merev testek kinetikus energiája
A klasszikus mechanikában egy pontobjektum (olyan kicsi tárgy, hogy feltételezhető, hogy a tömege egynél létezik) kinetikus energiája pont), vagy egy nem forgó merev test a test tömegétől és sebességétől függ. A mozgási energia megegyezik a tömeg és a sebesség négyzetének szorzatának a 1/2 szorzatával. Képlet formájában:
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
ahol m {\ displaystyle m} a tömeg, v {\ displaystyle v} pedig a test sebessége (vagy sebessége). SI egységekben a tömeget kilogrammban, a sebességet méterben másodpercben mérik, és a kapott kinetikus energia joule-ban van megadva.
Például kiszámíthatnánk egy 80 kg tömeg (kb. 180 font) kinetikus energiáját. ) 18 méter / s sebességgel halad (kb. 40 mph, vagy 65 km / h), mint
E k = 1 2 ⋅ 80 kg ⋅ (18 m / s) 2 = 12, 960 J = 12,96 kJ {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ bal (18 \, {\ text {m / s}} \ jobb ) ^ {2} = 12,960 \, {\ text {J}} = 12,96 \, {\ text {kJ}}}
Amikor egy személy dob egy labdát, a személy azon dolgozik, hogy sebességet adjon neki, ahogy elhagyja a kezét. A mozgó labda ekkor eltalálhat valamit, és lökheti azt, azon munkálkodva, amin eltalálja. A mozgó tárgy mozgási energiája megegyezik azzal a munkával, amely ahhoz szükséges, hogy nyugalmi helyzetből az adott sebességbe kerüljön, vagy azzal a munkával, amelyet az objektum nyugalomba helyezése közben végezhet: nettó erő × elmozdulás = mozgási energia, azaz: F s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
Mivel a kinetikus energia a sebesség négyzetével növekszik, a sebességét megduplázó objektum négyszeresére nő annyi kinetikus energia. Például egy másiknál kétszer gyorsabban haladó autó négyszer akkora távolságot igényel, hogy megálljon, állandó fékerőt feltételezve. Ennek a négyszeresítésnek a következményeként a munka négyszeresére van szükség a sebesség megkétszerezéséhez.
Az objektum kinetikus energiáját az egyenlet kapcsolja a lendületéhez:
E k = p 2 2 m {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}
ahol:
p {\ displaystyle p \;} az impulzus m {\ m \;} a displaystyle a test tömege
Az állandó m tömegű merev test m {\ displaystyle m \;}, amelynek tömegközéppontja a transzlációs kinetikus energia, vagyis a kinetikus energia, amely az egyenes vonalú mozgással társul. egyenes vonalban haladva v {\ displaystyle v \;} sebességgel, a fentiek szerint egyenlő:
E t = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1 } {2}} mv ^ {2}}
ahol:
m {\ displaystyle m \;} a test tömege v {\ displaystyle v \;} a tömegközéppont sebessége a test.
Bármely entitás kinetikus energiája attól a referenciakerettől függ, amelyben mérik. Azonban egy elszigetelt rendszer teljes energiája, vagyis olyan, amelyben az energia nem léphet be és nem is távozhat, az idő múlásával nem változik abban a referenciakeretben, amelyben mérik. Így a rakétamotor által kinetikus energiává alakított kémiai energia a választott referenciakerettől függően másképp oszlik meg a rakétahajó és kipufogógáza között. Ezt nevezik Oberth-effektusnak. De a rendszer teljes energiája, beleértve a kinetikus energiát, az üzemanyag-kémiai energiát, a hőt stb., Idővel konzerválódik, függetlenül a referenciakeret megválasztásától. Különböző, különböző referenciakerettel mozgó megfigyelők azonban nem értenek egyet a konzervált energia értékével.
Az ilyen rendszerek kinetikus energiája a referenciakeret megválasztásától függ: a referenciakeret, amely megadja az energia minimális értékét a nyomatékkeret középpontja, vagyis a referenciakeret, amelyben a rendszer teljes lendülete nulla. Ez a minimális kinetikus energia hozzájárul a rendszer egészének invariáns tömegéhez.
Származtatás
Az m tömegű részecske felgyorsításával végzett munkát a dt végtelenül kis időintervallumban adjuk meg. az F erő pontja és a végtelen kis elmozdulás dx
mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \ ,,}
ahol feltételeztük a p = mv összefüggést és Newton második törvényének érvényességét. ( Lásd azonban az alábbi speciális relativisztikus levezetést is.)
A termékszabályt alkalmazva azt látjuk, hogy:
d (v ⋅ v) = (dv) ⋅ v + v ⋅ (dv) = 2 (v ⋅ dv). {\ displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}
Ezért (feltételezve a hátrányokat tantömeg, így dm = 0), megvan,
v ⋅ d (m v) = m 2 d (v ⋅ v) = m 2 d v 2 = d (m v 2 2). {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ balra ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ jobbra).}
Mivel ez egy totális differenciálérték (vagyis csak a végső állapottól függ, és nem attól, hogy a részecske hogyan került oda), integrálhatjuk és kinetikus energiának hívhatjuk az eredményt. Feltételezve, hogy az objektum nyugalmi állapotban volt a 0 időpontban, akkor integrálunk 0-tól t időig, mert az erő által az objektum nyugalmi helyzetből v sebességre juttatása által végzett munka megegyezik a fordított működéséhez szükséges munkával:
E k = ∫ 0 t F ⋅ dx = ∫ 0 tv ⋅ d (mv) = ∫ 0 td (mv 2 2) = mv 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ bal ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ jobb) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.}
Ez az egyenlet azt állítja, hogy a kinetikus energia (Ek) egyenlő a test sebességének (v) és a test végtelen kis változásának pontszorzatával. ” s lendülete (p). Feltételezzük, hogy a test nyugalmi állapotban (mozdulatlanul) kinetikus energiával indul.
Forgó testek
Ha egy merev Q test körül forog bármely tömegközépponton átmenő egyenes, akkor annak forgási kinetikus energiája van (E r {\ displaystyle E _ {\ text {r}} \,}), amely egyszerűen a mozgó részeinek kinetikus energiáinak összege, és így :
E r = ∫ Q v 2 dm 2 = ∫ Q (r ω) 2 dm 2 = ω 2 2 ∫ Q r 2 dm = ω 2 2 I = 1 2 I ω 2 {\ displaystyle E _ {\ szöveg {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} { 2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} I = {\ frac {1 } {2}} I \ omega ^ {2}}
ahol:
(Ebben az egyenletben a tehetetlenségi nyomatékot a tömegközépponton átmenő tengely körül kell megtenni, és az ω által mért forgást a tengely körül kell lennie; általánosabb egyenletek léteznek olyan rendszerek esetében, ahol az objektum különc alakja miatt ingadozásnak van kitéve.
A rendszerek kinetikus energiája
A testek rendszerének belső kinetikus energiája lehet a a rendszerben lévő testek relatív mozgása. Például a Naprendszerben a bolygók és a planetoidok a Nap körül keringenek. Egy tartályban a molekulák minden irányban mozognak. A rendszer kinetikus energiája a benne lévő testek kinetikus energiáinak összege.
Makroszkopikus test, amely álló helyzetben van (azaz egy referencia keretet választottak, amely megfelel a test lendületének központjának). ) molekuláris vagy atomi szinten különféle belső energiákkal rendelkezhet, amelyek kinetikus energiának tekinthetők a molekuláris transzláció, forgás és rezgés, elektron transzláció és spin, valamint magpörgés miatt. Ezek mind hozzájárulnak a test működéséhez tömeg, amint azt a speciális relativitáselmélet biztosítja. Amikor egy makroszkopikus test mozgásait tárgyaljuk, a kinetikus energia általában csak a makroszkópos mozgásokra vonatkozik. Mindazonáltal minden típusú belső energia hozzájárul a test tömegéhez, tehetetlenségéhez és teljes energiájához.
Folyadékdinamika
Folyadékdinamikában a térfogategységre jutó kinetikus energia az egyes pontokban egy összenyomhatatlan folyadék áramlási mezőt az a pont dinamikus nyomásnak nevez.
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ { 2}}
V-vel osztva, a hangerő mértékegysége:
E k V = 1 2 m V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {E_ {\ text {k}}} {V}} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q & = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ end {aligned}}}
ahol q {\ displaystyle q} a dinamikus nyomás, ρ pedig a nem összenyomható folyadék sűrűsége.
Referenciakeret
Egyetlen objektum sebessége és így a kinetikus energiája keretfüggő ): bármilyen nem negatív értéket vehet fel egy megfelelő inerciális referenciakeret kiválasztásával. Például egy megfigyelő mellett elhaladó golyó kinetikus energiával rendelkezik ennek a megfigyelőnek a kerete. Ugyanaz a golyó álló helyzetben van egy megfigyelővel, amely ugyanolyan sebességgel mozog, mint a golyó, ezért nulla kinetikus energiája van. Ezzel szemben az objektumrendszer teljes kinetikus energiáját nem lehet nullára csökkenteni az inerciális referenciakeret megfelelő megválasztásával, hacsak az összes objektum azonos sebességgel nem rendelkezik. Bármely más esetben az összes kinetikus energiának nincs nullától eltérő minimumja, mivel nem választható olyan inerciális referenciakeret, amelyben az összes objektum álló helyzetben lenne. Ez a minimális kinetikus energia hozzájárul a rendszer invariáns tömegéhez, amely független a referenciakerettől.
A rendszer teljes kinetikus energiája a tehetetlenségi referenciakerettől függ: ez a teljes kinetikus energia a nyomatékkeret közepén, és az a kinetikus energia, amellyel a teljes tömeg rendelkezne, ha a tömeg közepére koncentrálódna.
Ez egyszerűen megmutatható: legyen V {\ displaystyle \ textstyle \ mathbf { V}} az i tömegkeret középpontjának relatív sebessége a k keretben.Mivel
v 2 = (vi + V) 2 = (vi + V) ⋅ (vi + V) = vi ⋅ vi + 2 vi ⋅ V + V ⋅ V = vi 2 + 2 vi ⋅ V + V 2 , {\ displaystyle v ^ {2} = \ left (v_ {i} + V \ right) ^ {2} = \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}
Ezután
E k = ∫ v 2 2 dm = ∫ vi 2 2 dm + V ⋅ ∫ vidm + V 2 2 ∫ dm. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.} E k = E i + MV 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}
Így egy rendszer kinetikus energiája a lendület referencia középpontjától a legalacsonyabbig keretek, azaz referenciakeretek, amelyekben a tömeg középpontja álló helyzetben van (vagy a tömeg középpontja, vagy a lendület bármely más közepe). Bármely más vonatkozási keretben további kinetikus energia van, amely megfelel a tömegközéppont sebességével mozgó teljes tömegnek. A rendszer mozgási energiája az impulzuskeret közepén invariáns mennyiség (minden megfigyelő azonosnak látja).
Forgatás a rendszerekben
Néha kényelmes a test teljes kinetikus energiájának felosztása a test transzlációs kinetikai energia és a tömegközép körüli forgási energia (forgási energia) összegére:
E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \,}
ahol:
Ek az összes kinetikus energia az transzlációs mozgási energia. Er a forgási energia vagy a szög mozgási energiája a többi keretben.
Így a repülés közbeni teniszlabda mozgási energiája a forgása miatt kinetikus energia, plusz a transzlációja miatt kinetikus energia.