Adiabatikus folyamat

Egy ideális, reverzibilis (azaz nincs entrópiaképzés) az adiabatikus folyamatot a politropikus folyamategyenlet képviselheti.

PV γ = konstans, {\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {konstans}},}

ahol P nyomás, V kötet, és ebben az esetben n = γ, ahol

γ = CPCV = f + 2 f, {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {f + 2} {f}},}

CP az állandó nyomás fajlagos hője, CV az állandó térfogat fajlagos hője, γ az adiabatikus index és f a szabadság fokainak száma (3 monatomikus gáz esetén 5, diatomi gáz és kollináris molekulák, pl. szén-dioxid).

Monatomikus ideális gáz esetén γ = 5/3, és diatomi gáz (például nitrogén és oxigén, a levegő fő alkotóelemei) esetében γ = 7/5. Ne feledje, hogy a fenti képlet csak a klasszikus ideális gázokra vonatkozik, a Bose – Einstein vagy Fermi gázokra nem.

Reverzibilis adiabatikus folyamatok esetében az is igaz, hogy

P 1 – γ T γ = konstans , {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {\ text {konstans}},} VT f 2 = konstans, {\ displaystyle VT ^ {\ frac {f} {2}} = {\ text {konstans}},}

ahol T abszolút hőmérséklet. Ezt felírhatjuk úgy is, hogy

T V γ – 1 = konstans. {\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = {\ text {konstans}}.}

Példa az adiabatikus compressionEdit

A benzinmotor kompressziós lökete az adiabatikus példaként használható tömörítés. A modell feltételezései a következők: a henger tömörítetlen térfogata egy liter (1 L = 1000 cm3 = 0,001 m3); a belsejében lévő gáz csak molekuláris nitrogénből és oxigénből álló levegő (tehát 5 szabadságfokú diatom gáz, így γ = 7/5); a motor tömörítési aránya 10: 1 (vagyis a dugattyú 1 literes tömörítetlen gáz térfogatát 0,1 literre csökkenti); és a tömörítetlen gáz körülbelül szobahőmérsékleten és nyomáson van (~ 27 ° C vagy 300 K meleg szobahőmérséklet és 1 bar = 100 kPa, azaz a tengerszint tipikus légköri nyomása).

P 1 V γ = állandó 1 = 100 000 Pa × (0,001 m 3) 7 5 {\ displaystyle P_ {1} V ^ {\ gamma} = \ operátor neve {konstans} _ {1} = 100 \, 000 ~ {\ text {Pa}} \ szor (0,001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}} = 10 5 × 6,31 × 10 – 5 Pa m 21/5 = 6,31 Pa m 21/5, {\ displaystyle = 10 ^ {5} \ szor 6,31 \ szor 10 ^ {- 5} ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = 6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5},}

így ennek a példának az adiabatikai állandója körülbelül 6,31 Pa m4,2.

A gázt 0,1 l (0,0001 m3) térfogatra sűrítik (feltételezzük, hogy ez elég gyorsan megtörténik, így hő nem juthat be vagy hagyhatja el a gázt a falakon). Az adiabatikus állandó ugyanaz marad, de a kapott nyomás ismeretlen.

P 2 V γ = állandó 1 = 6,31 Pa m 21/5 = P × (0,0001 m 3) 7 5, {\ displaystyle P_ {2} V ^ {\ gamma} = \ operátornév {konstans} _ {1} = 6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = P \ -szer (0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}},}

így megoldja a P2-t:

P 2 = 6,31 Pa m 21/5 (0,0001 m 3) 7 5 = 6,31 Pa m 21/5 2,5 × 10 – 6 m 21/5 = 2,51 × 10 6 Pa, {\ displaystyle P_ {2} = {\ frac {6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text { m}} ^ {21/5}} {(0,0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}}} = {\ frac {6.31 ~ {\ text { Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5}} {2,5 \ szor 10 ^ {- 6} ~ {\ text {m}} ^ {21/5}}} = 2,51 \ szor 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}},}

vagy 25,1 sáv. Vegye figyelembe, hogy ez a nyomásnövekedés meghaladja az egyszerű 10: 1 tömörítési arányt; ez azért van, mert a gázt nemcsak sűrítik, de a gáz tömörítéséért végzett munka növeli a belső energiáját is, ami a gáz hőmérsékletének emelkedésével és a nyomás további emelkedésével jár, ami az egyszerűbb 10 az eredeti nyomás szorzata.

Megoldhatjuk a sűrített gáz hőmérsékletét is a motorhengerben, az ideális gáztörvény használatával, PV = nRT (n a gáz mennyisége molban és R a gáz állandó ahhoz a gázhoz). Kezdeti körülményeink 100 kPa nyomás, 1 L térfogat és 300 K hőmérséklet, kísérleti állandónk (nR):

PVT = állandó 2 = 10 5 Pa × 10 – 3 m 3 300 K = 0,333 Pa m 3 K – 1. {\ displaystyle {\ frac {PV} {T}} = \ kezelőnév {konstans} _ {2} = {\ frac {10 ^ {5} ~ {\ text {Pa}} \ szor 10 ^ {- 3} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {300 ~ {\ text {K}}}} = 0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1}.}

Tudjuk, hogy a sűrített gáz V = 0,1 L és P = 2,51 × 106 Pa, így meg tudjuk oldani a hőmérsékletet:

T = PV állandó 2 = 2,51 × 10 6 Pa × 10 – 4 m 3 0,333 Pa m 3 K – 1 = 753 K. {\ displaystyle T = {\ frac {PV} {\ operátornév {konstans} _ {2}}} = {\ frac {2,51 \ szor 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}} \ szor 10 ^ {- 4} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1} }} = 753 ~ {\ text {K}}.}

Ez 753 K, vagyis 479 ° C vagy 896 ° F véghőmérséklet, amely jóval meghaladja sok üzemanyag gyulladási pontját. Éppen ezért egy nagy sűrítésű motorhoz olyan üzemanyagok szükségesek, amelyek kifejezetten öngyulladásra vannak kialakítva (ami a motor kopogását okozná, ha ilyen hőmérsékleti és nyomási körülmények között működnek), vagy hogy a közbenső hűtővel ellátott kompresszor nyomásnövelést biztosít, de alacsonyabb a hőmérsékletemelkedés előnyös lenne. A dízelmotor még extrémebb körülmények között működik, jellemzően a 16: 1 vagy annál nagyobb kompressziós arányokkal, annak érdekében, hogy nagyon magas gázhőmérsékletet biztosítson, amely biztosítja a befecskendezett üzemanyag azonnali meggyulladását. a gasEdit terjesztése

Az ideális gáz adiabatikus szabad tágulásához a gázt egy szigetelt tartályban kell elhelyezni, majd vákuumban tágulni hagyják. Mivel nincs külső nyomás a gáz terjeszkedésére, a rendszer által végzett vagy a rendszeren végzett munka nulla. Mivel ez a folyamat nem jár hőátadással vagy munkával, a termodinamika első törvénye azt jelenti, hogy a rendszer nettó belső energiaváltozása nulla. Ideális gáz esetében a hőmérséklet állandó marad, mert a belső energia ebben az esetben csak a hőmérséklettől függ. Mivel állandó hőmérsékleten az entrópia arányos a térfogattal, ebben az esetben az entrópia növekszik, ezért ez a folyamat visszafordíthatatlan.

P – V összefüggés levezetése az adiabatikus fűtéshez és hűtéshezEdit

Az adiabatikus folyamat meghatározása szerint a rendszerbe történő hőátadás nulla, δQ = 0. Ezután a termodinamika első törvénye szerint

(1) d U + δ W = δ Q = 0, { \ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad dU + \ delta W = \ delta Q = 0,}

ahol dU a rendszer belső energiájának változása, δW pedig a rendszer által végzett munka. Az elvégzett munkát (δW) az U belső energia rovására kell elvégezni, mivel a környezetből nem adnak hőt δQ. A rendszer által végzett nyomás-térfogat δW munkát a következő módon határozzuk meg:

(2) δ W = P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad \ delta W = P \, dV.}

P azonban egy adiabatikus folyamat során nem marad állandó, hanem V-vel együtt változik.

Kívánatos tudni, hogy a dP és a dV értékei hogyan viszonyulnak egymáshoz az adiabatikus folyamat előrehaladtával. Ideális gáz (az ideális gáztörvény PV = nRT visszahívása) esetén a belső energiát a következő adja:

(3) U = α n RT = α PV, {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad U = \ alpha nRT = \ alpha PV,}

ahol α a szabadság fokainak száma osztva kettővel, R az univerzális gázállandó és n a rendszerben lévő molok száma (konstans).

A (3) egyenlet differenciálása

(4) d U = α n R d T = α d (PV) = α (P d V + V d P). {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad dU = \ alfa nR \, dT = \ alfa \, d (PV) = \ alfa (P \, dV + V \, dP).}

A (4) egyenletet gyakran dU = nCV dT-ként fejezik ki, mert CV = αR.

Most a (2) és (4) egyenletet helyettesítse az (1) egyenletbe, hogy megkapja

– P d V = α P d V + α V d P, {\ displaystyle -P \, dV = \ alfa P \, dV + \ alpha V \, dP,}

faktorizálás −P dV:

– (α + 1 ) P d V = α V d P, {\ displaystyle – (\ alpha +1) P \, dV = \ alpha V \, dP,}

és ossza el mindkét oldalt PV-vel:

– (α + 1) d VV = α d PP. {\ displaystyle – (\ alpha +1) {\ frac {dV} {V}} = \ alpha {\ frac {dP} {P}}.}

Miután integrálta a bal és a jobb oldalt V0-ból V-be és P0-tól P-ig és az oldalak megváltoztatásával,

ln ⁡ (PP 0) = – α + 1 α ln ⁡ (VV 0). {\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = – {\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ ln \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ jobbra).}

Húzza ki mindkét oldalt, helyettesítse az α + 1 / α-t γ-val, a hőkapacitás-arány

(PP 0) = (VV 0) – γ, { \ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V} {V_ {0}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

és a negatív előjel kiküszöbölésével kapjuk meg

(PP 0) = (V 0 V) γ. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V_ {0}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Ezért

(PP 0) (VV 0) γ = 1, {\ displaystyle \ balra ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ jobbra) \ balra ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ jobbra) ^ {\ gamma} = 1,}

és

P 0 V 0 γ = PV γ = állandó. {\ displaystyle P_ {0} V_ {0} ^ {\ gamma} = PV ^ {\ gamma} = \ operátornév {konstans}.}

P – T reláció levezetése az adiabatikus fűtés és hűtés szerkesztése

Az ideális gáztörvényt a fentiekre behelyettesítve kapjuk a következőt:

P (n RTP) γ = konstans, {\ displaystyle P \ balra ({\ frac {nRT} {P}} \ jobbra) ^ {\ gamma } = \ operátornév {konstans},}

ami egyszerűbbé

P 1 – γ T γ = konstans. {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = \ operátornév {konstans}.}

Diszkrét képlet és munkakifejezés levezetéseEdit

A rendszer belső energiájának változása , az 1. állapottól a 2. állapotig mérve egyenlő:

(1) Δ U = α R n T 2 – α R n T 1 = α R n Δ T. {\ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad \ Delta U = \ alpha RnT_ {2} – \ alpha RnT_ {1} = \ alpha Rn \ Delta T.}

Ugyanakkor a nyomás-térfogat által elvégzett munka e folyamat eredményeként egyenlő:

(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P \, dV.}

Mivel a folyamatnak adiabatikusnak kell lennie, a következő egyenletnek igaznak kell lennie

(3) Δ U + W = 0. {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad \ Delta U + W = 0.}

Az előzővel levezetés,

(4) PV γ = állandó = P 1 V 1 γ. {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}} = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma}.}

Átrendezés (4 ) ad

P = P 1 (V 1 V) γ. {\ displaystyle P = P_ {1} \ balra ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ jobbra) ^ {\ gamma}.}

Ezt behelyettesítve (2) -be,

W = ∫ V 1 V 2 P 1 (V 1 V) γ d V. {\ displaystyle W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P_ {1} \ balra ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ jobbra) ^ {\ gamma} \ , dV.}

Integrálva megkapjuk a munka kifejezését,

W = P 1 V 1 γ V 2 1 – γ – V 1 1 – γ 1 – γ = P 2 V 2 – P 1 V 1 1 – γ. {\ displaystyle W = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} {\ frac {V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma}} = {\ frac {P_ {2} V_ {2} -P_ {1} V_ {1}} {1- \ gamma}}.}

A γ = α + 1 / α helyettesítése a második kifejezésben,

W = – α P 1 V 1 γ (V 2 1 – γ – V 1 1 – γ). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} \ bal (V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma} \ jobb) .}

Átrendezés,

W = – α P 1 V 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} \ bal (\ bal ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ jobb) ^ {1- \ gamma} -1 \ right).}

Az ideális gáztörvény alkalmazásával és állandó moláris mennyiség feltételezésével (amint ez a gyakorlati esetekben gyakran előfordul)

W = – α n RT 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ balra (\ balra ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ jobbra) ^ {1- \ gamma} -1 \ jobbra). }

A folytonos képlet szerint

P 2 P 1 = (V 2 V 1) – γ, {\ displaystyle {\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} = \ left ( {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ jobbra) ^ {- \ gamma},}

vagy

(P 2 P 1) – 1 γ = V 2 V 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}}.}

Helyettesítve az előző W kifejezésben,

W = – α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ balra (\ balra ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ jobbra) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma }} – 1 \ jobbra).}

Ennek a kifejezésnek az (1) helyettesítése a (3) pontban

α n R (T 2 – T 1) = α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle \ alpha nR (T_ {2} -T_ {1}) = \ alpha nRT_ {1} \ bal (\ bal ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ jobb) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ jobbra).}

Egyszerűsítő,

T 2 – T 1 = T 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1), {\ displaystyle T_ {2} -T_ {1} = T_ {1} \ balra (\ balra ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ jobbra) ^ {\ frac { \ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ jobbra),} T 2 T 1 – 1 = (P 2 P 1) γ – 1 γ – 1, {\ displaystyle {\ frac {T_ {2}} { T_ {1}}} – 1 = \ balra ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ jobbra) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1,} T 2 = T 1 (P 2 P 1) γ – 1 γ. {\ displaystyle T_ {2} = T_ {1} \ balra ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ jobbra) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}. }