P versus NPEdit
A kérdés az, hogy minden olyan problémára, amelyre egy algoritmus képes egy adott megoldást gyorsan (vagyis polinomiális időben) ellenőrizni, egy algoritmus is gyorsan megtalálja ezt a megoldást. Mivel az előbbi az NP-nek nevezett problémaosztályt írja le, míg a másik a P-t írja le, a kérdés egyenértékű azzal, hogy megkérdezzük, vajon az NP összes problémája P-ben van-e. Ezt általában a matematika és az elméleti informatika egyik legfontosabb nyitott kérdésének tekintik. mivel messzemenő következményekkel jár a matematika egyéb problémái, valamint a biológia, a filozófia és a kriptográfia szempontjából (lásd: P versus NP problémabiztos következmények). A NP-re nem ismert, hogy a P problémája a logikai elégedettség problémája.
A legtöbb matematikus és informatikus arra számít, hogy P ≠ NP; azonban továbbra sem bizonyított.
A probléma hivatalos nyilatkozatát Stephen Cook adta.
Hodge conjectureEdit
A Hodge-sejtés szerint a projektív algebrai fajták esetében a Hodge-ciklusok az algebrai ciklusok racionális lineáris kombinációi.
A probléma hivatalos nyilatkozatát Pierre Deligne adta meg.
Riemann hypothesisEdit
A Riemann-hipotézis szerint a Riemann zeta-függvény analitikai folytatásának minden nem triviális nulla valós része 1/2. Ennek bizonyításának vagy elutasításának messzemenő következményei lennének a számelméletben, különösen a prímszámok eloszlása szempontjából. Ez Hilbert nyolcadik problémája volt, és egy évszázaddal később is fontos nyitott problémának számít.
A probléma hivatalos nyilatkozatát Enrico Bombieri mondta.
Yang – Mills létezése és tömeges résEdit
A fizikában a klasszikus Yang – Mills elmélet az elektromágnesesség Maxwell-elméletének általánosítása, ahol a kromo-elektromágneses mező Klasszikus térelméletként olyan megoldásokkal rendelkezik, amelyek fénysebességgel haladnak, így kvantumváltozatának tömegtelen részecskéket (gluonokat) kell leírnia. A színmeghatározás feltételezett jelensége azonban csak a gluonok kötött állapotát engedi meg, hatalmas részecskéket képezve Ez a tömeges rés. A bezárás másik aspektusa az aszimptotikus szabadság, amely elképzelhetővé teszi, hogy a kvantum Yang-Mills elmélet alacsony energiaskálákra történő korlátozás nélkül létezik. A probléma az, hogy szigorúan meg kell állapítani a Yang – Mills kvantum elmélet létét tömeges rés.
A probléma hivatalos nyilatkozatát Arthur Jaffe és Edward Witten adta.
Navier – Stokes létezése és simaságaEdit
A Navier – Stokes-egyenletek a folyadékok mozgását írják le, és a folyadékmechanika egyik pillére. Megoldásaik elméleti megértése azonban hiányos. Különösen a Navier – Stokes-egyenletek megoldásai gyakran tartalmaznak turbulenciát, amelynek általános megoldása továbbra is az egyik legnagyobb megoldatlan probléma a fizikában, annak ellenére, hogy a tudomány és a mérnöki munka rendkívül fontos.
Még a a Navier – Stokes megoldások még soha nem bizonyítottak. A háromdimenziós egyenletrendszer esetében és bizonyos kezdeti feltételeket figyelembe véve a matematikusok még nem bizonyították, hogy zökkenőmentes megoldások mindig léteznek minden időre. Ezt hívják Navier – Stokes létezési és simaságproblémának.
A probléma az, hogy haladjunk egy matematikai elmélet felé, amely betekintést nyújt ezekbe az egyenletekbe, bizonyítva, hogy léteznek sima, globálisan definiált megoldások, amelyek megfelelnek bizonyos feltételeknek feltételek, vagy hogy nem mindig léteznek, és az egyenletek lebomlanak.
A probléma hivatalos nyilatkozatát Charles Fefferman adta meg.
Birch és Swinnerton-Dyer sejtésEdit
A Birch és Swinnerton-Dyer sejtés bizonyos típusú egyenletekkel foglalkozik: azokkal, amelyek meghatározzák az elliptikus görbéket a racionális számok felett. A sejtés szerint egyszerű módon meg lehet állapítani, hogy az ilyen egyenleteknek van-e véges vagy végtelen számú racionális megoldása. Hilbert tizedik feladata egy általánosabb típusú egyenletet dolgozott fel, és ebben az esetben bebizonyosodott, hogy nincs mód eldönteni, hogy az adott egyenletnek van-e megoldása.
A probléma hivatalos nyilatkozata Andrew Wiles adta.