
In questa espressione, a è una costante, non una variabile, quindi fa è una funzione di una sola variabile reale, essendo x. Di conseguenza, si applica la definizione della derivata per una funzione di una variabile:
f a ′ (x) = 2 x + a. {\ displaystyle f_ {a} “(x) = 2x + a.}
La procedura sopra può essere eseguita per qualsiasi scelta di a. Assemblando le derivate insieme in una funzione si ottiene una funzione che descrive la variazione di f nella direzione x:
∂ f ∂ x (x, y) = 2 x + y. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, y) = 2x + y.}
Questa è la derivata parziale di f rispetto a x. Qui ∂ è una d arrotondata chiamata simbolo di derivata parziale. Per distinguerla dalla lettera d, ∂ è talvolta pronunciata “parziale”.
In generale, la derivata parziale di una funzione n-aaria f (x1, …, xn) nella direzione xi nel punto (a1, …, an) è definita come:
∂ f ∂ xi (a 1,…, an) = lim h → 0 f (a 1,…, ai + h,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i} + h, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}}.}
Nel quoziente di differenza sopra, tutte le variabili tranne x sono tenuto fisso. La scelta di valori fissi determina una funzione di una variabile
fa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, an (xi) = f (a 1,…, ai – 1, xi, ai + 1,…, an), {\ displaystyle f_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}),}
e, per definizione,
dfa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, andxi (ai) = ∂ f ∂ xi (a 1,…, an). {\ displaystyle {\ frac {df_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ { i}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}).}
In altre parole, le diverse scelte di un indice una famiglia di funzioni a una variabile proprio come nellesempio sopra. Questa espressione mostra anche che il calcolo delle derivate parziali si riduce al calcolo delle derivate a una variabile.
∇ f (a) = (∂ f ∂ x 1 (a),…, ∂ f ∂ xn (a)) . {\ displaystyle \ nabla f (a) = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (a), \ ldots, {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ { n}}} (a) \ right).}
Questo vettore è chiamato gradiente di f in a. Se f è differenziabile in ogni punto di un dominio, allora il gradiente è una funzione a valori vettoriali ∇f che porta il punto a nel vettore ∇f (a). Di conseguenza, il gradiente produce un campo vettoriale.
∇ = i ^ + j ^ + k ^ {\ displaystyle \ nabla = \ left {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {k}}}} ∇ = ∑ j = 1 ne ^ j = e ^ 1 + e ^ 2 +… + e ^ n {\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j} = \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ ldots + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}
Formal definitionEdit
∂ ∂ xif ( a) = lim h → 0 f (a 1,…, ai – 1, ai + h, ai + 1,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h = lim h → 0 f (a + hei) – f (a) h {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} f (\ mathbf {a}) & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1 }, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {a} + he_ {i}) – f (\ mathbf {a})} {h}} \ end {allineato}} }
Anche se tutte le derivate parziali ∂f / ∂xi (a) esistono in un dato punto a, il la funzione non deve essere continua lì. Tuttavia, se tutte le derivate parziali esistono in un intorno di a e sono continue lì, allora f è totalmente derivabile in quellintorno e la derivata totale è continua. In questo caso, si dice che f è una funzione C1. Questo può essere usato per generalizzare per funzioni a valori vettoriali, f: U → R m, {\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^ {m},} usando con attenzione un argomento per componenti.
La derivata parziale ∂ f ∂ x {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}} può essere vista come unaltra funzione definita su U e può ancora essere parzialmente differenziata. Se tutte le derivate parziali miste del secondo ordine sono continue in un punto (o su un insieme), f è chiamata funzione C2 in quel punto (o su quellinsieme); in questo caso, le derivate parziali possono essere scambiate con il teorema di Clairaut:
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i.{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {j} \ partial x_ {i}}}.}