PY (z) = ∑ i = 0 ∞ P (Y = i) zi = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle P_ {Y} (z) = \ összeg \ korlátok _ {i = 0} ^ {\ infty} P (Y = i) z ^ {i} = \ exp \ bal (\ összeg \ korlátok) _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alfa _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ jobbra, \ quad (| z | \ leq 1)} X ∼ DCP (λ α 1 , λ α r,…) {\ displaystyle X \ sim {\ text {DCP}} (\ lambda {\ alpha _ {1}}, \ lambda {\ alpha _ {r}}, \ ldots)}
Az összetett Poisson-eloszlás Feller-féle jellemzése szerint az rv X {\ displaystyle X} értékű nem negatív egész szám akkor és csak akkor osztható végtelenül, ha eloszlása diszkrét összetett Poisson-eloszlás. Megmutatható, hogy a negatív binomiális eloszlás diszkrét, végtelenül osztható, azaz ha X negatív binomiális eloszlású, akkor bármely pozitív n pozitív szám esetén léteznek olyan diszkrét X1, …, Xn iid véletlen változók, amelyek összegének eloszlása megegyezik az X értékével. összetett Poisson-eloszlás si Mivel ez a negatív binomiális eloszlás triviális esete.
Ez a disztribúció modellezheti a kötegelt érkezéseket (például tömeges sorban). A diszkrét vegyület Poisson-eloszlását az aktuáriusi tudományban is széles körben használják a teljes kárösszeg eloszlásának modellezésére.
Ha egyes α k {\ displaystyle \ alpha _ {k}} nem negatívak, akkor a diszkrét álvegyület Poisson-eloszlása. Meghatározzuk, hogy bármely diszkrét véletlen változó Y {\ displaystyle Y}, amely kielégíti a valószínűség-generáló függvény jellemzést
GY (z) = ∑ n = 0 ∞ P (Y = n) zn = exp (∑ k = 1 α α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle G_ {Y} (z) = \ összeg \ határok _ {n = 0} ^ {\ infty} P (Y = n) z ^ { n} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)}