MC Escher (Magyar)

Hatszögletű állatokon történő tesselláció: A repülőgép hüllőkkel történő rendszeres felosztásának vizsgálata (1939). Escher 1943-as hüllőinek litográfiájában újrafelhasználta a tervet. 1936-os útja után az Alhambra és a La Mezquita, Cordoba felé vázolta a mór építészetet és a csíkos mozaikdíszeket. , Escher a geometriai rácsok segítségével kezdte feltárni a tesselláció tulajdonságait és lehetőségeit vázlatainak alapjaként. Ezután ezeket kiterjesztette összetett, egymásba illeszkedő minták kialakítására, például olyan állatokkal, mint madarak, halak és hüllők. Az egyik első kísérlet a tessellálásra a ceruzája, az indiai festék és az akvarell-tanulmány a sík hüllőkkel való rendszeres felosztásáról (1939), hatszögletű rácsra építve. A vörös, zöld és fehér hüllők feje egy csúcson találkozik; az állatok farka, lába és oldala pontosan összekapcsolódik. Ezt használták 1943-as hüllői litográfiájának alapjául.

Első matematikai tanulmánya George Pólya és Friedrich Haag kristálykutató munkáival kezdődött sík szimmetriai csoportokban, testvére, Berend küldte neki. geológus. Gondosan tanulmányozta a 17 kanonikus háttérképcsoportot, és periodikus csempézést készített 43 különböző típusú szimmetriájú rajzkal. Ettől a ponttól kezdve matematikai megközelítést dolgozott ki műveiben a szimmetria kifejezésére, saját jelölése alapján. 1937-től a 17 csoport alapján fametszeteket készített. I. Metamorphosis (1937) egy olyan tervezetsorozatot indított el, amely képek felhasználásával mesélt el. Az I. metamorfózisban konvex sokszögeket szabályos mintákká alakított át egy síkban, hogy emberi motívumot alkosson. Négy méter hosszú Metamorphosis III című darabjában kiterjesztette a megközelítést.

1941-ben és 1942-ben Escher a saját művészi felhasználására vonatkozó megállapításait egy vázlatfüzetben foglalta össze, amelyet (Haag nyomán) Regelmatige vlakverdeling in asymmetrische congruente veelhoeken (“A gép szabályos felosztása aszimmetrikus kongruens sokszögekkel”) címkével látott el. ). Doris Schattschneider matematikus egyértelmûen úgy jellemezte ezt a jegyzetfüzetet, hogy “olyan módszeres vizsgálatot rögzít, amelyet csak matematikai kutatásnak lehet nevezni”. A kutatási kérdéseket a következőképpen határozta meg:

(1) Melyek a csempe lehetséges alakjai, amelyek szabályos osztást eredményezhetnek a síkon, hogy az a csempe, amely meg tudja tölteni a síkot annak egybevágó képeivel, úgy, hogy minden csempét ugyanolyan módon vesznek körül?
(2) Ezenkívül milyen módon kapcsolódnak egymáshoz egy ilyen csempe szélei izometriával?

Geometriák

Bár Escher nem rendelkezett matematikai képzettséggel – a matematika megértése jórészt vizuális és intuitív volt – művészetének erős matematikai összetevője volt, és számos rajzolt világ lehetetlen tárgyak köré épült. 1924 után Escher rátért az olaszországi és korzikai tájak vázlatára, rendszertelen perspektívákkal, amelyek természetes formában lehetetlenek. A lehetetlen valóság első nyomtatása a Csendélet és utca (1937) volt; lehetetlen lépcsők, valamint több vizuális és gravitációs perspektíva találhatók olyan népszerű művekben, mint a Relativitás (1953). A Lépcsők Háza (1951) felkeltette Roger Penrose matematikus és apja, Lionel Penrose biológus érdeklődését. 1956-ban publikálták a “Lehetetlen tárgyak: A vizuális illúzió különleges típusa” című cikket, majd később egy példányt küldtek Eschernek. Escher válaszolta, csodálva a Penroses “folyamatosan növekvő lépcsősorait, és mellékelte az Ascending and Descending (1960) nyomtatványát. A cikk tartalmazta a tribar vagy Penrose háromszöget is, amelyet Escher többször is használt az épület litográfiájában. egy örökmozgató gép, Waterfall (1961).

Eschert eléggé érdekelte Hieronymus Bosch A földi gyönyörök kertje 1500 triptichonja, hogy jobb oldali paneljének, a Pokolnak egy részét litográfusként újra létrehozhassa. 1935-ben újrafelhasználta a középkori nő alakját kétágú fejdíszben és hosszú ruhában a Belvedere című litográfiájában 1958-ban; ez a kép, hasonlóan sok más “rendkívüli feltalált helyéhez”, népes “tréfákkal, bunkókkal és szemlélőkkel”. Így Eschert nemcsak a lehetséges vagy lehetetlen geometria érdekelte, hanem saját szavaival élve “valóságrajongó”; ötvözte “a formális döbbenetet egy élénk és sajátos látásmóddal”.

Escher elsősorban a litográfiák és fametszetek médiájában dolgozott, bár az általa készített néhány mezzotint a technika remekeinek tekintik. Grafikájában matematikai összefüggéseket ábrázolt az alakok, az ábrák és a tér között. Nyomataiba integrálták a kúpok, gömbök, kockák, gyűrűk és spirálok tükörképeit.

Eschert olyan matematikai tárgyak is lenyűgözték, mint a Möbius-szalag, amelynek csak egy felülete van. Möbius Strip II (1963) fametszete a hangyák láncolatát ábrázolja, amely örökké halad a tárgy két ellentétes oldala felett – amelyek a vizsgálat során a csík egyetlen felületének részei. Escher saját szavai:

A végtelen gyűrű alakú szalagnak általában két különálló felülete van, az egyik belül és a másik kívül. Mégis ezen a sávon kilenc vörös hangya mászik egymás után, és az elülső és a hátoldalon halad. Ezért a szalagnak csak egy felülete van.

A matematikai hatás 1936 után vált szembetűnővé, amikor bátran megkérdezte az Adria Hajózási Társaságot, vitorlázik velük utazó művészként cserébe, hogy rajzokat készítsenek hajóikról, meglepő módon egyetértettek, ő pedig a Földközi-tengeren hajózott, érdeklődve a rend és a szimmetria iránt. Escher ezt az utat, ideértve az Alhambra ismételt látogatását, “a leggazdagabb inspirációs forrásnak, amelyet valaha is kihasználtam”.

Escher érdeklődését a görbe vonalú nézőpont iránt barátja és „rokon szelleme” ösztönözte. , a művészettörténész és művész, Albert Flocon, a konstruktív kölcsönös befolyásolás egy másik példájában. Flocon Eschert “gondolkodó művésznek” nevezte Piero della Francesca, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Wenzel Jamnitzer, Abraham Bosse, Girard Desargues és Père Nicon mellett. Flocont örömmel töltötte el Escher Grafiek en tekeningen („Rajzgrafika”), amelyet 1959-ben olvasott. Ez ösztönözte Flocont és André Barre-t, hogy levelezzenek Eschernek és megírják a La Perspective curviligne („Görbe vonalú perspektíva”) könyvet.

Platonikus és egyéb szilárd anyagok

Escher gyakran háromdimenziós tárgyakat épített be műveibe, például a platoni szilárd anyagokat, például gömböket, tetraédereket és kockákat, mint pl. valamint matematikai tárgyak, például hengerek és csillagképes poliéderek. A Hüllők nyomtatásában két- és háromdimenziós képeket kombinált. Escher egyik írásában a dimenzió fontosságát hangsúlyozta:

A lapos forma irritál – van kedvem elmondani a tárgyaimnak, túl fiktív vagy, statikusan fekszel egymás mellett és fagyos: csinálj valamit, gyere le a papírról és mutasd meg, mire vagy képes … Tehát késztetem őket arra, hogy kijöjjenek a síkból. … Tárgyaim … végre visszatérhetnek a síkra és eltűnhetnek származási helyükön.

Escher műve az különösen kedvelték matematikusok, például Doris Schattschneider és olyan tudósok, mint Roger Penrose, akik élvezik a poliéderek és a geometriai torzítások használatát. Például a gravitációban az állatok egy csillagképes dodekaéder körül másznak.

A Vízesés két lehetetlen épületének két tornyát összetett poliéderek teszik tetejére, az egyik három kocka vegyülete, a másik egy ma már ismert csillag alakú rombikus dodekaéder. mint Escher szilárd. Escher ezt a szilárd anyagot használta 1948-ban készült fametszetű Csillagaiban, amely mind az öt platóni szilárd anyagot, mind a csillagokat ábrázoló különféle csillag alakú szilárd anyagot tartalmazza; a központi szilárdt a kaméleonok animálják, amelyek átmásznak a kereten, miközben örvénylik az űrben. Escher 6 cm-es törő teleszkóppal rendelkezett, és elég lelkes amatőr csillagász volt ahhoz, hogy bináris csillagok megfigyelését rögzítse.

A valóság szintjei

Escher művészi kifejezése a elméje, nem pedig közvetlenül a megfigyelésekből és más országokba való utazásból. A művészet valóságának több szintje iránti érdeklődése olyan művekben mutatkozik meg, mint a Rajz kezek (1948), ahol két kéz látható, mindegyik rajzolja a másikat. Poole megjegyezte, hogy

Escher egyik tartós elbűvölésének szép ábrázolása: a papírlap kétdimenziós lapossága és a bizonyos dimenziókkal létrehozható háromdimenziós kötet illúziója. A Rajzolókban a tér és a lapos sík egymás mellett léteznek, mindegyik a másikból született és visszatér, a művészi illúzió fekete mágiája hátborzongatóan nyilvánvalóvá vált.

Végtelen és hiperbolikus geometria

1954-ben Amszterdamban ülésezett a Matematikusok Nemzetközi Kongresszusa, az NG de Bruin pedig a Stedelijk Múzeumban Escher munkáinak bemutatóját szervezte a résztvevők számára. Roger Penrose és HSM Coxeter mélységesen lenyűgözte Escher matematika intuitív megértését. A relativitás inspirációja alapján Penrose kidolgozta az oszlopát, apja, Lionel Penrose pedig egy végtelen lépcsőt. Roger Penrose mindkét tárgyról vázlatot küldött Eschernek, és a találmány körforgása lezárult, amikor Escher létrehozta a Vízesés örökmozgató gépét, valamint az Ascending and Descending szerzetesfigurák végtelen menetelését. 1957-ben Coxeter engedélyt kapott Escher számára, hogy két rajzát felhasználja a “Crystal” című írásában. szimmetria és általánosításai “. Küldte Eschernek a papír egy példányát; Escher rögzítette, hogy Coxeter hiperbolikus tessellációjának alakja “meglepetést okozott nekem”: a hiperbolikus síkban lévő lapok végtelen szabályos ismétlődése, amely a kör széle felé gyorsan kisebb lett, pontosan azt akarta, hogy lehetővé tegye számára, hogy két végdimenziós síkon ábrázolják a végtelenséget.

Escher gondosan tanulmányozta Coxeter alakját, megjelölve, hogy elemezze az egymást követõen kisebb köröket, amelyekkel (következtetett) felépítették. Ezután elkészített egy diagramot, amelyet elemzésével elküldött Coxeternek; Coxeter megerősítette, hogy helytálló, de csalódott Escher rendkívül technikai válaszával. Escher mindazonáltal kitartott hiperbolikus csempézés mellett, amelyet “Coxetering” -nek nevezett. Az eredmények között szerepelt a fa metszetek sora Circle Limit I – IV. 1959-ben Coxeter közzétette azt a megállapítását, hogy ezek a művek rendkívül pontosak voltak: “Escher teljesen pontosan megkapta a millimétert”.