Lapotema a può essere utilizzato per trovare larea di qualsiasi poligono regolare a n lati di lunghezza lato s secondo la seguente formula, che afferma anche che larea è uguale allapotema moltiplicato della metà del perimetro poiché ns = p.
A = nsa 2 = pa 2. {\ displaystyle A = {\ frac {nsa} {2}} = {\ frac {pa} {2}}.}
Questa formula può essere derivata partizionando il poligono a n facce in n triangoli isosceli congruenti e poi notando che lapotema è laltezza di ogni triangolo, e che larea di un triangolo è uguale alla metà della base per laltezza. Le seguenti formulazioni sono tutte equivalenti:
A = 1 2 nsa = 1 2 pa = 1 4 ns 2 cot (π n) = na 2 tan (π n) {\ displaystyle A = {\ tfrac {1 } {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right) = na ^ {2} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}
Un apotema di un poligono regolare sarà sempre un raggio del cerchio inscritto. È anche la distanza minima tra qualsiasi lato del poligono e il suo centro.
Questa proprietà può essere utilizzata anche per derivare facilmente la formula per larea di un cerchio, perché quando il numero di lati si avvicina allinfinito, larea del poligono regolare si avvicina allarea del cerchio inscritto di raggio r = a.
A = pa 2 = (2 π r) r 2 = π r 2 {\ displaystyle A = {\ frac {pa} {2}} = {\ frac {(2 \ pi r) r} {2}} = \ pi r ^ {2}}