Basic definitionEdit
Az f függvény újraértelmezhető egy változó függvénycsaládjaként, amelyet a többi változó indexel:
f (x, y ) = fy (x) = x 2 + xy + y 2. {\ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
Más szóval, y minden értéke meghatároz egy függvényt, amelyet fy-vel jelölünk , amely egy x változó függvénye. Vagyis
f y (x) = x 2 + x y + y 2. {\ displaystyle f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
Ebben a szakaszban az fy aljegyzet jelölése egy függvényt jelöl, amely függ az y fix értékétől, és nem parciális derivált.
fa (x) = x 2 + ax + a 2. {\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}.}
Ebben a kifejezésben az a konstans, nem változó, tehát a fa csak egy függvénye valós változó, amely x. Következésképpen az egy változó függvényére vonatkozó derivált meghatározása érvényes:
f a ′ (x) = 2 x + a. {\ displaystyle f_ {a} “(x) = 2x + a.}
A fenti eljárás bármelyik a választáshoz elvégezhető. A deriváltak függvénybe összerakása olyan függvényt eredményez, amely leírja az f változatát a x irány:
∂ f ∂ x (x, y) = 2 x + y. {\ displaystyle {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x}} (x, y) = 2x + y.}
Ez az f részleges deriváltja x-hez képest. Itt ∂ egy lekerekített d, amelyet parciális derivált szimbólumnak nevezünk. A d betűtől való megkülönböztetés érdekében a ∂-t néha “részleges” -nek ejtik. Általánosságban az n-ary f (x1, …, xn) függvény parciális deriváltja az xi irányban az (a1, …, an) pontban a következő:
∂ f ∂ xi (a 1,…, an) = lim h → 0 f (a 1,…, ai + h,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h. {\ displaystyle {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i} + h, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}}.}
A fenti különbséghányadosban az összes változó x kivételével fixen tartok. A fix értékek megválasztása meghatározza egy változó függvényét
fa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, an (xi) = f (a 1,…, ai – 1, xi, ai + 1,…, an), {\ displaystyle f_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}),}
és definíció szerint,
dfa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, andxi (ai) = ∂ f ∂ xi (a 1,…, an). {\ displaystyle {\ frac {df_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ { i}) = {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}).}
Más szavakkal, az index különböző választási lehetőségei egyváltozós család éppúgy működik, mint a fenti példában. Ez a kifejezés azt is megmutatja, hogy a részleges származékok kiszámítása egyváltozós származékok kiszámításáig redukálódik. . {\ displaystyle \ nabla f (a) = \ balra ({\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {1}}} (a), \ ldots, {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ { n}}} (a) \ right).}
Ezt a vektort f gradiensének nevezzük a-nál. Ha f valamilyen tartomány minden pontján megkülönböztethető, akkor a gradiens egy vektor által értékelt ∇f függvény, amely az a pontot ∇f (a) vektorba viszi. Következésképpen a színátmenet vektormezőt eredményez.
∇ = i ^ + j ^ + k ^ {\ displaystyle \ nabla = \ left {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {k}}}} ∇ = ∑ j = 1 ne ^ j = e ^ 1 + e ^ 2 +… + e ^ n {\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j} = \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ ldots + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}
Formális meghatározásEdit
∂ ∂ xif ( a) = lim h → 0 f (a 1,…, ai – 1, ai + h, ai + 1,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h = lim h → 0 f (a + hei) – f (a) h {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ részleges} {\ részleges x_ {i}}} f (\ mathbf {a}) & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1 }, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {a} + he_ {i}) – f (\ mathbf {a})} {h}} \ end {igazítva}} }
Még ha az összes partialf / ∂xi (a) derivált is létezik egy adott a pontban, az a funkciónak nem kell ott folyamatosnak lennie. Ha azonban az összes parciális derivált egy a szomszédságában létezik és ott folytonos, akkor f teljesen differenciálható ebben a szomszédságban, és a teljes derivált folyamatos. Ebben az esetben azt mondják, hogy f egy C1 függvény. Ezzel általánosítható vektorral értékelt függvények, f: U → R m, {\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^ {m},} egy komponens argumentum óvatos használatával.
A ∂ f ∂ x {\ displaystyle {\ frac {\ partis f} {\ részleges x}}} részleges derivált az U-n definiált másik függvénynek tekinthető, és ismét részben megkülönböztethető. Ha az összes vegyes másodrendű parciális derivált folytonos egy pontban (vagy egy halmazon), akkor f-t C2-függvénynek nevezzük abban a pontban (vagy azon a halmazon); ebben az esetben a parciális deriváltákat Clairaut tétele cserélheti ki:
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i.{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges x_ {i} \ részleges x_ {j}}} = {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges x_ {j} \ részleges x_ {i}}}.}