Exponenciális eloszlás

Átlag, variancia, momentumok és mediánEdit

Az X exponenciálisan elosztott véletlen változó X értékét átlagosan vagy várhatóan a λ sebességparaméterrel adjuk meg: > E ⁡ = 1 λ. {\ displaystyle \ kezelőnév {E} = {\ frac {1} {\ lambda}}.}

Az alábbi példák fényében ennek van értelme: ha óránként átlagosan 2-es sebességgel fogadunk telefonhívásokat , akkor várhatóan fél órát vár minden hívásra.

Az X szórását a következő adja:

Var ⁡ = 1 λ 2, {\ displaystyle \ operatorname {Var} = {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}},}

így a szórás megegyezik az átlaggal.

X mozzanatai n ∈ N esetén {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}:

E ⁡ = n! λ n. {\ displaystyle \ operátornév {E} \ left = {\ frac {n!} {\ lambda ^ {n}}}.}

X középső mozzanatai, n ∈ N esetén {\ displaystyle n \ in \ mathbb A (z) {N}} értéket

μ n = adja meg! n λ n = n! λ n ∑ k = 0 n (- 1) k k! . {\ displaystyle \ mu _ {n} = {\ frac {! n} {\ lambda ^ {n}}} = {\ frac {n!} {\ lambda ^ {n}}} \ sum _ {k = 0 } ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}}.}

ahol! n az n résztörvénye

Az X mediánja:

m ⁡ = ln ⁡ (2) λ < E ⁡, {\ displaystyle \ operátornév {m} = {\ frac {\ ln (2)} {\ lambda }} < \ operátor neve {E},}

ahol az ln a természetes logaritmusra utal. Így az átlag és a medián közötti abszolút különbség

| E ⁡ – m ⁡ | = 1 – ln ⁡ (2) λ < 1 λ = σ ⁡, {\ displaystyle \ left | \ operatorname {E} \ left- \ operatorname {m} \ left \ right | = {\ frac {1- \ ln (2)} {\ lambda}} < {\ frac {1} {\ lambda}} = \ operátor neve {\ sigma}, }

a medián-átlag egyenlőtlenségnek megfelelően.

MemorylessnessEdit

Egy T exponenciálisan eloszlott véletlen változó betartja a

Pr (T s + t ∣ T > s) = Pr (T > t), ∀ s, t ≥ 0 . {\ displaystyle \ Pr \ balra (T > s + t \ közepe T > s \ jobbra = = Pr (T > t), \ qquad \ for s, t \ geq 0.}

Ez a komplementer kumulatív eloszlásfüggvény figyelembevételével látható:

Pr (T > s + t ∣ T > s) = Pr (T > s + t ∩ T > s) Pr (T > s) = Pr (T s + t) Pr (T > s) = e – λ (s + t) e – λ s = e – λ t = Pr (T > t). {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Pr \ left (T > s + t \ mid T > s \ right] & = {\ frac {\ Pr \ left (T > s + t \ cap T > s \ right)} {\ Pr \ left (T > s \ right)}} \\ & = {\ frac {\ Pr \ left (T > s + t \ right)} {\ Pr \ left (T > s \ right)} } \\ & = {\ frac {e ^ {- \ lambda (s + t)}} {e ^ {- \ lambda s}}} \\ & = e ^ {- \ lambda t} \\ & = \ Pr (T > t) . \ end {aligned}}}

Ha T-t úgy értelmezzük, mint egy esemény bekövetkezésének várakozási idejét valamilyen kezdeti időhöz képest, ez a kapcsolat azt jelenti, hogy ha T feltételezi az esemény megfigyelésének elmulasztását valamilyen kezdeti időszakban s időtartam alatt a hátralévő várakozási idő eloszlása megegyezik az eredeti feltétel nélküli eloszlással. Például, ha egy esemény nem következett be 30 másodperc után, akkor annak feltételes valószínűsége, hogy az esemény még legalább 10 másodpercet igénybe vesz, megegyezik azzal a feltétel nélküli valószínűséggel, hogy az eseményt a kezdeti időpont után több mint 10 másodperccel figyeljük meg.

Az exponenciális eloszlás és a geometriai eloszlás az egyetlen memória nélküli valószínűségi eloszlás.

Az exponenciális eloszlás következésképpen szükségszerűen az egyetlen folyamatos valószínűség-eloszlás, amelynek állandó meghibásodási aránya van.

QuantilesEdit

Az Exp (λ) kvantilis függvénye (inverz kumulatív eloszlásfüggvény)

F – 1 (p; λ) = – ln ⁡ (1 – p ) λ, 0 ≤ p < 1 {\ displaystyle F ^ {- 1} (p; \ lambda) = {\ frac {- \ ln (1-p)} {\ lambda}}, \ qquad 0 \ leq p < 1}

A kvartilisek tehát:

• első kvartilis: ln (4/3 ) / λ
• medián: ln (2) / λ
• harmadik kvartilis: ln (4) / λ

És ennek következtében az interkvartilis tartomány ln (3) / λ.

Kullback – Leibler divergenciaEdit

Δ (λ 0 ∥ λ) = E λ 0 (log ⁡ p λ 0 (x) p λ (x)) = E λ 0 (log ⁡ λ 0 e – λ 0 x λ e – λ x) = log ⁡ (λ 0) – log ⁡ (λ) – (λ 0 – λ) E λ 0 (x) = log ⁡ (λ 0) – log ⁡ (λ) + λ λ 0 – 1. {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Delta (\ lambda _ {0} \ parallel \ lambda) & = \ mathbb {E} _ { \ lambda _ {0}} \ left (\ log {\ frac {p _ {\ lambda _ {0}} (x)} {p _ {\ lambda} (x)}} \ right) \\ & = \ mathbb {E} _ {\ lambda _ {0}} \ left (\ log {\ frac {\ lambda _ {0} e ^ {- \ lambda _ {0} x}} {\ lambda e ^ {- \ lambda x}}} \ right) \\ & = \ log (\ lambda _ {0}) – \ log (\ lambda) – ( \ lambda _ {0} – \ lambda) E _ {\ lambda _ {0}} (x) \\ & = \ log (\ lambda _ {0}) – \ log (\ lambda) + {\ frac {\ lambda} {\ lambda _ {0}}} – 1. \ end {aligned}}}

Maximális entrópia-elosztásEdit

Az összes folytonos valószínűségi eloszlás között A támogatás rögzített.

Az exponenciális véletlen változók minimumának megoszlásaEdit

Legyen X1,. .., Xn független, exponenciálisan eloszlott véletlen változók λ1, …, λn sebességparaméterekkel. Ezután

min {X 1,…, X n} {\ displaystyle \ min \ bal \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \ right \}}

szintén exponenciálisan oszlik el, paraméter

λ = λ 1 + ⋯ + λ n. {\ displaystyle \ lambda = \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}.}

Ez a kiegészítő kumulatív eloszlásfüggvény figyelembevételével látható:

Pr (min {X 1, …, X n} > x) = Pr (X 1 > x,…, X n > x) = ∏ i = 1 n Pr (X i > x) = ∏ i = 1 n exp ⁡ (- x λ i) = exp ⁡ (- x ∑ i = 1 n λ i). {\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ Pr \ left (\ min \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \} > x \ right) \\ = {} & \ Pr \ balra (X_ {1} > x, \ dotsc, X_ {n} > x \ right) \\ = {} & \ prod _ {i = 1} ^ { n} \ Pr \ balra (X_ {i} > x \ jobbra) \\ = {} & \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ exp \ left (-x \ lambda _ {i} \ right) = \ exp \ left (-x \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} \ right ). \ end {aligned}}}

A minimumot elérő változó indexe a kategorikus eloszlás szerint kerül elosztásra

Pr (k ∣ X k = min {X 1,…, X n}) = λ k λ 1 + ⋯ + λ n. {\ displaystyle \ Pr \ left (k \ X X közepe {k} = \ min \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \} \ jobb) = {\ frac {\ lambda _ {k}} { \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}}}.}

Bizonyítás a következő:

Legyen I = argmin i ∈ {1, ⋯, n} ⁡ {X 1 ,…, X n} {\ displaystyle {\ text {Let}} I = \ operátornév {argmin} _ {i \ in \ {1, \ dotsb, n \}} \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \}}, majd Pr (I = k) = ∫ 0 ∞ Pr (X k = x) Pr (X i ≠ k > x) dx = ∫ 0 ∞ λ ke – λ kx (∏ i = 1, i ≠ térd – λ ix) dx = λ k ∫ 0 ∞ e – (λ 1 + ⋯ + λ n) xdx = λ k λ 1 + ⋯ + λ n. {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ text {then}} \ Pr (I = k) & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ Pr ( X_ {k} = x) \ Pr (X_ {i \ neq k} > x) dx \\ & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ lambda _ {k} e ^ {- \ lambda _ {k} x} \ balra (\ prod _ {i = 1, i \ neq k} ^ {n} e ^ {- \ lambda _ {i} x} \ right) dx \\ & = \ lambda _ {k} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ left (\ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n} \ right) x} dx \\ & = {\ frac {\ lambda _ {k}} { \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}}}. \ end {igazítva}}}

Ne feledje, hogy

max {X 1,…, X n} {\ displaystyle \ max \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \}}

nincs elosztva exponenciálisan.

Az iid közös pillanatai exponenciális sorrend statisztikaSzerkesztés

E ⁡ = ∑ k = 0 j – 1 1 (n – k) λ E ⁡ + E ⁡ = ∑ k = 0 j – 1 1 (n – k) λ ∑ k = 0 i – 1 1 (n – k) λ + ∑ k = 0 i – 1 1 ((n – k) λ) 2 + (∑ k = 0 i – 1 1 (n – k) λ) 2. {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operátor neve {E} \ left & = \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} { (nk) \ lambda}} \ üzemeltető neve {E} \ left + \ operatorname {E} \ left \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} {(nk) \ lambda}} \ sum _ {k = 0} ^ {i-1} {\ frac {1} {(nk) \ lambda}} + \ sum _ {k = 0 } ^ {i-1} {\ frac {1} {((nk) \ lambda) ^ {2}}} + \ balra (\ sum _ {k = 0} ^ {i-1} {\ frac {1 } {(nk) \ lambda}} \ right) ^ {2}. \ end {aligned}}}

Ez a teljes várakozás törvényének és az emlékezet nélküli tulajdonságnak a meghívásával látható:

E ⁡ = ∫ 0 ∞ E ⁡ f X (i) (x) dx = ∫ x = 0 ∞ x E ⁡ f X (i) (x) dx (mivel X (i) = x ⟹ X (j) ≥ x) = ∫ x = 0 ∞ x + x] f X (i) (x) dx (a memória nélküli tulajdonság alapján) = ∑ k = 0 j – 1 1 (n – k) λ E ⁡ + E ⁡.{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ üzemeltető neve {E} \ left & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {E} \ leftf_ {X_ { (i)}} (x) \, dx \\ & = \ int _ {x = 0} ^ {\ infty} x \ kezelőnév {E} \ leftf_ {X_ { (i)}} (x) \, dx & & \ balra ({\ textrm {óta}} ~ X _ {(i )} = x \ azt jelenti, hogy X _ {(j)} \ geq x \ right) \\ & = \ int _ {x = 0} ^ {\ infty} x \ left + x \ right] f_ {X _ {(i)}} (x) \, dx & & \ bal ({\ text { a memória nélküli tulajdonság által}} \ right) \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} {(nk) \ lambda }} \ operátornév {E} \ bal + \ operátornév {E} \ bal. \ vég {igazítva}}}

Két független exponenciális véletlen változó összegeSzerkesztés

f Z (z) = ∫ – ∞ ∞ f X 1 (x 1) f X 2 (z – x 1) dx 1 = ∫ 0 z λ 1 e – λ 1 x 1 λ 2 e – λ 2 (z – x 1) dx 1 = λ 1 λ 2 e – λ 2 z ∫ 0 ze (λ 2 – λ 1) x 1 dx 1 = {λ 1 λ 2 λ 2 – λ 1 (e – λ 1 z – e – λ 2 z), ha λ 1 ≠ λ 2 λ 2 ze – λ z, ha λ 1 = λ 2 = λ. {\ displaystyle {\ begin {aligned} f_ {Z} (z) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X_ {1}} ( x_ {1}) f_ {X_ {2}} (z-x_ {1}) \, dx_ {1} \\ & = \ int _ {0} ^ {z } \ lambda _ {1} e ^ {- \ lambda _ {1} x_ {1}} \ lambda _ {2} e ^ {- \ lambda _ {2} (z-x_ {1})} \, dx_ {1} \\ & = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} e ^ {- \ lambda _ {2} z} \ int _ {0} ^ { z} e ^ {(\ lambda _ {2} – \ lambda _ {1}) x_ {1}} \, dx_ {1} \\ & = {\ begin { esetek} {\ dfrac {\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}} {\ lambda _ {2} – \ lambda _ {1}}} \ bal (e ^ {- \ lambda _ {1} z} -e ^ {- \ lambda _ {2} z} \ right) & {\ text {if}} \ lambda _ {1} \ neq \ lambda _ {2} \ \\ lambda ^ {2} ze ^ {- \ lambda z} & {\ text {if}} \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2} = \ lambda . \ end {esetek}} \ end {igazítva}}} H (Z) = 1 + γ + ln ⁡ (λ 1 – λ 2 λ 1 λ 2) + ψ (λ 1 λ 1 – λ 2), {\ displaystyle {\ begin {aligned} H (Z) & = 1 + \ gamma + \ ln \ left ({\ frac {\ lambda _ {1} – \ lambda _ {2 }} {\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}} \ jobb) + \ psi \ bal ({\ frac {\ lambda _ {1}} {\ l ambda _ {1} – \ lambda _ {2}}} \ right), \ end {aligned}}}

ahol γ {\ displaystyle \ gamma} az Euler-Mascheroni konstans, és ψ (⋅) {\ displaystyle \ psi (\ cdot)} a digamma függvény. a turn a gammaelosztás speciális esete.